HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shseli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shseli 29008
Description: Membership in subspace sum. (Contributed by NM, 4-May-2000.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
shscl.1 𝐴S
shscl.2 𝐵S
Assertion
Ref Expression
shseli (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦

Proof of Theorem shseli
StepHypRef Expression
1 shscl.1 . 2 𝐴S
2 shscl.2 . 2 𝐵S
3 shsel 29006 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦)))
41, 2, 3mp2an 688 1 (𝐶 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶 = (𝑥 + 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1530  wcel 2106  wrex 3143  (class class class)co 7151   + cva 28612   S csh 28620   + cph 28623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-13 2385  ax-ext 2796  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-hilex 28691  ax-hfvadd 28692  ax-hvcom 28693  ax-hvass 28694  ax-hv0cl 28695  ax-hvaddid 28696  ax-hfvmul 28697  ax-hvmulid 28698  ax-hvdistr2 28701  ax-hvmul0 28702
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865  df-grpo 28185  df-ablo 28237  df-hvsub 28663  df-sh 28899  df-shs 29000
This theorem is referenced by:  shscli  29009  shunssi  29060  shsleji  29062  shsidmi  29076  shmodsi  29081  chseli  29151  spanuni  29236  spanunsni  29271  5oalem7  29352  pjjsi  29392  cdjreui  30124  cdj3lem2a  30128  cdj3lem2b  30129  cdj3lem3a  30131
  Copyright terms: Public domain W3C validator