Theorem spanpr 31098

Description: The span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanpr	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ⊆ (span‘{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem spanpr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsh 31079	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ )
2		spansnsh 31079	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
3		shscl 30836	. . . . . . 7 ⊢ (((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ ) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ )
5	4	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ )
6	1, 2	anim12i 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ ))
7		spansnid 31081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
8		spansnid 31081	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
9	7, 8	anim12i 611	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})))
10		shsva 30838	. . . . . . 7 ⊢ (((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ ) → ((𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵}))))
11	6, 9, 10	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
12	11	adantr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
13		simpr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}))
14		elspansn3 31090	. . . . 5 ⊢ ((((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → 𝑥 ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
15	5, 12, 13, 14	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → 𝑥 ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
16	15	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) → 𝑥 ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵}))))
17	16	ssrdv 3989	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ⊆ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
18		df-pr 4632	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19	18	fveq2i 6895	. . 3 ⊢ (span‘{𝐴, 𝐵}) = (span‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
20		snssi 4812	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
21		snssi 4812	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
22		spanun 31063	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℋ ∧ {𝐵} ⊆ ℋ) → (span‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
23	20, 21, 22	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
24	19, 23	eqtr2id 2783	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) = (span‘{𝐴, 𝐵}))
25	17, 24	sseqtrd 4023	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ⊆ (span‘{𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4629  {cpr 4631  ‘cfv 6544  (class class class)co 7413   ℋchba 30437   +_ℎ cva 30438   S_ℋ csh 30446   +_ℋ cph 30449  spancspn 30450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194  ax-hilex 30517  ax-hfvadd 30518  ax-hvcom 30519  ax-hvass 30520  ax-hv0cl 30521  ax-hvaddid 30522  ax-hfvmul 30523  ax-hvmulid 30524  ax-hvmulass 30525  ax-hvdistr1 30526  ax-hvdistr2 30527  ax-hvmul0 30528  ax-hfi 30597  ax-his1 30600  ax-his2 30601  ax-his3 30602  ax-his4 30603  ax-hcompl 30720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-acn 9941  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18708  df-mulg 18989  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-fbas 21143  df-fg 21144  df-cnfld 21147  df-top 22618  df-topon 22635  df-topsp 22657  df-bases 22671  df-cld 22745  df-ntr 22746  df-cls 22747  df-nei 22824  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-lm 22955  df-haus 23041  df-tx 23288  df-hmeo 23481  df-fil 23572  df-fm 23664  df-flim 23665  df-flf 23666  df-xms 24048  df-ms 24049  df-tms 24050  df-cfil 25005  df-cau 25006  df-cmet 25007  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-dip 30219  df-ssp 30240  df-ph 30331  df-cbn 30381  df-hnorm 30486  df-hba 30487  df-hvsub 30489  df-hlim 30490  df-hcau 30491  df-sh 30725  df-ch 30739  df-oc 30770  df-ch0 30771  df-shs 30826  df-span 30827

This theorem is referenced by:  superpos  31872