Theorem spanpr 30798

Description: The span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanpr	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ⊆ (span‘{𝐴, 𝐵}))

Proof of Theorem spanpr

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spansnsh 30779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Sℋ )
2		spansnsh 30779	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ )
3		shscl 30536	. . . . . . 7 ⊢ (((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ ) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ )
5	4	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ )
6	1, 2	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ ))
7		spansnid 30781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 𝐴 ∈ (span‘{𝐴}))
8		spansnid 30781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → 𝐵 ∈ (span‘{𝐵}))
9	7, 8	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})))
10		shsva 30538	. . . . . . 7 ⊢ (((span‘{𝐴}) ∈ Sℋ ∧ (span‘{𝐵}) ∈ Sℋ ) → ((𝐴 ∈ (span‘{𝐴}) ∧ 𝐵 ∈ (span‘{𝐵})) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵}))))
11	6, 9, 10	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
12	11	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
13		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}))
14		elspansn3 30790	. . . . 5 ⊢ ((((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∈ Sℋ ∧ (𝐴 +ℎ 𝐵) ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → 𝑥 ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
15	5, 12, 13, 14	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)})) → 𝑥 ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
16	15	ex 414	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) → 𝑥 ∈ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵}))))
17	16	ssrdv 3986	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ⊆ ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
18		df-pr 4627	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
19	18	fveq2i 6884	. . 3 ⊢ (span‘{𝐴, 𝐵}) = (span‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
20		snssi 4807	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → {𝐴} ⊆ ℋ)
21		snssi 4807	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → {𝐵} ⊆ ℋ)
22		spanun 30763	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ⊆ ℋ ∧ {𝐵} ⊆ ℋ) → (span‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
23	20, 21, 22	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})))
24	19, 23	eqtr2id 2786	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((span‘{𝐴}) +ℋ (span‘{𝐵})) = (span‘{𝐴, 𝐵}))
25	17, 24	sseqtrd 4020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (span‘{(𝐴 +ℎ 𝐵)}) ⊆ (span‘{𝐴, 𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3944   ⊆ wss 3946  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396   ℋchba 30137   +_ℎ cva 30138   S_ℋ csh 30146   +_ℋ cph 30149  spancspn 30150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-inf2 9623  ax-cc 10417  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-pre-sup 11175  ax-addf 11176  ax-mulf 11177  ax-hilex 30217  ax-hfvadd 30218  ax-hvcom 30219  ax-hvass 30220  ax-hv0cl 30221  ax-hvaddid 30222  ax-hfvmul 30223  ax-hvmulid 30224  ax-hvmulass 30225  ax-hvdistr1 30226  ax-hvdistr2 30227  ax-hvmul0 30228  ax-hfi 30297  ax-his1 30300  ax-his2 30301  ax-his3 30302  ax-his4 30303  ax-hcompl 30420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-supp 8134  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-omul 8458  df-er 8691  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9350  df-fi 9393  df-sup 9424  df-inf 9425  df-oi 9492  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-div 11859  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-7 12267  df-8 12268  df-9 12269  df-n0 12460  df-z 12546  df-dec 12665  df-uz 12810  df-q 12920  df-rp 12962  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13315  df-ico 13317  df-icc 13318  df-fz 13472  df-fzo 13615  df-fl 13744  df-seq 13954  df-exp 14015  df-hash 14278  df-cj 15033  df-re 15034  df-im 15035  df-sqrt 15169  df-abs 15170  df-clim 15419  df-rlim 15420  df-sum 15620  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-starv 17199  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-ip 17202  df-tset 17203  df-ple 17204  df-ds 17206  df-unif 17207  df-hom 17208  df-cco 17209  df-rest 17355  df-topn 17356  df-0g 17374  df-gsum 17375  df-topgen 17376  df-pt 17377  df-prds 17380  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-mulg 18936  df-cntz 19166  df-cmn 19634  df-psmet 20910  df-xmet 20911  df-met 20912  df-bl 20913  df-mopn 20914  df-fbas 20915  df-fg 20916  df-cnfld 20919  df-top 22365  df-topon 22382  df-topsp 22404  df-bases 22418  df-cld 22492  df-ntr 22493  df-cls 22494  df-nei 22571  df-cn 22700  df-cnp 22701  df-lm 22702  df-haus 22788  df-tx 23035  df-hmeo 23228  df-fil 23319  df-fm 23411  df-flim 23412  df-flf 23413  df-xms 23795  df-ms 23796  df-tms 23797  df-cfil 24741  df-cau 24742  df-cmet 24743  df-grpo 29711  df-gid 29712  df-ginv 29713  df-gdiv 29714  df-ablo 29763  df-vc 29777  df-nv 29810  df-va 29813  df-ba 29814  df-sm 29815  df-0v 29816  df-vs 29817  df-nmcv 29818  df-ims 29819  df-dip 29919  df-ssp 29940  df-ph 30031  df-cbn 30081  df-hnorm 30186  df-hba 30187  df-hvsub 30189  df-hlim 30190  df-hcau 30191  df-sh 30425  df-ch 30439  df-oc 30470  df-ch0 30471  df-shs 30526  df-span 30527

This theorem is referenced by:  superpos  31572