HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscom 31077
Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscom ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem shscom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shel 30969 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℋ)
2 shel 30969 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
31, 2anim12i 612 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝑦𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
43an4s 657 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
5 ax-hvcom 30759 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
76eqeq2d 2737 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
872rexbidva 3211 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
9 rexcom 3281 . . . 4 (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦))
108, 9bitrdi 287 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
11 shsel 31072 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
12 shsel 31072 . . . 4 ((𝐵S𝐴S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1312ancoms 458 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1410, 11, 133bitr4d 311 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴)))
1514eqrdv 2724 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064  (class class class)co 7404  chba 30677   + cva 30678   S csh 30686   + cph 30689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-hilex 30757  ax-hfvadd 30758  ax-hvcom 30759  ax-hvass 30760  ax-hv0cl 30761  ax-hvaddid 30762  ax-hfvmul 30763  ax-hvmulid 30764  ax-hvdistr2 30767  ax-hvmul0 30768
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30251  df-ablo 30303  df-hvsub 30729  df-sh 30965  df-shs 31066
This theorem is referenced by:  shsel2  31080  shsub2  31083  shscomi  31121  pjpjpre  31177  chscllem1  31395  chscllem2  31396  chscllem3  31397  chscllem4  31398
  Copyright terms: Public domain W3C validator