Theorem shscom 28889

Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shscom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shscom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 28779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℋ)
2		shel 28779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
3	1, 2	anim12i 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
4	3	an4s 647	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
5		ax-hvcom 28569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
6	4, 5	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
7	6	eqeq2d 2782	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
8	7	2rexbidva 3238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
9		rexcom 3290	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦))
10	8, 9	syl6bb 279	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
11		shsel 28884	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
12		shsel 28884	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
13	12	ancoms 451	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
14	10, 11, 13	3bitr4d 303	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴)))
15	14	eqrdv 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∃wrex 3083  (class class class)co 6974   ℋchba 28487   +_ℎ cva 28488   S_ℋ csh 28496   +_ℋ cph 28499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-hilex 28567  ax-hfvadd 28568  ax-hvcom 28569  ax-hvass 28570  ax-hv0cl 28571  ax-hvaddid 28572  ax-hfvmul 28573  ax-hvmulid 28574  ax-hvdistr2 28577  ax-hvmul0 28578

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-sub 10670  df-neg 10671  df-grpo 28059  df-ablo 28111  df-hvsub 28539  df-sh 28775  df-shs 28878

This theorem is referenced by:  shsel2  28892  shsub2  28895  shscomi  28933  pjpjpre  28989  chscllem1  29207  chscllem2  29208  chscllem3  29209  chscllem4  29210