HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  shscom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem shscom 31147
Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
shscom ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem shscom
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shel 31039 . . . . . . . . 9 ((𝐴S𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℋ)
2 shel 31039 . . . . . . . . 9 ((𝐵S𝑧𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
31, 2anim12i 611 . . . . . . . 8 (((𝐴S𝑦𝐴) ∧ (𝐵S𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
43an4s 658 . . . . . . 7 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
5 ax-hvcom 30829 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
76eqeq2d 2738 . . . . 5 (((𝐴S𝐵S ) ∧ (𝑦𝐴𝑧𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
872rexbidva 3213 . . . 4 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
9 rexcom 3283 . . . 4 (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑧 + 𝑦) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦))
108, 9bitrdi 286 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
11 shsel 31142 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑦𝐴𝑧𝐵 𝑥 = (𝑦 + 𝑧)))
12 shsel 31142 . . . 4 ((𝐵S𝐴S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1312ancoms 457 . . 3 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴) ↔ ∃𝑧𝐵𝑦𝐴 𝑥 = (𝑧 + 𝑦)))
1410, 11, 133bitr4d 310 . 2 ((𝐴S𝐵S ) → (𝑥 ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 + 𝐴)))
1514eqrdv 2725 1 ((𝐴S𝐵S ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3066  (class class class)co 7424  chba 30747   + cva 30748   S csh 30756   + cph 30759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-hilex 30827  ax-hfvadd 30828  ax-hvcom 30829  ax-hvass 30830  ax-hv0cl 30831  ax-hvaddid 30832  ax-hfvmul 30833  ax-hvmulid 30834  ax-hvdistr2 30837  ax-hvmul0 30838
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-ltxr 11289  df-sub 11482  df-neg 11483  df-grpo 30321  df-ablo 30373  df-hvsub 30799  df-sh 31035  df-shs 31136
This theorem is referenced by:  shsel2  31150  shsub2  31153  shscomi  31191  pjpjpre  31247  chscllem1  31465  chscllem2  31466  chscllem3  31467  chscllem4  31468
  Copyright terms: Public domain W3C validator