Theorem shscom 31682

Description: Commutative law for subspace sum. (Contributed by NM, 15-Dec-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
shscom	⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))

Proof of Theorem shscom

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shel 31574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℋ)
2		shel 31574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ ℋ)
3	1, 2	anim12i 624	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
4	3	an4s 672	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ))
5		ax-hvcom 31364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
6	4, 5	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑦 +ℎ 𝑧) = (𝑧 +ℎ 𝑦))
7	6	eqeq2d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
8	7	2rexbidva 3227	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
9		rexcom 3293	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦))
10	8, 9	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
11		shsel 31677	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑥 = (𝑦 +ℎ 𝑧)))
12		shsel 31677	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Sℋ ∧ 𝐴 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
13	12	ancoms 463	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 = (𝑧 +ℎ 𝑦)))
14	10, 11, 13	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝑥 ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (𝐵 +ℋ 𝐴)))
15	14	eqrdv 2760	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Sℋ ∧ 𝐵 ∈ Sℋ ) → (𝐴 +ℋ 𝐵) = (𝐵 +ℋ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∃wrex 3088  (class class class)co 7412   ℋchba 31282   +_ℎ cva 31283   S_ℋ csh 31291   +_ℋ cph 31294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hilex 31362  ax-hfvadd 31363  ax-hvcom 31364  ax-hvass 31365  ax-hv0cl 31366  ax-hvaddid 31367  ax-hfvmul 31368  ax-hvmulid 31369  ax-hvdistr2 31372  ax-hvmul0 31373

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450  df-grpo 30856  df-ablo 30908  df-hvsub 31334  df-sh 31570  df-shs 31671

This theorem is used by:  shsel2  31685  shsub2  31688  shscomi  31726  pjpjpre  31782  chscllem1  32000  chscllem2  32001  chscllem3  32002  chscllem4  32003