Theorem shsval3i 31923

Description: An alternate way to express subspace sum. (Contributed by NM, 25-Nov-2004.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
shlesb1.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
shlesb1.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
shsval3i	⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem shsval3i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shlesb1.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
2		shlesb1.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
3	1, 2	shsval2i 31922	. 2 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
4	1	shssii 31748	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ℋ
5	2	shssii 31748	. . . 4 ⊢ 𝐵 ⊆ ℋ
6	4, 5	unssi 4136	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ
7		spanval 31868	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℋ → (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥})
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ (span‘(𝐴 ∪ 𝐵)) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ 𝑥}
9	3, 8	eqtr4i 2786	1 ⊢ (𝐴 +ℋ 𝐵) = (span‘(𝐴 ∪ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ∩ cint 4906  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408   ℋchba 31454   S_ℋ csh 31463   +_ℋ cph 31466  spancspn 31467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251  ax-hilex 31534  ax-hfvadd 31535  ax-hvcom 31536  ax-hvass 31537  ax-hv0cl 31538  ax-hvaddid 31539  ax-hfvmul 31540  ax-hvmulid 31541  ax-hvmulass 31542  ax-hvdistr1 31543  ax-hvdistr2 31544  ax-hvmul0 31545  ax-hfi 31614  ax-his1 31617  ax-his2 31618  ax-his3 31619  ax-his4 31620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-q 13045  df-rp 13090  df-xneg 13210  df-xadd 13211  df-xmul 13212  df-icc 13452  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-topgen 17575  df-psmet 21631  df-xmet 21632  df-met 21633  df-bl 21634  df-mopn 21635  df-top 23173  df-topon 23190  df-bases 23225  df-lm 23508  df-haus 23594  df-grpo 31028  df-gid 31029  df-ginv 31030  df-gdiv 31031  df-ablo 31080  df-vc 31094  df-nv 31127  df-va 31130  df-ba 31131  df-sm 31132  df-0v 31133  df-vs 31134  df-nmcv 31135  df-ims 31136  df-hnorm 31503  df-hvsub 31506  df-hlim 31507  df-sh 31742  df-ch 31756  df-ch0 31788  df-shs 31843  df-span 31844

This theorem is used by:  shs0i  31984