Theorem sqn5ii 43483

Description: The square of a number ending in 5. This shortcut only works because 5 is half of 10. (Contributed by Steven Nguyen, 16-Sep-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
sqn5i.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
sqn5ii.2	⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
sqn5ii.3	⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
sqn5ii	⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;𝐶25

Proof of Theorem sqn5ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqn5i.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	sqn5i 43482	. 2 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25
3		sqn5ii.2	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 1) = 𝐵
4	3	oveq2i 7438	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) = (𝐴 · 𝐵)
5		sqn5ii.3	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝐵) = 𝐶
6	4, 5	eqtri 2786	. . . 4 ⊢ (𝐴 · (𝐴 + 1)) = 𝐶
7	6	deceq1i 12831	. . 3 ⊢ ;(𝐴 · (𝐴 + 1))2 = ;𝐶2
8	7	deceq1i 12831	. 2 ⊢ ;;(𝐴 · (𝐴 + 1))25 = ;;𝐶25
9	2, 8	eqtri 2786	1 ⊢ (;𝐴5 · ;𝐴5) = ;;𝐶25

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215  2c2 12407  5c5 12410  ℕ₀cn0 12616  ;cdc 12824

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-dec 12825

This theorem is used by:  sq45  43822