Theorem decpmulnc 42931

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication, no carry. Compare muladdi 11661. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmulnc.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
decpmulnc	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹𝐺

Proof of Theorem decpmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12722	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.c	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		eqid 2769	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ;𝐶𝐷
7		decpmulnc.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝐺
8	2, 5	nn0mulcli 12538	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℕ0
9	7, 8	eqeltrri 2866	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
10	1, 5	nn0mulcli 12538	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
11		eqid 2769	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
12		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
13	10	nn0cni 12512	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
14	2, 4	nn0mulcli 12538	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12512	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ
16		decpmulnc.2	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
17	13, 15, 16	addcomli 11398	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) = 𝐹
18	1, 2, 10, 11, 4, 12, 17	decrmanc 12769	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) = ;𝐸𝐹
19		eqid 2769	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷)
20	5, 1, 2, 11, 19, 7	decmul1 12776	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · 𝐷) = ;(𝐴 · 𝐷)𝐺
21	3, 4, 5, 6, 9, 10, 18, 20	decmul2c 12778	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹𝐺

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408   + caddc 11099   · cmul 11101  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-dec 12708

This theorem is referenced by:  decpmul  42932  sqdeccom12  42933