Theorem decpmulnc 41662

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication, no carry. Compare muladdi 11672. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmulnc.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
decpmulnc	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹𝐺

Proof of Theorem decpmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12699	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.c	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		eqid 2731	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ;𝐶𝐷
7		decpmulnc.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝐺
8	2, 5	nn0mulcli 12517	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℕ0
9	7, 8	eqeltrri 2829	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
10	1, 5	nn0mulcli 12517	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
11		eqid 2731	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
12		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
13	10	nn0cni 12491	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
14	2, 4	nn0mulcli 12517	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12491	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ
16		decpmulnc.2	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
17	13, 15, 16	addcomli 11413	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) = 𝐹
18	1, 2, 10, 11, 4, 12, 17	decrmanc 12741	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) = ;𝐸𝐹
19		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷)
20	5, 1, 2, 11, 19, 7	decmul1 12748	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · 𝐷) = ;(𝐴 · 𝐷)𝐺
21	3, 4, 5, 6, 9, 10, 18, 20	decmul2c 12750	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹𝐺

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412   + caddc 11119   · cmul 11121  ℕ₀cn0 12479  ;cdc 12684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-dec 12685

This theorem is referenced by:  decpmul  41663  sqdeccom12  41664