Theorem decpmulnc 41898

Description: Partial products algorithm for two digit multiplication, no carry. Compare muladdi 11693. (Contributed by Steven Nguyen, 9-Dec-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
decpmulnc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decpmulnc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decpmulnc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decpmulnc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
decpmulnc.1	⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
decpmulnc.2	⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
decpmulnc.3	⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝐺

Assertion

Ref	Expression
decpmulnc	⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹𝐺

Proof of Theorem decpmulnc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decpmulnc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		decpmulnc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12720	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 ∈ ℕ0
4		decpmulnc.c	. 2 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5		decpmulnc.d	. 2 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6		eqid 2725	. 2 ⊢ ;𝐶𝐷 = ;𝐶𝐷
7		decpmulnc.3	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) = 𝐺
8	2, 5	nn0mulcli 12538	. . 3 ⊢ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℕ0
9	7, 8	eqeltrri 2822	. 2 ⊢ 𝐺 ∈ ℕ0
10	1, 5	nn0mulcli 12538	. 2 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℕ0
11		eqid 2725	. . 3 ⊢ ;𝐴𝐵 = ;𝐴𝐵
12		decpmulnc.1	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐶) = 𝐸
13	10	nn0cni 12512	. . . 4 ⊢ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
14	2, 4	nn0mulcli 12538	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℕ0
15	14	nn0cni 12512	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ
16		decpmulnc.2	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶)) = 𝐹
17	13, 15, 16	addcomli 11434	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) = 𝐹
18	1, 2, 10, 11, 4, 12, 17	decrmanc 12762	. 2 ⊢ ((;𝐴𝐵 · 𝐶) + (𝐴 · 𝐷)) = ;𝐸𝐹
19		eqid 2725	. . 3 ⊢ (𝐴 · 𝐷) = (𝐴 · 𝐷)
20	5, 1, 2, 11, 19, 7	decmul1 12769	. 2 ⊢ (;𝐴𝐵 · 𝐷) = ;(𝐴 · 𝐷)𝐺
21	3, 4, 5, 6, 9, 10, 18, 20	decmul2c 12771	1 ⊢ (;𝐴𝐵 · ;𝐶𝐷) = ;;𝐸𝐹𝐺

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7414   + caddc 11139   · cmul 11141  ℕ₀cn0 12500  ;cdc 12705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-ltxr 11281  df-sub 11474  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-dec 12706

This theorem is referenced by:  decpmul  41899  sqdeccom12  41900