Theorem reabsifneg 44284

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. Lemma for sqrtcval 44293. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabsifneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))

Proof of Theorem reabsifneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11210	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltle 11298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
3	1, 2	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
4	3	imdistani 578	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0))
5		absnid 15349	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
7	6	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (abs‘𝐴))
8		0red 11211	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	lenltd 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
11	10	bicomd 226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ 0 ≤ 𝐴))
12		absid 15347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
13	11, 12	sylbida 603	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	13	eqcomd 2775	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 = (abs‘𝐴))
15	7, 14	ifeqda 4529	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴) = (abs‘𝐴))
16	15	eqcomd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4492   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  ℝcr 11099  0cc0 11100   < clt 11243   ≤ cle 11244  -cneg 11442  abscabs 15285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287

This theorem is referenced by:  reabssgn  44288  sqrtcval  44293