Theorem reabsifneg 41550

Description: Alternate expression for the absolute value of a real number. Lemma for sqrtcval 41559. (Contributed by RP, 11-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
reabsifneg	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))

Proof of Theorem reabsifneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11070	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		ltle 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
3	1, 2	mpan2 688	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 → 𝐴 ≤ 0))
4	3	imdistani 569	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0))
5		absnid 15101	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (abs‘𝐴) = -𝐴)
7	6	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 = (abs‘𝐴))
8		0red 11071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
9		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
10	8, 9	lenltd 11214	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
11	10	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 0 ↔ 0 ≤ 𝐴))
12		absid 15099	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
13	11, 12	sylbida 592	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
14	13	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 = (abs‘𝐴))
15	7, 14	ifeqda 4508	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴) = (abs‘𝐴))
16	15	eqcomd 2742	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (abs‘𝐴) = if(𝐴 < 0, -𝐴, 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ifcif 4472   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  ℝcr 10963  0cc0 10964   < clt 11102   ≤ cle 11103  -cneg 11299  abscabs 15036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-pre-sup 11042

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-sup 9291  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-div 11726  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-rp 12824  df-seq 13815  df-exp 13876  df-cj 14901  df-re 14902  df-im 14903  df-sqrt 15037  df-abs 15038

This theorem is referenced by:  reabssgn  41554  sqrtcval  41559