Theorem recld 15119

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15035	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6486  ℂcc 11026  ℝcr 11027  ℜcre 15022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-cj 15024  df-re 15025

This theorem is referenced by:  abstri  15256  sqreulem  15285  eqsqrt2d  15294  rlimrege0  15504  recoscl  16068  cos01bnd  16113  cnsubrg  21352  mbfeqa  25560  mbfss  25563  mbfmulc2re  25565  mbfadd  25578  mbfmulc2  25580  mbflim  25585  mbfmul  25643  iblcn  25716  itgcnval  25717  itgre  25718  itgim  25719  iblneg  25720  itgneg  25721  iblss  25722  itgeqa  25731  iblconst  25735  ibladd  25738  itgadd  25742  iblabs  25746  iblabsr  25747  iblmulc2  25748  itgmulc2  25751  itgabs  25752  itgsplit  25753  bddiblnc  25759  dvlip  25914  tanregt0  26464  efif1olem4  26470  eff1olem  26473  lognegb  26515  relog  26522  efiarg  26532  cosarg0d  26534  argregt0  26535  argrege0  26536  abslogle  26543  logcnlem4  26570  cxpsqrtlem  26627  cxpcn3lem  26673  abscxpbnd  26679  cosangneg2d  26733  angrtmuld  26734  lawcoslem1  26741  isosctrlem1  26744  asinlem3a  26796  asinlem3  26797  asinneg  26812  asinsinlem  26817  asinsin  26818  acosbnd  26826  atanlogaddlem  26839  atanlogadd  26840  atanlogsublem  26841  atanlogsub  26842  atantan  26849  o1cxp  26901  cxploglim2  26905  zetacvg  26941  lgamgulmlem2  26956  constrrecl  33735  constrimcl  33736  constrmulcl  33737  sqsscirc2  33875  ibladdnc  37656  itgaddnc  37659  iblabsnc  37663  iblmulc2nc  37664  itgmulc2nc  37667  itgabsnc  37668  ftc1anclem2  37673  ftc1anclem5  37676  ftc1anclem6  37677  ftc1anclem8  37679  cntotbnd  37775  sqrtcvallem1  43604  sqrtcvallem4  43612  isosctrlem1ALT  44907  iblsplit  45948