Theorem recld 15233

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15149	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  ℝcr 11154  ℜcre 15136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-2 12329  df-cj 15138  df-re 15139

This theorem is referenced by:  abstri  15369  sqreulem  15398  eqsqrt2d  15407  rlimrege0  15615  recoscl  16177  cos01bnd  16222  cnsubrg  21445  mbfeqa  25678  mbfss  25681  mbfmulc2re  25683  mbfadd  25696  mbfmulc2  25698  mbflim  25703  mbfmul  25761  iblcn  25834  itgcnval  25835  itgre  25836  itgim  25837  iblneg  25838  itgneg  25839  iblss  25840  itgeqa  25849  iblconst  25853  ibladd  25856  itgadd  25860  iblabs  25864  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  itgmulc2  25869  itgabs  25870  itgsplit  25871  bddiblnc  25877  dvlip  26032  tanregt0  26581  efif1olem4  26587  eff1olem  26590  lognegb  26632  relog  26639  efiarg  26649  cosarg0d  26651  argregt0  26652  argrege0  26653  abslogle  26660  logcnlem4  26687  cxpsqrtlem  26744  cxpcn3lem  26790  abscxpbnd  26796  cosangneg2d  26850  angrtmuld  26851  lawcoslem1  26858  isosctrlem1  26861  asinlem3a  26913  asinlem3  26914  asinneg  26929  asinsinlem  26934  asinsin  26935  acosbnd  26943  atanlogaddlem  26956  atanlogadd  26957  atanlogsublem  26958  atanlogsub  26959  atantan  26966  o1cxp  27018  cxploglim2  27022  zetacvg  27058  lgamgulmlem2  27073  sqsscirc2  33908  ibladdnc  37684  itgaddnc  37687  iblabsnc  37691  iblmulc2nc  37692  itgmulc2nc  37695  itgabsnc  37696  ftc1anclem2  37701  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705  ftc1anclem8  37707  cntotbnd  37803  sqrtcvallem1  43644  sqrtcvallem4  43652  isosctrlem1ALT  44954  iblsplit  45981