MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recld 14545
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
recld (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 recl 14461 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  cfv 6348  cc 10527  cr 10528  cre 14448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-2 11692  df-cj 14450  df-re 14451
This theorem is referenced by:  abstri  14682  sqreulem  14711  eqsqrt2d  14720  rlimrege0  14928  recoscl  15486  cos01bnd  15531  cnsubrg  20597  mbfeqa  24236  mbfss  24239  mbfmulc2re  24241  mbfadd  24254  mbfmulc2  24256  mbflim  24261  mbfmul  24319  iblcn  24391  itgcnval  24392  itgre  24393  itgim  24394  iblneg  24395  itgneg  24396  iblss  24397  itgeqa  24406  iblconst  24410  ibladd  24413  itgadd  24417  iblabs  24421  iblabsr  24422  iblmulc2  24423  itgmulc2  24426  itgabs  24427  itgsplit  24428  dvlip  24582  tanregt0  25115  efif1olem4  25121  eff1olem  25124  lognegb  25165  relog  25172  efiarg  25182  cosarg0d  25184  argregt0  25185  argrege0  25186  abslogle  25193  logcnlem4  25220  cxpsqrtlem  25277  cxpcn3lem  25320  abscxpbnd  25326  cosangneg2d  25377  angrtmuld  25378  lawcoslem1  25385  isosctrlem1  25388  asinlem3a  25440  asinlem3  25441  asinneg  25456  asinsinlem  25461  asinsin  25462  acosbnd  25470  atanlogaddlem  25483  atanlogadd  25484  atanlogsublem  25485  atanlogsub  25486  atantan  25493  o1cxp  25544  cxploglim2  25548  zetacvg  25584  lgamgulmlem2  25599  sqsscirc2  31140  ibladdnc  34936  itgaddnc  34939  iblabsnc  34943  iblmulc2nc  34944  itgmulc2nc  34947  itgabsnc  34948  bddiblnc  34949  ftc1anclem2  34955  ftc1anclem5  34958  ftc1anclem6  34959  ftc1anclem8  34961  cntotbnd  35061  isosctrlem1ALT  41253  iblsplit  42235
  Copyright terms: Public domain W3C validator