Theorem recld 14905

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 14821	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  ℂcc 10869  ℝcr 10870  ℜcre 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811

This theorem is referenced by:  abstri  15042  sqreulem  15071  eqsqrt2d  15080  rlimrege0  15288  recoscl  15850  cos01bnd  15895  cnsubrg  20658  mbfeqa  24807  mbfss  24810  mbfmulc2re  24812  mbfadd  24825  mbfmulc2  24827  mbflim  24832  mbfmul  24891  iblcn  24963  itgcnval  24964  itgre  24965  itgim  24966  iblneg  24967  itgneg  24968  iblss  24969  itgeqa  24978  iblconst  24982  ibladd  24985  itgadd  24989  iblabs  24993  iblabsr  24994  iblmulc2  24995  itgmulc2  24998  itgabs  24999  itgsplit  25000  bddiblnc  25006  dvlip  25157  tanregt0  25695  efif1olem4  25701  eff1olem  25704  lognegb  25745  relog  25752  efiarg  25762  cosarg0d  25764  argregt0  25765  argrege0  25766  abslogle  25773  logcnlem4  25800  cxpsqrtlem  25857  cxpcn3lem  25900  abscxpbnd  25906  cosangneg2d  25957  angrtmuld  25958  lawcoslem1  25965  isosctrlem1  25968  asinlem3a  26020  asinlem3  26021  asinneg  26036  asinsinlem  26041  asinsin  26042  acosbnd  26050  atanlogaddlem  26063  atanlogadd  26064  atanlogsublem  26065  atanlogsub  26066  atantan  26073  o1cxp  26124  cxploglim2  26128  zetacvg  26164  lgamgulmlem2  26179  sqsscirc2  31859  ibladdnc  35834  itgaddnc  35837  iblabsnc  35841  iblmulc2nc  35842  itgmulc2nc  35845  itgabsnc  35846  ftc1anclem2  35851  ftc1anclem5  35854  ftc1anclem6  35855  ftc1anclem8  35857  cntotbnd  35954  sqrtcvallem1  41239  sqrtcvallem4  41247  isosctrlem1ALT  42554  iblsplit  43507