Theorem recld 15235

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15151	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  ℂcc 11086  ℝcr 11087  ℜcre 15138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-cj 15140  df-re 15141

This theorem is referenced by:  abstri  15372  sqreulem  15401  eqsqrt2d  15410  rlimrege0  15620  recoscl  16187  cos01bnd  16232  cnsubrg  21537  mbfeqa  25763  mbfss  25766  mbfmulc2re  25768  mbfadd  25781  mbfmulc2  25783  mbflim  25788  mbfmul  25846  iblcn  25919  itgcnval  25920  itgre  25921  itgim  25922  iblneg  25923  itgneg  25924  iblss  25925  itgeqa  25934  iblconst  25938  ibladd  25941  itgadd  25945  iblabs  25949  iblabsr  25950  iblmulc2  25951  itgmulc2  25954  itgabs  25955  itgsplit  25956  bddiblnc  25962  dvlip  26113  tanregt0  26662  efif1olem4  26668  eff1olem  26671  lognegb  26713  relog  26720  efiarg  26730  cosarg0d  26732  argregt0  26733  argrege0  26734  abslogle  26741  logcnlem4  26768  cxpsqrtlem  26825  cxpcn3lem  26870  abscxpbnd  26876  cosangneg2d  26930  angrtmuld  26931  lawcoslem1  26938  isosctrlem1  26941  asinlem3a  26993  asinlem3  26994  asinneg  27009  asinsinlem  27014  asinsin  27015  acosbnd  27023  atanlogaddlem  27036  atanlogadd  27037  atanlogsublem  27038  atanlogsub  27039  atantan  27046  o1cxp  27097  cxploglim2  27101  zetacvg  27137  lgamgulmlem2  27152  constrrecl  34076  constrimcl  34077  constrmulcl  34078  sqsscirc2  34216  ibladdnc  38188  itgaddnc  38191  iblabsnc  38195  iblmulc2nc  38196  itgmulc2nc  38199  itgabsnc  38200  ftc1anclem2  38205  ftc1anclem5  38208  ftc1anclem6  38209  ftc1anclem8  38211  cntotbnd  38307  sqrtcvallem1  44219  sqrtcvallem4  44227  isosctrlem1ALT  45507  iblsplit  46538