MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  recld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recld 14142
Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
recld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
recld (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld
StepHypRef Expression
1 recld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 recl 14058 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  cfv 6031  cc 10136  cr 10137  cre 14045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-2 11281  df-cj 14047  df-re 14048
This theorem is referenced by:  abstri  14278  sqreulem  14307  eqsqrt2d  14316  rlimrege0  14518  recoscl  15077  cos01bnd  15122  cnsubrg  20021  mbfeqa  23630  mbfss  23633  mbfmulc2re  23635  mbfadd  23648  mbfmulc2  23650  mbflim  23655  mbfmul  23713  iblcn  23785  itgcnval  23786  itgre  23787  itgim  23788  iblneg  23789  itgneg  23790  iblss  23791  itgeqa  23800  iblconst  23804  ibladd  23807  itgadd  23811  iblabs  23815  iblabsr  23816  iblmulc2  23817  itgmulc2  23820  itgabs  23821  itgsplit  23822  dvlip  23976  tanregt0  24506  efif1olem4  24512  eff1olem  24515  lognegb  24557  relog  24564  efiarg  24574  cosarg0d  24576  argregt0  24577  argrege0  24578  abslogle  24585  logcnlem4  24612  cxpsqrtlem  24669  cxpcn3lem  24709  abscxpbnd  24715  cosangneg2d  24758  angrtmuld  24759  lawcoslem1  24766  isosctrlem1  24769  asinlem3a  24818  asinlem3  24819  asinneg  24834  asinsinlem  24839  asinsin  24840  acosbnd  24848  atanlogaddlem  24861  atanlogadd  24862  atanlogsublem  24863  atanlogsub  24864  atantan  24871  o1cxp  24922  cxploglim2  24926  zetacvg  24962  lgamgulmlem2  24977  sqsscirc2  30295  ibladdnc  33799  itgaddnc  33802  iblabsnc  33806  iblmulc2nc  33807  itgmulc2nc  33810  itgabsnc  33811  bddiblnc  33812  ftc1anclem2  33818  ftc1anclem5  33821  ftc1anclem6  33822  ftc1anclem8  33824  cntotbnd  33927  isosctrlem1ALT  39692  iblsplit  40699
  Copyright terms: Public domain W3C validator