Theorem recld 14545

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 14461	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  ℂcc 10524  ℝcr 10525  ℜcre 14448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14450  df-re 14451

This theorem is referenced by:  abstri  14682  sqreulem  14711  eqsqrt2d  14720  rlimrege0  14928  recoscl  15486  cos01bnd  15531  cnsubrg  20151  mbfeqa  24247  mbfss  24250  mbfmulc2re  24252  mbfadd  24265  mbfmulc2  24267  mbflim  24272  mbfmul  24330  iblcn  24402  itgcnval  24403  itgre  24404  itgim  24405  iblneg  24406  itgneg  24407  iblss  24408  itgeqa  24417  iblconst  24421  ibladd  24424  itgadd  24428  iblabs  24432  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  itgmulc2  24437  itgabs  24438  itgsplit  24439  bddiblnc  24445  dvlip  24596  tanregt0  25131  efif1olem4  25137  eff1olem  25140  lognegb  25181  relog  25188  efiarg  25198  cosarg0d  25200  argregt0  25201  argrege0  25202  abslogle  25209  logcnlem4  25236  cxpsqrtlem  25293  cxpcn3lem  25336  abscxpbnd  25342  cosangneg2d  25393  angrtmuld  25394  lawcoslem1  25401  isosctrlem1  25404  asinlem3a  25456  asinlem3  25457  asinneg  25472  asinsinlem  25477  asinsin  25478  acosbnd  25486  atanlogaddlem  25499  atanlogadd  25500  atanlogsublem  25501  atanlogsub  25502  atantan  25509  o1cxp  25560  cxploglim2  25564  zetacvg  25600  lgamgulmlem2  25615  sqsscirc2  31262  ibladdnc  35114  itgaddnc  35117  iblabsnc  35121  iblmulc2nc  35122  itgmulc2nc  35125  itgabsnc  35126  ftc1anclem2  35131  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem8  35137  cntotbnd  35234  sqrtcvallem1  40331  sqrtcvallem4  40339  isosctrlem1ALT  41640  iblsplit  42608