Theorem recld 15147

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  ℂcc 11027  ℝcr 11028  ℜcre 15050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-cj 15052  df-re 15053

This theorem is referenced by:  abstri  15284  sqreulem  15313  eqsqrt2d  15322  rlimrege0  15532  recoscl  16099  cos01bnd  16144  cnsubrg  21417  mbfeqa  25620  mbfss  25623  mbfmulc2re  25625  mbfadd  25638  mbfmulc2  25640  mbflim  25645  mbfmul  25703  iblcn  25776  itgcnval  25777  itgre  25778  itgim  25779  iblneg  25780  itgneg  25781  iblss  25782  itgeqa  25791  iblconst  25795  ibladd  25798  itgadd  25802  iblabs  25806  iblabsr  25807  iblmulc2  25808  itgmulc2  25811  itgabs  25812  itgsplit  25813  bddiblnc  25819  dvlip  25970  tanregt0  26516  efif1olem4  26522  eff1olem  26525  lognegb  26567  relog  26574  efiarg  26584  cosarg0d  26586  argregt0  26587  argrege0  26588  abslogle  26595  logcnlem4  26622  cxpsqrtlem  26679  cxpcn3lem  26724  abscxpbnd  26730  cosangneg2d  26784  angrtmuld  26785  lawcoslem1  26792  isosctrlem1  26795  asinlem3a  26847  asinlem3  26848  asinneg  26863  asinsinlem  26868  asinsin  26869  acosbnd  26877  atanlogaddlem  26890  atanlogadd  26891  atanlogsublem  26892  atanlogsub  26893  atantan  26900  o1cxp  26952  cxploglim2  26956  zetacvg  26992  lgamgulmlem2  27007  constrrecl  33929  constrimcl  33930  constrmulcl  33931  sqsscirc2  34069  ibladdnc  38012  itgaddnc  38015  iblabsnc  38019  iblmulc2nc  38020  itgmulc2nc  38023  itgabsnc  38024  ftc1anclem2  38029  ftc1anclem5  38032  ftc1anclem6  38033  ftc1anclem8  38035  cntotbnd  38131  sqrtcvallem1  44076  sqrtcvallem4  44084  isosctrlem1ALT  45378  iblsplit  46412