Theorem recld 14646

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 14562	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6340  ℂcc 10616  ℝcr 10617  ℜcre 14549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-op 4524  df-uni 4798  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-id 5430  df-po 5443  df-so 5444  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-2 11782  df-cj 14551  df-re 14552

This theorem is referenced by:  abstri  14783  sqreulem  14812  eqsqrt2d  14821  rlimrege0  15029  recoscl  15589  cos01bnd  15634  cnsubrg  20280  mbfeqa  24398  mbfss  24401  mbfmulc2re  24403  mbfadd  24416  mbfmulc2  24418  mbflim  24423  mbfmul  24482  iblcn  24554  itgcnval  24555  itgre  24556  itgim  24557  iblneg  24558  itgneg  24559  iblss  24560  itgeqa  24569  iblconst  24573  ibladd  24576  itgadd  24580  iblabs  24584  iblabsr  24585  iblmulc2  24586  itgmulc2  24589  itgabs  24590  itgsplit  24591  bddiblnc  24597  dvlip  24748  tanregt0  25286  efif1olem4  25292  eff1olem  25295  lognegb  25336  relog  25343  efiarg  25353  cosarg0d  25355  argregt0  25356  argrege0  25357  abslogle  25364  logcnlem4  25391  cxpsqrtlem  25448  cxpcn3lem  25491  abscxpbnd  25497  cosangneg2d  25548  angrtmuld  25549  lawcoslem1  25556  isosctrlem1  25559  asinlem3a  25611  asinlem3  25612  asinneg  25627  asinsinlem  25632  asinsin  25633  acosbnd  25641  atanlogaddlem  25654  atanlogadd  25655  atanlogsublem  25656  atanlogsub  25657  atantan  25664  o1cxp  25715  cxploglim2  25719  zetacvg  25755  lgamgulmlem2  25770  sqsscirc2  31434  ibladdnc  35480  itgaddnc  35483  iblabsnc  35487  iblmulc2nc  35488  itgmulc2nc  35491  itgabsnc  35492  ftc1anclem2  35497  ftc1anclem5  35500  ftc1anclem6  35501  ftc1anclem8  35503  cntotbnd  35600  sqrtcvallem1  40807  sqrtcvallem4  40815  isosctrlem1ALT  42115  iblsplit  43072