Theorem recld 15393

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15309	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  ℂcc 11228  ℝcr 11229  ℜcre 15296

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-cj 15298  df-re 15299

This theorem is used by:  abstri  15530  sqreulem  15559  eqsqrt2d  15568  rlimrege0  15778  recoscl  16341  cos01bnd  16386  cnsubrg  21766  mbfeqa  25997  mbfss  26000  mbfmulc2re  26002  mbfadd  26015  mbfmulc2  26017  mbflim  26022  mbfmul  26080  iblcn  26152  itgcnval  26153  itgre  26154  itgim  26155  iblneg  26156  itgneg  26157  iblss  26158  itgeqa  26167  iblconst  26171  ibladd  26174  itgadd  26178  iblabs  26182  iblabsr  26183  iblmulc2  26184  itgmulc2  26187  itgabs  26188  itgsplit  26189  bddiblnc  26195  dvlip  26346  tanregt0  26900  efif1olem4  26906  eff1olem  26909  lognegb  26951  relog  26958  efiarg  26968  cosarg0d  26970  argregt0  26971  argrege0  26972  abslogle  26979  logcnlem4  27006  cxpsqrtlem  27063  cxpcn3lem  27108  abscxpbnd  27114  cosangneg2d  27168  angrtmuld  27169  lawcoslem1  27176  isosctrlem1  27179  asinlem3a  27231  asinlem3  27232  asinneg  27247  asinsinlem  27252  asinsin  27253  acosbnd  27261  atanlogaddlem  27274  atanlogadd  27275  atanlogsublem  27276  atanlogsub  27277  atantan  27284  o1cxp  27335  cxploglim2  27339  zetacvg  27375  lgamgulmlem2  27390  constrrecl  34484  constrimcl  34485  constrmulcl  34486  sqsscirc2  34624  ibladdnc  38800  itgaddnc  38803  iblabsnc  38807  iblmulc2nc  38808  itgmulc2nc  38811  itgabsnc  38812  ftc1anclem2  38817  ftc1anclem5  38820  ftc1anclem6  38821  ftc1anclem8  38823  cntotbnd  38933  sqrtcvallem1  44834  sqrtcvallem4  44842  isosctrlem1ALT  46118  iblsplit  47191