Theorem recld 15247

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2143  ‘cfv 6538  ℂcc 11099  ℝcr 11100  ℜcre 15150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-cj 15152  df-re 15153

This theorem is referenced by:  abstri  15384  sqreulem  15413  eqsqrt2d  15422  rlimrege0  15632  recoscl  16198  cos01bnd  16243  cnsubrg  21558  mbfeqa  25783  mbfss  25786  mbfmulc2re  25788  mbfadd  25801  mbfmulc2  25803  mbflim  25808  mbfmul  25866  iblcn  25939  itgcnval  25940  itgre  25941  itgim  25942  iblneg  25943  itgneg  25944  iblss  25945  itgeqa  25954  iblconst  25958  ibladd  25961  itgadd  25965  iblabs  25969  iblabsr  25970  iblmulc2  25971  itgmulc2  25974  itgabs  25975  itgsplit  25976  bddiblnc  25982  dvlip  26133  tanregt0  26685  efif1olem4  26691  eff1olem  26694  lognegb  26736  relog  26743  efiarg  26753  cosarg0d  26755  argregt0  26756  argrege0  26757  abslogle  26764  logcnlem4  26791  cxpsqrtlem  26848  cxpcn3lem  26893  abscxpbnd  26899  cosangneg2d  26953  angrtmuld  26954  lawcoslem1  26961  isosctrlem1  26964  asinlem3a  27016  asinlem3  27017  asinneg  27032  asinsinlem  27037  asinsin  27038  acosbnd  27046  atanlogaddlem  27059  atanlogadd  27060  atanlogsublem  27061  atanlogsub  27062  atantan  27069  o1cxp  27120  cxploglim2  27124  zetacvg  27160  lgamgulmlem2  27175  constrrecl  34140  constrimcl  34141  constrmulcl  34142  sqsscirc2  34280  ibladdnc  38309  itgaddnc  38312  iblabsnc  38316  iblmulc2nc  38317  itgmulc2nc  38320  itgabsnc  38321  ftc1anclem2  38326  ftc1anclem5  38329  ftc1anclem6  38330  ftc1anclem8  38332  cntotbnd  38428  sqrtcvallem1  44340  sqrtcvallem4  44348  isosctrlem1ALT  45625  iblsplit  46663