Theorem recld 15145

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15061	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6490  ℂcc 11025  ℝcr 11026  ℜcre 15048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-cj 15050  df-re 15051

This theorem is referenced by:  abstri  15282  sqreulem  15311  eqsqrt2d  15320  rlimrege0  15530  recoscl  16097  cos01bnd  16142  cnsubrg  21415  mbfeqa  25619  mbfss  25622  mbfmulc2re  25624  mbfadd  25637  mbfmulc2  25639  mbflim  25644  mbfmul  25702  iblcn  25775  itgcnval  25776  itgre  25777  itgim  25778  iblneg  25779  itgneg  25780  iblss  25781  itgeqa  25790  iblconst  25794  ibladd  25797  itgadd  25801  iblabs  25805  iblabsr  25806  iblmulc2  25807  itgmulc2  25810  itgabs  25811  itgsplit  25812  bddiblnc  25818  dvlip  25970  tanregt0  26519  efif1olem4  26525  eff1olem  26528  lognegb  26570  relog  26577  efiarg  26587  cosarg0d  26589  argregt0  26590  argrege0  26591  abslogle  26598  logcnlem4  26625  cxpsqrtlem  26682  cxpcn3lem  26728  abscxpbnd  26734  cosangneg2d  26788  angrtmuld  26789  lawcoslem1  26796  isosctrlem1  26799  asinlem3a  26851  asinlem3  26852  asinneg  26867  asinsinlem  26872  asinsin  26873  acosbnd  26881  atanlogaddlem  26894  atanlogadd  26895  atanlogsublem  26896  atanlogsub  26897  atantan  26904  o1cxp  26956  cxploglim2  26960  zetacvg  26996  lgamgulmlem2  27011  constrrecl  33934  constrimcl  33935  constrmulcl  33936  sqsscirc2  34074  ibladdnc  38009  itgaddnc  38012  iblabsnc  38016  iblmulc2nc  38017  itgmulc2nc  38020  itgabsnc  38021  ftc1anclem2  38026  ftc1anclem5  38029  ftc1anclem6  38030  ftc1anclem8  38032  cntotbnd  38128  sqrtcvallem1  44073  sqrtcvallem4  44081  isosctrlem1ALT  45375  iblsplit  46409