Theorem recld 15098

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℂcc 11001  ℝcr 11002  ℜcre 15001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-cj 15003  df-re 15004

This theorem is referenced by:  abstri  15235  sqreulem  15264  eqsqrt2d  15273  rlimrege0  15483  recoscl  16047  cos01bnd  16092  cnsubrg  21362  mbfeqa  25569  mbfss  25572  mbfmulc2re  25574  mbfadd  25587  mbfmulc2  25589  mbflim  25594  mbfmul  25652  iblcn  25725  itgcnval  25726  itgre  25727  itgim  25728  iblneg  25729  itgneg  25730  iblss  25731  itgeqa  25740  iblconst  25744  ibladd  25747  itgadd  25751  iblabs  25755  iblabsr  25756  iblmulc2  25757  itgmulc2  25760  itgabs  25761  itgsplit  25762  bddiblnc  25768  dvlip  25923  tanregt0  26473  efif1olem4  26479  eff1olem  26482  lognegb  26524  relog  26531  efiarg  26541  cosarg0d  26543  argregt0  26544  argrege0  26545  abslogle  26552  logcnlem4  26579  cxpsqrtlem  26636  cxpcn3lem  26682  abscxpbnd  26688  cosangneg2d  26742  angrtmuld  26743  lawcoslem1  26750  isosctrlem1  26753  asinlem3a  26805  asinlem3  26806  asinneg  26821  asinsinlem  26826  asinsin  26827  acosbnd  26835  atanlogaddlem  26848  atanlogadd  26849  atanlogsublem  26850  atanlogsub  26851  atantan  26858  o1cxp  26910  cxploglim2  26914  zetacvg  26950  lgamgulmlem2  26965  constrrecl  33777  constrimcl  33778  constrmulcl  33779  sqsscirc2  33917  ibladdnc  37716  itgaddnc  37719  iblabsnc  37723  iblmulc2nc  37724  itgmulc2nc  37727  itgabsnc  37728  ftc1anclem2  37733  ftc1anclem5  37736  ftc1anclem6  37737  ftc1anclem8  37739  cntotbnd  37835  sqrtcvallem1  43663  sqrtcvallem4  43671  isosctrlem1ALT  44965  iblsplit  46003