Theorem recld 15123

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15039	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6532  ℂcc 11090  ℝcr 11091  ℜcre 15026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-2 12257  df-cj 15028  df-re 15029

This theorem is referenced by:  abstri  15259  sqreulem  15288  eqsqrt2d  15297  rlimrege0  15505  recoscl  16066  cos01bnd  16111  cnsubrg  20939  mbfeqa  25089  mbfss  25092  mbfmulc2re  25094  mbfadd  25107  mbfmulc2  25109  mbflim  25114  mbfmul  25173  iblcn  25245  itgcnval  25246  itgre  25247  itgim  25248  iblneg  25249  itgneg  25250  iblss  25251  itgeqa  25260  iblconst  25264  ibladd  25267  itgadd  25271  iblabs  25275  iblabsr  25276  iblmulc2  25277  itgmulc2  25280  itgabs  25281  itgsplit  25282  bddiblnc  25288  dvlip  25439  tanregt0  25977  efif1olem4  25983  eff1olem  25986  lognegb  26027  relog  26034  efiarg  26044  cosarg0d  26046  argregt0  26047  argrege0  26048  abslogle  26055  logcnlem4  26082  cxpsqrtlem  26139  cxpcn3lem  26182  abscxpbnd  26188  cosangneg2d  26239  angrtmuld  26240  lawcoslem1  26247  isosctrlem1  26250  asinlem3a  26302  asinlem3  26303  asinneg  26318  asinsinlem  26323  asinsin  26324  acosbnd  26332  atanlogaddlem  26345  atanlogadd  26346  atanlogsublem  26347  atanlogsub  26348  atantan  26355  o1cxp  26406  cxploglim2  26410  zetacvg  26446  lgamgulmlem2  26461  sqsscirc2  32718  ibladdnc  36347  itgaddnc  36350  iblabsnc  36354  iblmulc2nc  36355  itgmulc2nc  36358  itgabsnc  36359  ftc1anclem2  36364  ftc1anclem5  36367  ftc1anclem6  36368  ftc1anclem8  36370  cntotbnd  36467  sqrtcvallem1  42151  sqrtcvallem4  42159  isosctrlem1ALT  43464  iblsplit  44453