Theorem recld 15341

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  ℂcc 11179  ℝcr 11180  ℜcre 15244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-cj 15246  df-re 15247

This theorem is used by:  abstri  15478  sqreulem  15507  eqsqrt2d  15516  rlimrege0  15726  recoscl  16289  cos01bnd  16334  cnsubrg  21713  mbfeqa  25944  mbfss  25947  mbfmulc2re  25949  mbfadd  25962  mbfmulc2  25964  mbflim  25969  mbfmul  26027  iblcn  26099  itgcnval  26100  itgre  26101  itgim  26102  iblneg  26103  itgneg  26104  iblss  26105  itgeqa  26114  iblconst  26118  ibladd  26121  itgadd  26125  iblabs  26129  iblabsr  26130  iblmulc2  26131  itgmulc2  26134  itgabs  26135  itgsplit  26136  bddiblnc  26142  dvlip  26293  tanregt0  26849  efif1olem4  26855  eff1olem  26858  lognegb  26900  relog  26907  efiarg  26917  cosarg0d  26919  argregt0  26920  argrege0  26921  abslogle  26928  logcnlem4  26955  cxpsqrtlem  27012  cxpcn3lem  27057  abscxpbnd  27063  cosangneg2d  27117  angrtmuld  27118  lawcoslem1  27125  isosctrlem1  27128  asinlem3a  27180  asinlem3  27181  asinneg  27196  asinsinlem  27201  asinsin  27202  acosbnd  27210  atanlogaddlem  27223  atanlogadd  27224  atanlogsublem  27225  atanlogsub  27226  atantan  27233  o1cxp  27284  cxploglim2  27288  zetacvg  27324  lgamgulmlem2  27339  constrrecl  34383  constrimcl  34384  constrmulcl  34385  sqsscirc2  34523  ibladdnc  38563  itgaddnc  38566  iblabsnc  38570  iblmulc2nc  38571  itgmulc2nc  38574  itgabsnc  38575  ftc1anclem2  38580  ftc1anclem5  38583  ftc1anclem6  38584  ftc1anclem8  38586  cntotbnd  38698  sqrtcvallem1  44590  sqrtcvallem4  44598  isosctrlem1ALT  45875  iblsplit  46920