Theorem recld 15285

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15201	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  ℂcc 11126  ℝcr 11127  ℜcre 15188

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-cj 15190  df-re 15191

This theorem is used by:  abstri  15422  sqreulem  15451  eqsqrt2d  15460  rlimrege0  15670  recoscl  16235  cos01bnd  16280  cnsubrg  21646  mbfeqa  25877  mbfss  25880  mbfmulc2re  25882  mbfadd  25895  mbfmulc2  25897  mbflim  25902  mbfmul  25960  iblcn  26033  itgcnval  26034  itgre  26035  itgim  26036  iblneg  26037  itgneg  26038  iblss  26039  itgeqa  26048  iblconst  26052  ibladd  26055  itgadd  26059  iblabs  26063  iblabsr  26064  iblmulc2  26065  itgmulc2  26068  itgabs  26069  itgsplit  26070  bddiblnc  26076  dvlip  26227  tanregt0  26784  efif1olem4  26790  eff1olem  26793  lognegb  26835  relog  26842  efiarg  26852  cosarg0d  26854  argregt0  26855  argrege0  26856  abslogle  26863  logcnlem4  26890  cxpsqrtlem  26947  cxpcn3lem  26992  abscxpbnd  26998  cosangneg2d  27052  angrtmuld  27053  lawcoslem1  27060  isosctrlem1  27063  asinlem3a  27115  asinlem3  27116  asinneg  27131  asinsinlem  27136  asinsin  27137  acosbnd  27145  atanlogaddlem  27158  atanlogadd  27159  atanlogsublem  27160  atanlogsub  27161  atantan  27168  o1cxp  27219  cxploglim2  27223  zetacvg  27259  lgamgulmlem2  27274  constrrecl  34287  constrimcl  34288  constrmulcl  34289  sqsscirc2  34427  ibladdnc  38434  itgaddnc  38437  iblabsnc  38441  iblmulc2nc  38442  itgmulc2nc  38445  itgabsnc  38446  ftc1anclem2  38451  ftc1anclem5  38454  ftc1anclem6  38455  ftc1anclem8  38457  cntotbnd  38554  sqrtcvallem1  44479  sqrtcvallem4  44487  isosctrlem1ALT  45764  iblsplit  46802