Theorem recld 15103

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  ℂcc 11011  ℝcr 11012  ℜcre 15006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-cj 15008  df-re 15009

This theorem is referenced by:  abstri  15240  sqreulem  15269  eqsqrt2d  15278  rlimrege0  15488  recoscl  16052  cos01bnd  16097  cnsubrg  21366  mbfeqa  25572  mbfss  25575  mbfmulc2re  25577  mbfadd  25590  mbfmulc2  25592  mbflim  25597  mbfmul  25655  iblcn  25728  itgcnval  25729  itgre  25730  itgim  25731  iblneg  25732  itgneg  25733  iblss  25734  itgeqa  25743  iblconst  25747  ibladd  25750  itgadd  25754  iblabs  25758  iblabsr  25759  iblmulc2  25760  itgmulc2  25763  itgabs  25764  itgsplit  25765  bddiblnc  25771  dvlip  25926  tanregt0  26476  efif1olem4  26482  eff1olem  26485  lognegb  26527  relog  26534  efiarg  26544  cosarg0d  26546  argregt0  26547  argrege0  26548  abslogle  26555  logcnlem4  26582  cxpsqrtlem  26639  cxpcn3lem  26685  abscxpbnd  26691  cosangneg2d  26745  angrtmuld  26746  lawcoslem1  26753  isosctrlem1  26756  asinlem3a  26808  asinlem3  26809  asinneg  26824  asinsinlem  26829  asinsin  26830  acosbnd  26838  atanlogaddlem  26851  atanlogadd  26852  atanlogsublem  26853  atanlogsub  26854  atantan  26861  o1cxp  26913  cxploglim2  26917  zetacvg  26953  lgamgulmlem2  26968  constrrecl  33803  constrimcl  33804  constrmulcl  33805  sqsscirc2  33943  ibladdnc  37737  itgaddnc  37740  iblabsnc  37744  iblmulc2nc  37745  itgmulc2nc  37748  itgabsnc  37749  ftc1anclem2  37754  ftc1anclem5  37757  ftc1anclem6  37758  ftc1anclem8  37760  cntotbnd  37856  sqrtcvallem1  43748  sqrtcvallem4  43756  isosctrlem1ALT  45050  iblsplit  46088