Theorem recld 15204

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15120	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  ℂcc 11068  ℝcr 11069  ℜcre 15107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-cj 15109  df-re 15110

This theorem is referenced by:  abstri  15341  sqreulem  15370  eqsqrt2d  15379  rlimrege0  15589  recoscl  16156  cos01bnd  16201  cnsubrg  21459  mbfeqa  25685  mbfss  25688  mbfmulc2re  25690  mbfadd  25703  mbfmulc2  25705  mbflim  25710  mbfmul  25768  iblcn  25841  itgcnval  25842  itgre  25843  itgim  25844  iblneg  25845  itgneg  25846  iblss  25847  itgeqa  25856  iblconst  25860  ibladd  25863  itgadd  25867  iblabs  25871  iblabsr  25872  iblmulc2  25873  itgmulc2  25876  itgabs  25877  itgsplit  25878  bddiblnc  25884  dvlip  26035  tanregt0  26581  efif1olem4  26587  eff1olem  26590  lognegb  26632  relog  26639  efiarg  26649  cosarg0d  26651  argregt0  26652  argrege0  26653  abslogle  26660  logcnlem4  26687  cxpsqrtlem  26744  cxpcn3lem  26789  abscxpbnd  26795  cosangneg2d  26849  angrtmuld  26850  lawcoslem1  26857  isosctrlem1  26860  asinlem3a  26912  asinlem3  26913  asinneg  26928  asinsinlem  26933  asinsin  26934  acosbnd  26942  atanlogaddlem  26955  atanlogadd  26956  atanlogsublem  26957  atanlogsub  26958  atantan  26965  o1cxp  27016  cxploglim2  27020  zetacvg  27056  lgamgulmlem2  27071  constrrecl  34027  constrimcl  34028  constrmulcl  34029  sqsscirc2  34167  ibladdnc  38140  itgaddnc  38143  iblabsnc  38147  iblmulc2nc  38148  itgmulc2nc  38151  itgabsnc  38152  ftc1anclem2  38157  ftc1anclem5  38160  ftc1anclem6  38161  ftc1anclem8  38163  cntotbnd  38259  sqrtcvallem1  44171  sqrtcvallem4  44179  isosctrlem1ALT  45473  iblsplit  46504