Theorem recld 15271

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15187	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  ℂcc 11116  ℝcr 11117  ℜcre 15174

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890  df-nn 12252  df-2 12321  df-cj 15176  df-re 15177

This theorem is used by:  abstri  15408  sqreulem  15437  eqsqrt2d  15446  rlimrege0  15656  recoscl  16222  cos01bnd  16267  cnsubrg  21614  mbfeqa  25839  mbfss  25842  mbfmulc2re  25844  mbfadd  25857  mbfmulc2  25859  mbflim  25864  mbfmul  25922  iblcn  25995  itgcnval  25996  itgre  25997  itgim  25998  iblneg  25999  itgneg  26000  iblss  26001  itgeqa  26010  iblconst  26014  ibladd  26017  itgadd  26021  iblabs  26025  iblabsr  26026  iblmulc2  26027  itgmulc2  26030  itgabs  26031  itgsplit  26032  bddiblnc  26038  dvlip  26189  tanregt0  26741  efif1olem4  26747  eff1olem  26750  lognegb  26792  relog  26799  efiarg  26809  cosarg0d  26811  argregt0  26812  argrege0  26813  abslogle  26820  logcnlem4  26847  cxpsqrtlem  26904  cxpcn3lem  26949  abscxpbnd  26955  cosangneg2d  27009  angrtmuld  27010  lawcoslem1  27017  isosctrlem1  27020  asinlem3a  27072  asinlem3  27073  asinneg  27088  asinsinlem  27093  asinsin  27094  acosbnd  27102  atanlogaddlem  27115  atanlogadd  27116  atanlogsublem  27117  atanlogsub  27118  atantan  27125  o1cxp  27176  cxploglim2  27180  zetacvg  27216  lgamgulmlem2  27231  constrrecl  34190  constrimcl  34191  constrmulcl  34192  sqsscirc2  34330  ibladdnc  38369  itgaddnc  38372  iblabsnc  38376  iblmulc2nc  38377  itgmulc2nc  38380  itgabsnc  38381  ftc1anclem2  38386  ftc1anclem5  38389  ftc1anclem6  38390  ftc1anclem8  38392  cntotbnd  38488  sqrtcvallem1  44398  sqrtcvallem4  44406  isosctrlem1ALT  45683  iblsplit  46721