Theorem recld 15229

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6562  ℂcc 11150  ℝcr 11151  ℜcre 15132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-2 12326  df-cj 15134  df-re 15135

This theorem is referenced by:  abstri  15365  sqreulem  15394  eqsqrt2d  15403  rlimrege0  15611  recoscl  16173  cos01bnd  16218  cnsubrg  21462  mbfeqa  25691  mbfss  25694  mbfmulc2re  25696  mbfadd  25709  mbfmulc2  25711  mbflim  25716  mbfmul  25775  iblcn  25848  itgcnval  25849  itgre  25850  itgim  25851  iblneg  25852  itgneg  25853  iblss  25854  itgeqa  25863  iblconst  25867  ibladd  25870  itgadd  25874  iblabs  25878  iblabsr  25879  iblmulc2  25880  itgmulc2  25883  itgabs  25884  itgsplit  25885  bddiblnc  25891  dvlip  26046  tanregt0  26595  efif1olem4  26601  eff1olem  26604  lognegb  26646  relog  26653  efiarg  26663  cosarg0d  26665  argregt0  26666  argrege0  26667  abslogle  26674  logcnlem4  26701  cxpsqrtlem  26758  cxpcn3lem  26804  abscxpbnd  26810  cosangneg2d  26864  angrtmuld  26865  lawcoslem1  26872  isosctrlem1  26875  asinlem3a  26927  asinlem3  26928  asinneg  26943  asinsinlem  26948  asinsin  26949  acosbnd  26957  atanlogaddlem  26970  atanlogadd  26971  atanlogsublem  26972  atanlogsub  26973  atantan  26980  o1cxp  27032  cxploglim2  27036  zetacvg  27072  lgamgulmlem2  27087  sqsscirc2  33869  ibladdnc  37663  itgaddnc  37666  iblabsnc  37670  iblmulc2nc  37671  itgmulc2nc  37674  itgabsnc  37675  ftc1anclem2  37680  ftc1anclem5  37683  ftc1anclem6  37684  ftc1anclem8  37686  cntotbnd  37782  sqrtcvallem1  43620  sqrtcvallem4  43628  isosctrlem1ALT  44931  iblsplit  45921