Theorem recld 15154

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  ℂcc 11034  ℝcr 11035  ℜcre 15057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-cj 15059  df-re 15060

This theorem is referenced by:  abstri  15291  sqreulem  15320  eqsqrt2d  15329  rlimrege0  15539  recoscl  16106  cos01bnd  16151  cnsubrg  21409  mbfeqa  25635  mbfss  25638  mbfmulc2re  25640  mbfadd  25653  mbfmulc2  25655  mbflim  25660  mbfmul  25718  iblcn  25791  itgcnval  25792  itgre  25793  itgim  25794  iblneg  25795  itgneg  25796  iblss  25797  itgeqa  25806  iblconst  25810  ibladd  25813  itgadd  25817  iblabs  25821  iblabsr  25822  iblmulc2  25823  itgmulc2  25826  itgabs  25827  itgsplit  25828  bddiblnc  25834  dvlip  25985  tanregt0  26528  efif1olem4  26534  eff1olem  26537  lognegb  26579  relog  26586  efiarg  26596  cosarg0d  26598  argregt0  26599  argrege0  26600  abslogle  26607  logcnlem4  26634  cxpsqrtlem  26691  cxpcn3lem  26736  abscxpbnd  26742  cosangneg2d  26796  angrtmuld  26797  lawcoslem1  26804  isosctrlem1  26807  asinlem3a  26859  asinlem3  26860  asinneg  26875  asinsinlem  26880  asinsin  26881  acosbnd  26889  atanlogaddlem  26902  atanlogadd  26903  atanlogsublem  26904  atanlogsub  26905  atantan  26912  o1cxp  26963  cxploglim2  26967  zetacvg  27003  lgamgulmlem2  27018  constrrecl  33960  constrimcl  33961  constrmulcl  33962  sqsscirc2  34100  ibladdnc  38051  itgaddnc  38054  iblabsnc  38058  iblmulc2nc  38059  itgmulc2nc  38062  itgabsnc  38063  ftc1anclem2  38068  ftc1anclem5  38071  ftc1anclem6  38072  ftc1anclem8  38074  cntotbnd  38170  sqrtcvallem1  44082  sqrtcvallem4  44090  isosctrlem1ALT  45384  iblsplit  46416