Theorem recld 15129

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  ℂcc 11036  ℝcr 11037  ℜcre 15032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-cj 15034  df-re 15035

This theorem is referenced by:  abstri  15266  sqreulem  15295  eqsqrt2d  15304  rlimrege0  15514  recoscl  16078  cos01bnd  16123  cnsubrg  21394  mbfeqa  25612  mbfss  25615  mbfmulc2re  25617  mbfadd  25630  mbfmulc2  25632  mbflim  25637  mbfmul  25695  iblcn  25768  itgcnval  25769  itgre  25770  itgim  25771  iblneg  25772  itgneg  25773  iblss  25774  itgeqa  25783  iblconst  25787  ibladd  25790  itgadd  25794  iblabs  25798  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgmulc2  25803  itgabs  25804  itgsplit  25805  bddiblnc  25811  dvlip  25966  tanregt0  26516  efif1olem4  26522  eff1olem  26525  lognegb  26567  relog  26574  efiarg  26584  cosarg0d  26586  argregt0  26587  argrege0  26588  abslogle  26595  logcnlem4  26622  cxpsqrtlem  26679  cxpcn3lem  26725  abscxpbnd  26731  cosangneg2d  26785  angrtmuld  26786  lawcoslem1  26793  isosctrlem1  26796  asinlem3a  26848  asinlem3  26849  asinneg  26864  asinsinlem  26869  asinsin  26870  acosbnd  26878  atanlogaddlem  26891  atanlogadd  26892  atanlogsublem  26893  atanlogsub  26894  atantan  26901  o1cxp  26953  cxploglim2  26957  zetacvg  26993  lgamgulmlem2  27008  constrrecl  33946  constrimcl  33947  constrmulcl  33948  sqsscirc2  34086  ibladdnc  37922  itgaddnc  37925  iblabsnc  37929  iblmulc2nc  37930  itgmulc2nc  37933  itgabsnc  37934  ftc1anclem2  37939  ftc1anclem5  37942  ftc1anclem6  37943  ftc1anclem8  37945  cntotbnd  38041  sqrtcvallem1  43981  sqrtcvallem4  43989  isosctrlem1ALT  45283  iblsplit  46318