Theorem recld 15366

Description: The real part of a complex number is real (closure law). (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
recld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
recld	⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recl 15282	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  ℂcc 11201  ℝcr 11202  ℜcre 15269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-cj 15271  df-re 15272

This theorem is used by:  abstri  15503  sqreulem  15532  eqsqrt2d  15541  rlimrege0  15751  recoscl  16314  cos01bnd  16359  cnsubrg  21738  mbfeqa  25969  mbfss  25972  mbfmulc2re  25974  mbfadd  25987  mbfmulc2  25989  mbflim  25994  mbfmul  26052  iblcn  26124  itgcnval  26125  itgre  26126  itgim  26127  iblneg  26128  itgneg  26129  iblss  26130  itgeqa  26139  iblconst  26143  ibladd  26146  itgadd  26150  iblabs  26154  iblabsr  26155  iblmulc2  26156  itgmulc2  26159  itgabs  26160  itgsplit  26161  bddiblnc  26167  dvlip  26318  tanregt0  26872  efif1olem4  26878  eff1olem  26881  lognegb  26923  relog  26930  efiarg  26940  cosarg0d  26942  argregt0  26943  argrege0  26944  abslogle  26951  logcnlem4  26978  cxpsqrtlem  27035  cxpcn3lem  27080  abscxpbnd  27086  cosangneg2d  27140  angrtmuld  27141  lawcoslem1  27148  isosctrlem1  27151  asinlem3a  27203  asinlem3  27204  asinneg  27219  asinsinlem  27224  asinsin  27225  acosbnd  27233  atanlogaddlem  27246  atanlogadd  27247  atanlogsublem  27248  atanlogsub  27249  atantan  27256  o1cxp  27307  cxploglim2  27311  zetacvg  27347  lgamgulmlem2  27362  constrrecl  34447  constrimcl  34448  constrmulcl  34449  sqsscirc2  34587  ibladdnc  38688  itgaddnc  38691  iblabsnc  38695  iblmulc2nc  38696  itgmulc2nc  38699  itgabsnc  38700  ftc1anclem2  38705  ftc1anclem5  38708  ftc1anclem6  38709  ftc1anclem8  38711  cntotbnd  38823  sqrtcvallem1  44724  sqrtcvallem4  44732  isosctrlem1ALT  46009  iblsplit  47069