Theorem suceloni 7659

Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.) (Proof shortened by BTernaryTau, 30-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
suceloni	⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem suceloni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sucexg 7655	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
2		sucexeloni 7658	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ suc 𝐴 ∈ V) → suc 𝐴 ∈ On)
3	1, 2	mpdan 684	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  Vcvv 3432  Oncon0 6266  suc csuc 6268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-11 2154  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-tr 5192  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272

This theorem is referenced by:  ordsuc  7661  unon  7678  onsuci  7685  ordunisuc2  7691  ordzsl  7692  onzsl  7693  tfindsg  7707  dfom2  7714  findsg  7746  tfrlem12  8220  oasuc  8354  omsuc  8356  onasuc  8358  oacl  8365  oneo  8412  omeulem1  8413  omeulem2  8414  oeordi  8418  oeworde  8424  oelim2  8426  oelimcl  8431  oeeulem  8432  oeeui  8433  oaabs2  8479  omxpenlem  8860  card2inf  9314  cantnflt  9430  cantnflem1d  9446  cnfcom  9458  r1ordg  9536  bndrank  9599  r1pw  9603  r1pwALT  9604  tcrank  9642  onssnum  9796  dfac12lem2  9900  cfsuc  10013  cfsmolem  10026  fin1a2lem1  10156  fin1a2lem2  10157  ttukeylem7  10271  alephreg  10338  gch2  10431  winainflem  10449  winalim2  10452  r1wunlim  10493  nqereu  10685  noextend  33869  noresle  33900  nosupno  33906  madeoldsuc  34067  ontgval  34620  ontgsucval  34621  onsuctop  34622  sucneqond  35536  minregex  41141  onsetreclem2  46411