MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suceloni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suceloni 7211
Description: The successor of an ordinal number is an ordinal number. Proposition 7.24 of [TakeutiZaring] p. 41. (Contributed by NM, 6-Jun-1994.)
Assertion
Ref Expression
suceloni (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem suceloni
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 onelss 5950 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → (𝑥𝐴𝑥𝐴))
2 velsn 4350 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴} ↔ 𝑥 = 𝐴)
3 eqimss 3817 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝐴𝑥𝐴)
42, 3sylbi 208 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥𝐴)
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥𝐴))
61, 5orim12d 987 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ On → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐴}) → (𝑥𝐴𝑥𝐴)))
7 df-suc 5914 . . . . . . . . 9 suc 𝐴 = (𝐴 ∪ {𝐴})
87eleq2i 2836 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ suc 𝐴𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐴}))
9 elun 3915 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴 ∪ {𝐴}) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐴}))
108, 9bitr2i 267 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥 ∈ {𝐴}) ↔ 𝑥 ∈ suc 𝐴)
11 oridm 928 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) ↔ 𝑥𝐴)
126, 10, 113imtr3g 286 . . . . . 6 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ suc 𝐴𝑥𝐴))
13 sssucid 5985 . . . . . 6 𝐴 ⊆ suc 𝐴
14 sstr2 3768 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊆ suc 𝐴𝑥 ⊆ suc 𝐴))
1512, 13, 14syl6mpi 67 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → (𝑥 ∈ suc 𝐴𝑥 ⊆ suc 𝐴))
1615ralrimiv 3112 . . . 4 (𝐴 ∈ On → ∀𝑥 ∈ suc 𝐴𝑥 ⊆ suc 𝐴)
17 dftr3 4915 . . . 4 (Tr suc 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ suc 𝐴𝑥 ⊆ suc 𝐴)
1816, 17sylibr 225 . . 3 (𝐴 ∈ On → Tr suc 𝐴)
19 onss 7188 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → 𝐴 ⊆ On)
20 snssi 4493 . . . . 5 (𝐴 ∈ On → {𝐴} ⊆ On)
2119, 20unssd 3951 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∪ {𝐴}) ⊆ On)
227, 21syl5eqss 3809 . . 3 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ⊆ On)
23 ordon 7180 . . . 4 Ord On
24 trssord 5925 . . . . 5 ((Tr suc 𝐴 ∧ suc 𝐴 ⊆ On ∧ Ord On) → Ord suc 𝐴)
25243exp 1148 . . . 4 (Tr suc 𝐴 → (suc 𝐴 ⊆ On → (Ord On → Ord suc 𝐴)))
2623, 25mpii 46 . . 3 (Tr suc 𝐴 → (suc 𝐴 ⊆ On → Ord suc 𝐴))
2718, 22, 26sylc 65 . 2 (𝐴 ∈ On → Ord suc 𝐴)
28 sucexg 7208 . . 3 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ V)
29 elong 5916 . . 3 (suc 𝐴 ∈ V → (suc 𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
3028, 29syl 17 . 2 (𝐴 ∈ On → (suc 𝐴 ∈ On ↔ Ord suc 𝐴))
3127, 30mpbird 248 1 (𝐴 ∈ On → suc 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  Vcvv 3350  cun 3730  wss 3732  {csn 4334  Tr wtr 4911  Ord word 5907  Oncon0 5908  suc csuc 5910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-ord 5911  df-on 5912  df-suc 5914
This theorem is referenced by:  ordsuc  7212  unon  7229  onsuci  7236  ordunisuc2  7242  ordzsl  7243  onzsl  7244  tfindsg  7258  dfom2  7265  findsg  7291  tfrlem12  7689  oasuc  7809  omsuc  7811  onasuc  7813  oacl  7820  oneo  7866  omeulem1  7867  omeulem2  7868  oeordi  7872  oeworde  7878  oelim2  7880  oelimcl  7885  oeeulem  7886  oeeui  7887  oaabs2  7930  omxpenlem  8268  card2inf  8667  cantnflt  8784  cantnflem1d  8800  cnfcom  8812  r1ordg  8856  bndrank  8919  r1pw  8923  r1pwALT  8924  tcrank  8962  onssnum  9114  dfac12lem2  9219  cfsuc  9332  cfsmolem  9345  fin1a2lem1  9475  fin1a2lem2  9476  ttukeylem7  9590  alephreg  9657  gch2  9750  winainflem  9768  winalim2  9771  r1wunlim  9812  nqereu  10004  noextend  32263  noresle  32290  nosupno  32293  ontgval  32869  ontgsucval  32870  onsuctop  32871  sucneqond  33646  onsetreclem2  43121
  Copyright terms: Public domain W3C validator