Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfv 42318
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfv (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfv.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 xlimmnfv.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 xlimmnfv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 simplr 768 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*-∞)
7 simpr 488 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimmnfvlem1 42316 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
98ralrimiva 3176 . 2 ((𝜑𝐹~~>*-∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
10 nfv 1916 . . . 4 𝑘𝜑
11 nfcv 2980 . . . . 5 𝑘
12 nfcv 2980 . . . . . 6 𝑘𝑍
13 nfra1 3213 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
1412, 13nfrex 3301 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
1511, 14nfralw 3219 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
1610, 15nfan 1901 . . 3 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
17 nfv 1916 . . . 4 𝑗𝜑
18 nfcv 2980 . . . . 5 𝑗
19 nfre1 3298 . . . . 5 𝑗𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
2018, 19nfralw 3219 . . . 4 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
2117, 20nfan 1901 . . 3 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
221adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
234adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24 nfv 1916 . . . . . 6 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1901 . . . . 5 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
2643ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
273uztrn2 12248 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
28273adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2926, 28ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3029ad5ant134 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
31 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32 peano2rem 10938 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
3332rexrd 10676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
35 rexr 10672 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
3635ad4antlr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
3831ltm1d 11557 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
3930, 34, 36, 37, 38xrlelttrd 12539 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹𝑘) < 𝑦)
4039ex 416 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → (𝐹𝑘) < 𝑦))
4140ralimdva 3171 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦))
4241imp 410 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
4342adantl3r 749 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
44433impa 1107 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
4532adantl 485 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
46 simpl 486 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
47 breq2 5051 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 − 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
4847ralbidv 3191 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
4948rexbidv 3289 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
5049rspcva 3606 . . . . . . 7 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
5145, 46, 50syl2anc 587 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
5251adantll 713 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
5325, 44, 52reximdd 41628 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
5453ralrimiva 3176 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimmnfvlem2 42317 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
569, 55impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3132  wrex 3133   class class class wbr 5047  wf 6332  cfv 6336  (class class class)co 7138  cr 10521  1c1 10523  -∞cmnf 10658  *cxr 10659   < clt 10660  cle 10661  cmin 10855  cz 11967  cuz 12229  ~~>*clsxlim 42302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fi 8859  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-z 11968  df-uz 12230  df-ioo 12728  df-ioc 12729  df-ico 12730  df-icc 12731  df-topgen 16706  df-ordt 16763  df-ps 17799  df-tsr 17800  df-top 21488  df-topon 21505  df-bases 21540  df-lm 21823  df-xlim 42303
This theorem is referenced by:  xlimmnf  42325  xlimmnflimsup2  42336  xlimmnflimsup  42340
  Copyright terms: Public domain W3C validator