Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfv 45269
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfv (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem xlimmnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfv.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 xlimmnfv.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 xlimmnfv.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
54ad2antrr 724 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
6 simplr 767 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*-∞)
7 simpr 483 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimmnfvlem1 45267 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
98ralrimiva 3143 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
10 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
11 nfcv 2899 . . . . 5 β„²π‘˜β„
12 nfcv 2899 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘
13 nfra1 3279 . . . . . 6 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
1412, 13nfrexw 3308 . . . . 5 β„²π‘˜βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
1511, 14nfralw 3306 . . . 4 β„²π‘˜βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
1610, 15nfan 1894 . . 3 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
17 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
18 nfcv 2899 . . . . 5 Ⅎ𝑗ℝ
19 nfre1 3280 . . . . 5 β„²π‘—βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
2018, 19nfralw 3306 . . . 4 β„²π‘—βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
2117, 20nfan 1894 . . 3 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
221adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
234adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
24 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
2643ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
273uztrn2 12881 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
28273adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2926, 28ffvelcdmd 7100 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3029ad5ant134 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
31 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
32 peano2rem 11567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3332rexrd 11304 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
35 rexr 11300 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
3635ad4antlr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
37 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
3831ltm1d 12186 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) < 𝑦)
3930, 34, 36, 37, 38xrlelttrd 13181 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
4039ex 411 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦))
4140ralimdva 3164 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦))
4241imp 405 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
4342adantl3r 748 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
44433impa 1107 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
4532adantl 480 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
46 simpl 481 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
47 breq2 5156 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)))
4847ralbidv 3175 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)))
4948rexbidv 3176 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 1) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)))
5049rspcva 3609 . . . . . . 7 (((𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
5145, 46, 50syl2anc 582 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
5251adantll 712 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
5325, 44, 52reximdd 44566 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
5453ralrimiva 3143 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimmnfvlem2 45268 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹~~>*-∞)
569, 55impbida 799 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11147  1c1 11149  -∞cmnf 11286  β„*cxr 11287   < clt 11288   ≀ cle 11289   βˆ’ cmin 11484  β„€cz 12598  β„€β‰₯cuz 12862  ~~>*clsxlim 45253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8495  df-er 8733  df-pm 8856  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fi 9444  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-z 12599  df-uz 12863  df-ioo 13370  df-ioc 13371  df-ico 13372  df-icc 13373  df-topgen 17434  df-ordt 17492  df-ps 18567  df-tsr 18568  df-top 22824  df-topon 22841  df-bases 22877  df-lm 23161  df-xlim 45254
This theorem is referenced by:  xlimmnf  45276  xlimmnflimsup2  45287  xlimmnflimsup  45291
  Copyright terms: Public domain W3C validator