Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfv 40978
 Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfv.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfv.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimmnfv.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfv (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfv.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
21ad2antrr 716 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 xlimmnfv.z . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 xlimmnfv.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
54ad2antrr 716 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6 simplr 759 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*-∞)
7 simpr 479 . . . 4 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimmnfvlem1 40976 . . 3 (((𝜑𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
98ralrimiva 3148 . 2 ((𝜑𝐹~~>*-∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
10 nfv 1957 . . . 4 𝑘𝜑
11 nfcv 2934 . . . . 5 𝑘
12 nfcv 2934 . . . . . 6 𝑘𝑍
13 nfra1 3123 . . . . . 6 𝑘𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
1412, 13nfrex 3188 . . . . 5 𝑘𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
1511, 14nfral 3127 . . . 4 𝑘𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
1610, 15nfan 1946 . . 3 𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
17 nfv 1957 . . . 4 𝑗𝜑
18 nfcv 2934 . . . . 5 𝑗
19 nfre1 3186 . . . . 5 𝑗𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
2018, 19nfral 3127 . . . 4 𝑗𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥
2117, 20nfan 1946 . . 3 𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
221adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
234adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24 nfv 1957 . . . . . 6 𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1946 . . . . 5 𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
2643ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
273uztrn2 12010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
28273adant1 1121 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2926, 28ffvelrnd 6624 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
3029ad5ant134 1432 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
31 simp-4r 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32 peano2rem 10690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
3332rexrd 10426 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
35 rexr 10422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
3635ad4antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
3831ltm1d 11310 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
3930, 34, 36, 37, 38xrlelttrd 12303 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹𝑘) < 𝑦)
4039ex 403 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → (𝐹𝑘) < 𝑦))
4140ralimdva 3144 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦))
4241imp 397 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
4342adantl3r 740 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
44433impa 1097 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
4532adantl 475 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
46 simpl 476 . . . . . . 7 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥)
47 breq2 4890 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 − 1) → ((𝐹𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
4847ralbidv 3168 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
4948rexbidv 3237 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
5049rspcva 3509 . . . . . . 7 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
5145, 46, 50syl2anc 579 . . . . . 6 ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
5251adantll 704 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
5325, 44, 52reximdd 40271 . . . 4 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
5453ralrimiva 3148 . . 3 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) < 𝑦)
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimmnfvlem2 40977 . 2 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
569, 55impbida 791 1 (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ≤ 𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   class class class wbr 4886  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  ℝcr 10271  1c1 10273  -∞cmnf 10409  ℝ*cxr 10410   < clt 10411   ≤ cle 10412   − cmin 10606  ℤcz 11728  ℤ≥cuz 11992  ~~>*clsxlim 40962 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-pm 8143  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fi 8605  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-z 11729  df-uz 11993  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-topgen 16490  df-ordt 16547  df-ps 17586  df-tsr 17587  df-top 21106  df-topon 21123  df-bases 21158  df-lm 21441  df-xlim 40963 This theorem is referenced by:  xlimmnf  40985  xlimmnflimsup2  40996  xlimmnflimsup  41000
 Copyright terms: Public domain W3C validator