Theorem xlimmnfv 46608

Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfv	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnfv.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnfv.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnfv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*-∞)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	2, 3, 5, 6, 7	xlimmnfvlem1 46606	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
9	8	ralrimiva 3159	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
10		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
12		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
13		nfra1 3291	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
14	12, 13	nfrexw 3315	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
15	11, 14	nfralw 3314	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
16	10, 15	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
17		nfv 1947	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
18		nfcv 2927	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
19		nfre1 3292	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
20	18, 19	nfralw 3314	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
21	17, 20	nfan 1932	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
22	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
25	21, 24	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
27	3	uztrn2 12899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	27	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	26, 28	ffvelcdmd 7084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
30	29	ad5ant134 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
31		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32		peano2rem 11542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
35		rexr 11272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
36	35	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
38	31	ltm1d 12164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
39	30, 34, 36, 37, 38	xrlelttrd 13203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹‘𝑘) < 𝑦)
40	39	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → (𝐹‘𝑘) < 𝑦))
41	40	ralimdva 3179	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦))
42	41	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
43	42	adantl3r 763	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
44	43	3impa 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
45	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
46		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
47		breq2 5115	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
48	47	ralbidv 3190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
49	48	rexbidv 3191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
50	49	rspcva 3581	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
51	45, 46, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
52	51	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
53	25, 44, 52	reximdd 45926	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
54	53	ralrimiva 3159	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
55	16, 21, 22, 3, 23, 54	xlimmnfvlem2 46607	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
56	9, 55	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  ℝcr 11116  1c1 11118  -∞cmnf 11258  ℝ^*cxr 11259   < clt 11260   ≤ cle 11261   − cmin 11458  ℤcz 12608  ℤ_≥cuz 12880  ~~>*clsxlim 46592

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-z 12609  df-uz 12881  df-ioo 13394  df-ioc 13395  df-ico 13396  df-icc 13397  df-topgen 17520  df-ordt 17579  df-ps 18646  df-tsr 18647  df-top 23103  df-topon 23120  df-bases 23155  df-lm 23438  df-xlim 46593

This theorem is used by:  xlimmnf  46615  xlimmnflimsup2  46626  xlimmnflimsup  46630