Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimmnfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimmnfv 45122
Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimmnfv.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
xlimmnfv.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
xlimmnfv.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
Assertion
Ref Expression
xlimmnfv (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,π‘˜,π‘₯   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑗,π‘˜,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑀(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem xlimmnfv
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xlimmnfv.m . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
21ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
3 xlimmnfv.z . . . 4 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
4 xlimmnfv.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
54ad2antrr 723 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
6 simplr 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹~~>*-∞)
7 simpr 484 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
82, 3, 5, 6, 7xlimmnfvlem1 45120 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
98ralrimiva 3140 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐹~~>*-∞) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
10 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘˜πœ‘
11 nfcv 2897 . . . . 5 β„²π‘˜β„
12 nfcv 2897 . . . . . 6 β„²π‘˜π‘
13 nfra1 3275 . . . . . 6 β„²π‘˜βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
1412, 13nfrexw 3304 . . . . 5 β„²π‘˜βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
1511, 14nfralw 3302 . . . 4 β„²π‘˜βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
1610, 15nfan 1894 . . 3 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
17 nfv 1909 . . . 4 β„²π‘—πœ‘
18 nfcv 2897 . . . . 5 Ⅎ𝑗ℝ
19 nfre1 3276 . . . . 5 β„²π‘—βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
2018, 19nfralw 3302 . . . 4 β„²π‘—βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯
2117, 20nfan 1894 . . 3 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
221adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
234adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
24 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
2521, 24nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
2643ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ 𝐹:π‘βŸΆβ„*)
273uztrn2 12845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
28273adant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2926, 28ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
3029ad5ant134 1364 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
31 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
32 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
3332rexrd 11268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
35 rexr 11264 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
3635ad4antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
3831ltm1d 12150 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) < 𝑦)
3930, 34, 36, 37, 38xrlelttrd 13145 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
4039ex 412 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦))
4140ralimdva 3161 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦))
4241imp 406 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
4342adantl3r 747 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
44433impa 1107 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
4532adantl 481 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
46 simpl 482 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
47 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ (πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)))
4847ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 1) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)))
4948rexbidv 3172 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆ’ 1) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1)))
5049rspcva 3604 . . . . . . 7 (((𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
5145, 46, 50syl2anc 583 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
5251adantll 711 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ (𝑦 βˆ’ 1))
5325, 44, 52reximdd 44416 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
5453ralrimiva 3140 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) < 𝑦)
5516, 21, 22, 3, 23, 54xlimmnfvlem2 45121 . 2 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹~~>*-∞)
569, 55impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝐹~~>*-∞ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ 𝑍 βˆ€π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘—)(πΉβ€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  1c1 11113  -∞cmnf 11250  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ~~>*clsxlim 45106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-z 12563  df-uz 12827  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-topgen 17398  df-ordt 17456  df-ps 18531  df-tsr 18532  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-lm 23088  df-xlim 45107
This theorem is referenced by:  xlimmnf  45129  xlimmnflimsup2  45140  xlimmnflimsup  45144
  Copyright terms: Public domain W3C validator