Theorem xlimmnfv 46980

Description: A function converges to minus infinity if it eventually becomes (and stays) smaller than any given real number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimmnfv.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimmnfv.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimmnfv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
xlimmnfv	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑘,𝑥   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘,𝑥   𝜑,𝑗,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥, 𝑘)

Proof of Theorem xlimmnfv

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xlimmnfv.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		xlimmnfv.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4		xlimmnfv.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
6		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹~~>*-∞)
7		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	2, 3, 5, 6, 7	xlimmnfvlem1 46978	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
9	8	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐹~~>*-∞) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
10		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
11		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘ℝ
12		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑍
13		nfra1 3286	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
14	12, 13	nfrexw 3310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
15	11, 14	nfralw 3309	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
16	10, 15	nfan 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
17		nfv 1946	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
18		nfcv 2922	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗ℝ
19		nfre1 3287	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
20	18, 19	nfralw 3309	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥
21	17, 20	nfan 1931	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
22	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝑀 ∈ ℤ)
23	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
24		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑦 ∈ ℝ
25	21, 24	nfan 1931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
26	4	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
27	3	uztrn2 12991	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
28	27	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
29	26, 28	ffvelcdmd 7090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
30	29	ad5ant134 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ*)
31		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ)
32		peano2rem 11632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
34	31, 33	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
35		rexr 11362	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ*)
36	35	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
37		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
38	31	ltm1d 12256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
39	30, 34, 36, 37, 38	xrlelttrd 13296	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) ∧ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → (𝐹‘𝑘) < 𝑦)
40	39	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)) → ((𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → (𝐹‘𝑘) < 𝑦))
41	40	ralimdva 3174	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦))
42	41	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
43	42	adantl3r 763	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
44	43	3impa 1127	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
45	32	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
46		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥)
47		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → ((𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
48	47	ralbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
49	48	rexbidv 3186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 − 1) → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1)))
50	49	rspcva 3574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
51	45, 46, 50	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
52	51	adantll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ (𝑦 − 1))
53	25, 44, 52	reximdd 46299	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
54	53	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) < 𝑦)
55	16, 21, 22, 3, 23, 54	xlimmnfvlem2 46979	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥) → 𝐹~~>*-∞)
56	9, 55	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*-∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝐹‘𝑘) ≤ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  1c1 11208  -∞cmnf 11348  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350   ≤ cle 11351   − cmin 11548  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ~~>*clsxlim 46964

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-z 12701  df-uz 12973  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-topgen 17623  df-ordt 17682  df-ps 18749  df-tsr 18750  df-top 23221  df-topon 23238  df-bases 23273  df-lm 23556  df-xlim 46965

This theorem is used by:  xlimmnf  46987  xlimmnflimsup2  46998  xlimmnflimsup  47002