Theorem negidd 11525

Description: Addition of a number and its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
negidd	⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)

Proof of Theorem negidd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		negid 11471	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390  ℂcc 11064  0cc0 11066   + caddc 11069  -cneg 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-ltxr 11214  df-sub 11409  df-neg 11410

This theorem is referenced by:  xnegid  13234  xpncan  13247  moddvds  16287  pwp1fsum  16415  bitsres  16497  pcadd2  16916  zaddablx  19902  zringinvg  21504  ditgsplit  25910  dvferm2lem  26035  vieta1  26363  geolim3  26390  ulmshft  26440  cxpneg  26733  dcubic1lem  26895  lgamgulmlem1  27080  archiabllem2c  33335  elrgspnlem1  33383  signsply0  34805  knoppndvlem14  36923  poimir  38112  itgaddnclem2  38138  dffltz  43176  negexpidd  43223  3cubeslem3r  43228  pellexlem6  43371  pellfund14  43435  sqrtcval  44177  binomcxplemnotnn0  44892  reclimc  46187  stoweidlem13  46547  stirlinglem5  46612  etransclem46  46814  2zrngagrp  48831  altgsumbcALT  48935  line2ylem  49333