MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negidd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negidd 10964
Description: Addition of a number and its negative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
negidd (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)

Proof of Theorem negidd
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 negid 10910 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴 + -𝐴) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  (class class class)co 7130  cc 10512  0cc0 10514   + caddc 10517  -cneg 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-ltxr 10657  df-sub 10849  df-neg 10850
This theorem is referenced by:  xnegid  12609  xpncan  12622  moddvds  15597  pwp1fsum  15719  bitsres  15799  pcadd2  16203  zaddablx  18971  zringinvg  20610  ditgsplit  24443  dvferm2lem  24568  vieta1  24887  geolim3  24914  ulmshft  24964  cxpneg  25251  dcubic1lem  25408  lgamgulmlem1  25593  archiabllem2c  30832  signsply0  31829  knoppndvlem14  33872  poimir  34976  itgaddnclem2  35002  dffltz  39426  negexpidd  39434  3cubeslem3r  39439  pellexlem6  39586  pellfund14  39650  sqrtcval  40152  binomcxplemnotnn0  40875  reclimc  42118  stoweidlem13  42478  stirlinglem5  42543  etransclem46  42745  2zrngagrp  44390  altgsumbcALT  44577  line2ylem  44976
  Copyright terms: Public domain W3C validator