Theorem zcuts0 28799

Description: Either the left or right set of a surreal integer is empty. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
zcuts0	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ((L‘𝐴) = ∅ ∨ (R‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem zcuts0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzn0s 28789	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s)))
2		n0on 28727	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
3		elons 28644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (R‘𝐴) = ∅))
4	3	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (R‘𝐴) = ∅)
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (R‘𝐴) = ∅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℕ0s → (R‘𝐴) = ∅))
7		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → 𝐴 ∈ No)
8	7	negscld 28428	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ( -s‘𝐴) ∈ No)
9		negleft 28449	. . . . . . . 8 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ No → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))))
11		negnegs 28435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘( -s‘𝐴)) = 𝐴)
12	11	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = (L‘𝐴))
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = (L‘𝐴))
14		n0on 28727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s → ( -s‘𝐴) ∈ Ons)
15		elons 28644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ Ons ↔ (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ (R‘( -s‘𝐴)) = ∅))
16	15	simprbi 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ Ons → (R‘( -s‘𝐴)) = ∅)
17	14, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s → (R‘( -s‘𝐴)) = ∅)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (R‘( -s‘𝐴)) = ∅)
19	18	imaeq2d 6051	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))) = ( -s “ ∅))
20		ima0 6074	. . . . . . . 8 ⊢ ( -s “ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))) = ∅)
22	10, 13, 21	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (L‘𝐴) = ∅)
23	22	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s → (L‘𝐴) = ∅))
24	6, 23	orim12d 979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ((R‘𝐴) = ∅ ∨ (L‘𝐴) = ∅)))
25	24	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s)) → ((R‘𝐴) = ∅ ∨ (L‘𝐴) = ∅))
26	25	orcomd 885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s)) → ((L‘𝐴) = ∅ ∨ (R‘𝐴) = ∅))
27	1, 26	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ((L‘𝐴) = ∅ ∨ (R‘𝐴) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∅c0 4278   “ cima 5653  ‘cfv 6538  Nocsur 28002  Lcleft 28216  Rcright 28217   -_scnegs 28410  On_scons 28642  ℕ_0scn0s 28703  ℤ_sczs 28769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-1s 28199  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec 28329  df-norec2 28340  df-adds 28351  df-negs 28412  df-subs 28413  df-ons 28643  df-n0s 28705  df-nns 28706  df-zs 28770

This theorem is used by: (None)