Theorem zcuts0 28827

Description: Either the left or right set of a surreal integer is empty. (Contributed by Scott Fenton, 21-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
zcuts0	⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ((L‘𝐴) = ∅ ∨ (R‘𝐴) = ∅))

Proof of Theorem zcuts0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elzn0s 28817	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s)))
2		n0on 28755	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → 𝐴 ∈ Ons)
3		elons 28672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Ons ↔ (𝐴 ∈ No ∧ (R‘𝐴) = ∅))
4	3	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (R‘𝐴) = ∅)
5	2, 4	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0s → (R‘𝐴) = ∅)
6	5	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ℕ0s → (R‘𝐴) = ∅))
7		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → 𝐴 ∈ No)
8	7	negscld 28456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ( -s‘𝐴) ∈ No)
9		negleft 28477	. . . . . . . 8 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ No → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))))
10	8, 9	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))))
11		negnegs 28463	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( -s‘( -s‘𝐴)) = 𝐴)
12	11	fveq2d 6915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = (L‘𝐴))
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (L‘( -s‘( -s‘𝐴))) = (L‘𝐴))
14		n0on 28755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s → ( -s‘𝐴) ∈ Ons)
15		elons 28672	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ Ons ↔ (( -s‘𝐴) ∈ No ∧ (R‘( -s‘𝐴)) = ∅))
16	15	simprbi 503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ Ons → (R‘( -s‘𝐴)) = ∅)
17	14, 16	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s → (R‘( -s‘𝐴)) = ∅)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (R‘( -s‘𝐴)) = ∅)
19	18	imaeq2d 6065	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))) = ( -s “ ∅))
20		ima0 6088	. . . . . . . 8 ⊢ ( -s “ ∅) = ∅
21	19, 20	eqtrdi 2814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ( -s “ (R‘( -s‘𝐴))) = ∅)
22	10, 13, 21	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → (L‘𝐴) = ∅)
23	22	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s → (L‘𝐴) = ∅))
24	6, 23	orim12d 979	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s) → ((R‘𝐴) = ∅ ∨ (L‘𝐴) = ∅)))
25	24	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s)) → ((R‘𝐴) = ∅ ∨ (L‘𝐴) = ∅))
26	25	orcomd 885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ (𝐴 ∈ ℕ0s ∨ ( -s‘𝐴) ∈ ℕ0s)) → ((L‘𝐴) = ∅ ∨ (R‘𝐴) = ∅))
27	1, 26	sylbi 220	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs → ((L‘𝐴) = ∅ ∨ (R‘𝐴) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281   “ cima 5659  ‘cfv 6561  Nocsur 28030  Lcleft 28244  Rcright 28245   -_scnegs 28438  On_scons 28670  ℕ_0scn0s 28731  ℤ_sczs 28797

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8706  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-les 28135  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-0s 28226  df-1s 28227  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250  df-norec 28357  df-norec2 28368  df-adds 28379  df-negs 28440  df-subs 28441  df-ons 28671  df-n0s 28733  df-nns 28734  df-zs 28798

This theorem is used by: (None)