Theorem efchtqdvds 16277

Description: The exponentiated Chebyshev function forms a divisibility chain between any two points. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
efchtqdvds	|- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` A ) ) || ( exp ` ( theta ` B ) ) )

Proof of Theorem efchtqdvds

Dummy variables p x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chtqcl 16256	. . . . . . 7 |- ( B e. QQ -> ( theta ` B ) e. RR )
2	1	3ad2ant2 1050	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( theta ` B ) e. RR )
3	2	recnd 8361	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( theta ` B ) e. CC )
4		chtqcl 16256	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( theta ` A ) e. RR )
5	4	3ad2ant1 1049	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( theta ` A ) e. RR )
6	5	recnd 8361	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( theta ` A ) e. CC )
7		efsub 12474	. . . . 5 |- ( ( ( theta ` B ) e. CC /\ ( theta ` A ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( theta ` B ) ) / ( exp ` ( theta ` A ) ) ) )
8	3, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( theta ` B ) ) / ( exp ` ( theta ` A ) ) ) )
9		chtqfl 16270	. . . . . . . . 9 |- ( B e. QQ -> ( theta ` ( |_ ` B ) ) = ( theta ` B ) )
10	9	3ad2ant2 1050	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( theta ` ( |_ ` B ) ) = ( theta ` B ) )
11		chtqfl 16270	. . . . . . . . 9 |- ( A e. QQ -> ( theta ` ( |_ ` A ) ) = ( theta ` A ) )
12	11	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( theta ` ( |_ ` A ) ) = ( theta ` A ) )
13	10, 12	oveq12d 6106	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( theta ` ( |_ ` B ) ) - ( theta ` ( |_ ` A ) ) ) = ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) )
14		flqword2 10746	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( |_ ` B ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` A ) ) )
15		chtdif 16276	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` B ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` A ) ) -> ( ( theta ` ( |_ ` B ) ) - ( theta ` ( |_ ` A ) ) ) = sum_ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ( log ` p ) )
16	14, 15	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( theta ` ( |_ ` B ) ) - ( theta ` ( |_ ` A ) ) ) = sum_ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ( log ` p ) )
17	13, 16	eqtr3d 2273	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) = sum_ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ( log ` p ) )
18		ssrab2 3333	. . . . . . . . 9 |- { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } C_ RR
19		ax-resscn 8278	. . . . . . . . 9 |- RR C_ CC
20	18, 19	sstri 3257	. . . . . . . 8 |- { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } C_ CC
21	20	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } C_ CC )
22		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( exp ` x ) = ( exp ` y ) )
23	22	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( exp ` x ) e. NN <-> ( exp ` y ) e. NN ) )
24	23	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( y e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } <-> ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) )
25		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( exp ` x ) = ( exp ` z ) )
26	25	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( exp ` x ) e. NN <-> ( exp ` z ) e. NN ) )
27	26	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } <-> ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) )
28		fveq2 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y + z ) -> ( exp ` x ) = ( exp ` ( y + z ) ) )
29	28	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( y + z ) -> ( ( exp ` x ) e. NN <-> ( exp ` ( y + z ) ) e. NN ) )
30		simpll 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> y e. RR )
31		simprl 535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> z e. RR )
32	30, 31	readdcld 8362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> ( y + z ) e. RR )
33	30	recnd 8361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> y e. CC )
34	31	recnd 8361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> z e. CC )
35		efadd 12468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( y + z ) ) = ( ( exp ` y ) x. ( exp ` z ) ) )
36	33, 34, 35	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> ( exp ` ( y + z ) ) = ( ( exp ` y ) x. ( exp ` z ) ) )
37		nnmulcl 9335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` y ) e. NN /\ ( exp ` z ) e. NN ) -> ( ( exp ` y ) x. ( exp ` z ) ) e. NN )
38	37	ad2ant2l 512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> ( ( exp ` y ) x. ( exp ` z ) ) e. NN )
39	36, 38	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> ( exp ` ( y + z ) ) e. NN )
40	29, 32, 39	elrabd 2984	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. RR /\ ( exp ` y ) e. NN ) /\ ( z e. RR /\ ( exp ` z ) e. NN ) ) -> ( y + z ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
41	24, 27, 40	syl2anb 291	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } /\ z e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } ) -> ( y + z ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
42	41	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ ( y e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } /\ z e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } ) ) -> ( y + z ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
43		flqcl 10726	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
44	43	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
45	44	peano2zd 9783	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
46		flqcl 10726	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. QQ -> ( |_ ` B ) e. ZZ )
47	46	3ad2ant2 1050	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( |_ ` B ) e. ZZ )
48	45, 47	fzfigd 10890	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) e. Fin )
49		inss1 3451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) C_ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) )
50	49	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) C_ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) )
51		animorrl 838	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) -> ( x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) \/ -. x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) )
52		df-dc 847	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) <-> ( x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) \/ -. x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) )
53	51, 52	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) -> DECID x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) )
54		elfzelz 10446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) -> x e. ZZ )
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) -> x e. ZZ )
56		prmdcz 12935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ZZ -> DECID x e. Prime )
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) -> DECID x e. Prime )
58	53, 57	dcand 945	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) -> DECID ( x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) /\ x e. Prime ) )
59		elin 3412	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) <-> ( x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) /\ x e. Prime ) )
60	59	dcbii 852	. . . . . . . . . 10 |- (DECID x e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) <-> DECID ( x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) /\ x e. Prime ) )
61	58, 60	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) ) -> DECID x e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) )
62	61	ralrimiva 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> A. x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) )DECID x e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) )
63		ssfidc 7250	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) e. Fin /\ ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) C_ ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) /\ A. x e. ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) )DECID x e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) e. Fin )
64	48, 50, 62, 63	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) e. Fin )
65		fveq2 5698	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( log ` p ) -> ( exp ` x ) = ( exp ` ( log ` p ) ) )
66	65	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( x = ( log ` p ) -> ( ( exp ` x ) e. NN <-> ( exp ` ( log ` p ) ) e. NN ) )
67		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) )
68	67	elin2d 3419	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> p e. Prime )
69		prmnn 12914	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
70	68, 69	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> p e. NN )
71	70	nnrpd 10113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> p e. RR+ )
72	71	relogcld 16124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. RR )
73	71	reeflogd 16125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> ( exp ` ( log ` p ) ) = p )
74	73, 70	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> ( exp ` ( log ` p ) ) e. NN )
75	66, 72, 74	elrabd 2984	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) /\ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ) -> ( log ` p ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
76		0re 8333	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
77		1nn 9325	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
78		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( exp ` x ) = ( exp ` 0 ) )
79		ef0 12465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( exp ` 0 ) = 1
80	78, 79	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( exp ` x ) = 1 )
81	80	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( ( exp ` x ) e. NN <-> 1 e. NN ) )
82	81	elrab 2982	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } <-> ( 0 e. RR /\ 1 e. NN ) )
83	76, 77, 82	mpbir2an 955	. . . . . . . 8 |- 0 e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN }
84	83	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> 0 e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
85	21, 42, 64, 75, 84	fsumcllem 12192	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> sum_ p e. ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) ... ( |_ ` B ) ) i^i Prime ) ( log ` p ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
86	17, 85	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } )
87		fveq2 5698	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) -> ( exp ` x ) = ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) )
88	87	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) -> ( ( exp ` x ) e. NN <-> ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) e. NN ) )
89	88	elrab 2982	. . . . . 6 |- ( ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } <-> ( ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) e. RR /\ ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) e. NN ) )
90	89	simprbi 275	. . . . 5 |- ( ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) e. { x e. RR | ( exp ` x ) e. NN } -> ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) e. NN )
91	86, 90	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( ( theta ` B ) - ( theta ` A ) ) ) e. NN )
92	8, 91	eqeltrrd 2316	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( exp ` ( theta ` B ) ) / ( exp ` ( theta ` A ) ) ) e. NN )
93	92	nnzd 9779	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( exp ` ( theta ` B ) ) / ( exp ` ( theta ` A ) ) ) e. ZZ )
94		efchtqcl 16258	. . . . 5 |- ( A e. QQ -> ( exp ` ( theta ` A ) ) e. NN )
95	94	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` A ) ) e. NN )
96	95	nnzd 9779	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` A ) ) e. ZZ )
97	95	nnne0d 9359	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` A ) ) =/= 0 )
98		efchtqcl 16258	. . . . 5 |- ( B e. QQ -> ( exp ` ( theta ` B ) ) e. NN )
99	98	3ad2ant2 1050	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` B ) ) e. NN )
100	99	nnzd 9779	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` B ) ) e. ZZ )
101		dvdsval2 12583	. . 3 |- ( ( ( exp ` ( theta ` A ) ) e. ZZ /\ ( exp ` ( theta ` A ) ) =/= 0 /\ ( exp ` ( theta ` B ) ) e. ZZ ) -> ( ( exp ` ( theta ` A ) ) || ( exp ` ( theta ` B ) ) <-> ( ( exp ` ( theta ` B ) ) / ( exp ` ( theta ` A ) ) ) e. ZZ ) )
102	96, 97, 100, 101	syl3anc 1278	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( ( exp ` ( theta ` A ) ) || ( exp ` ( theta ` B ) ) <-> ( ( exp ` ( theta ` B ) ) / ( exp ` ( theta ` A ) ) ) e. ZZ ) )
103	93, 102	mpbird 167	1 |- ( ( A e. QQ /\ B e. QQ /\ A <_ B ) -> ( exp ` ( theta ` A ) ) || ( exp ` ( theta ` B ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   {crab 2532   i^i cin 3219   C_ wss 3220   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7027   CCcc 8184   RRcr 8185   0cc0 8186   1c1 8187   + caddc 8189   x. cmul 8191   <_ cle 8368   - cmin 8505   / cdiv 9011   NNcn 9314   ZZcz 9656   ZZ>=cuz 9938   QQcq 10036   ...cfz 10429   |_cfl 10721   sum_csu 12145   expce 12435   || cdvds 12580   Primecprime 12911   logclog 16097   thetaccht 16245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-fl 10723  df-mod 10782  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-e 12442  df-dvds 12581  df-prm 12912  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895  df-relog 16099  df-cht 16248

This theorem is used by:  bposlem6  16328