Theorem ballotfilemdifcfz 13171

Description: Lemma for ballotfi . The portion of a counting representing votes for B within a specified integer range is finite. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilemc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotfilemc.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
ballotfilemc.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemdifcfz	⊢ (𝜑 → ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝐽(𝑐)   𝐾(𝑐)

Proof of Theorem ballotfilemdifcfz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotfilemc.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℤ)
2		ballotfilemc.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
3	1, 2	fzfigd 10817	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽...𝐾) ∈ Fin)
4		difssd 3350	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ⊆ (𝐽...𝐾))
5		ballotth.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
6		ballotth.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
7		ballotfilem.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
8		ballotfilemc.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝑂)
10		elfzelz 10378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ∈ ℤ)
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → 𝑥 ∈ ℤ)
12	5, 6, 7, 9, 11	ballotfilemcdc 13167	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → DECID 𝑥 ∈ 𝐶)
13		dcn 850	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ 𝐶 → DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
14	12, 13	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
15		ibar 301	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
16	15	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → (DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ DECID (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
17	16	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → (DECID ¬ 𝑥 ∈ 𝐶 ↔ DECID (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)))
18	14, 17	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → DECID (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
19		eldif 3223	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
20	19	dcbii 848	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ↔ DECID (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶))
21	18, 20	sylibr 134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)) → DECID 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶))
22	21	ralrimiva 2617	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)DECID 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶))
23		ssfidc 7211	. 2 ⊢ (((𝐽...𝐾) ∈ Fin ∧ ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ⊆ (𝐽...𝐾) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐽...𝐾)DECID 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶)) → ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
24	3, 4, 22, 23	syl3anc 1274	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐽...𝐾) ∖ 𝐶) ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ∖ cdif 3211   ∩ cin 3213   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  Fincfn 6988  1c1 8144   + caddc 8146  ℕcn 9254  ℤcz 9594  ...cfz 10361  ♯chash 11163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-1o 6660  df-er 6780  df-en 6989  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362

This theorem is referenced by:  ballotfilemgval  13211  ballotfilemgun  13212