Theorem ballotfilemcdc 13206

Description: Lemma for ballotfi . It is decidable whether a given integer is an element of a particular element of 𝑂. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotfilem.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotfilemc.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
ballotfilemcdc.dc	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
ballotfilemcdc	⊢ (𝜑 → DECID 𝐾 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑐)   𝐶(𝑐)   𝐾(𝑐)

Proof of Theorem ballotfilemcdc

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝐾 ∈ 𝑤 ↔ 𝐾 ∈ ∅))
2	1	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID 𝐾 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝐾 ∈ ∅))
3		eleq2 2302	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (𝐾 ∈ 𝑤 ↔ 𝐾 ∈ 𝑦))
4	3	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑦 → (DECID 𝐾 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝐾 ∈ 𝑦))
5		eleq2 2302	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝐾 ∈ 𝑤 ↔ 𝐾 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})))
6	5	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (DECID 𝐾 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝐾 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})))
7		eleq2 2302	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (𝐾 ∈ 𝑤 ↔ 𝐾 ∈ 𝐶))
8	7	dcbid 850	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐶 → (DECID 𝐾 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝐾 ∈ 𝐶))
9		noel 3525	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐾 ∈ ∅
10	9	olci 744	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝐾 ∈ ∅)
11		df-dc 847	. . . 4 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ ∅ ↔ (𝐾 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝐾 ∈ ∅))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID 𝐾 ∈ ∅
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐾 ∈ ∅)
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → DECID 𝐾 ∈ 𝑦)
15		ballotfilemcdc.dc	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℤ)
16	15	ad3antrrr 496	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → 𝐾 ∈ ℤ)
17		ballotfilemc.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑂)
18		ballotth.m	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
19		ballotth.n	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
20		ballotfilem.o	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ (𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ Fin) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
21	18, 19, 20	ballotfilemelo 13205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 ↔ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) = 𝑀))
22	17, 21	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ (♯‘𝐶) = 𝑀))
23	22	simp1d 1040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
24	23	ad3antrrr 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
25		simplrr 542	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))
26	25	eldifad 3231	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐶)
27	24, 26	sseldd 3249	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
28	27	elfzelzd 10412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ ℤ)
29		zdceq 9703	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → DECID 𝐾 = 𝑧)
30	16, 28, 29	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → DECID 𝐾 = 𝑧)
31		vex 2824	. . . . . . 7 ⊢ 𝑧 ∈ V
32	31	elsn2 3742	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ {𝑧} ↔ 𝐾 = 𝑧)
33	32	dcbii 852	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝐾 ∈ {𝑧} ↔ DECID 𝐾 = 𝑧)
34	30, 33	sylibr 134	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → DECID 𝐾 ∈ {𝑧})
35	14, 34	dcun 3637	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) ∧ DECID 𝐾 ∈ 𝑦) → DECID 𝐾 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}))
36	35	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ Fin) ∧ (𝑦 ⊆ 𝐶 ∧ 𝑧 ∈ (𝐶 ∖ 𝑦))) → (DECID 𝐾 ∈ 𝑦 → DECID 𝐾 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})))
37	22	simp2d 1041	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
38	2, 4, 6, 8, 13, 36, 37	findcard2sd 7190	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝐾 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {crab 2532   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3708  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  1c1 8174   + caddc 8176  ℕcn 9287  ℤcz 9627  ...cfz 10394  ♯chash 11197

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-er 6801  df-en 7017  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-fz 10395

This theorem is used by:  ballotfilemcinfi  13207  ballotfilemdifcfi  13208  ballotfilemcinfz  13209  ballotfilemdifcfz  13210  ballotfilemafi  13221  ballotfilembfi  13222  ballotfilemic  13233  ballotfilemth  13264