Theorem fihasheqf1od 11251

Description: The size of two finite sets is equal if there is a bijection mapping one of the sets onto the other. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fihasheqf1od.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fihasheqf1od.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fihasheqf1od	⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

Proof of Theorem fihasheqf1od

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fihasheqf1od.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fihasheqf1od.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)
3		fihasheqf1oi 11249	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐴) = (♯‘𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  Fincfn 7027  ♯chash 11237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-addass 8288  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-ihash 11238

This theorem is used by:  hashf1lem2  11309  nnf1o  12169  summodclem2a  12174  summodc  12176  zsumdc  12177  prodmodclem3  12368  prodmodclem2a  12369  zproddc  12372  fprodseq  12376  hashgcdeq  13048  4sqlem11  13210  ballotfilemfrc  13329  0sgmppw  16299  vtxduspgrfvedgfilem  16758  vtxduspgrfvedgfi  16759