Theorem g0wlk0 16497

Description: There is no walk in a null graph (a class without vertices). (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
g0wlk0	⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem g0wlk0

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkcprim 16477	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤))
2		wlkm 16466	. . . . . . 7 ⊢ ((1st ‘𝑤)(Walks‘𝐺)(2nd ‘𝑤) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (2nd ‘𝑤))
3		n0r 3526	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (2nd ‘𝑤) → (2nd ‘𝑤) ≠ ∅)
4	1, 2, 3	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → (2nd ‘𝑤) ≠ ∅)
5	4	neneqd 2435	. . . . 5 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ¬ (2nd ‘𝑤) = ∅)
6		wlkv0 16496	. . . . . . 7 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → ((1st ‘𝑤) = ∅ ∧ (2nd ‘𝑤) = ∅))
7	6	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ (((Vtx‘𝐺) = ∅ ∧ 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺)) → (2nd ‘𝑤) = ∅)
8	7	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (2nd ‘𝑤) = ∅)
9	5, 8	mtand 671	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ¬ (Vtx‘𝐺) = ∅)
10	9	exlimiv 1647	. . 3 ⊢ (∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) → ¬ (Vtx‘𝐺) = ∅)
11	10	con2i 632	. 2 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺))
12		notm0 3533	. 2 ⊢ (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ↔ (Walks‘𝐺) = ∅)
13	11, 12	sylib 122	1 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (Walks‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∅c0 3512   class class class wbr 4115  ‘cfv 5359  1^st c1st 6347  2^nd c2nd 6348  Vtxcvtx 16139  Walkscwlks 16444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-iinf 4717  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-mulcom 8246  ax-addass 8247  ax-mulass 8248  ax-distr 8249  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-1rid 8252  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-cnre 8256  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltwlin 8258  ax-pre-lttrn 8259  ax-pre-apti 8260  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-ifp 987  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3626  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-id 4420  df-iord 4493  df-on 4495  df-ilim 4496  df-suc 4498  df-iom 4720  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-f 5363  df-f1 5364  df-fo 5365  df-f1o 5366  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6551  df-frec 6637  df-1o 6662  df-er 6782  df-map 6899  df-en 6991  df-dom 6992  df-fin 6993  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-xr 8330  df-ltxr 8331  df-le 8332  df-sub 8465  df-neg 8466  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-4 9320  df-5 9321  df-6 9322  df-7 9323  df-8 9324  df-9 9325  df-n0 9519  df-z 9600  df-dec 9733  df-uz 9877  df-fz 10367  df-fzo 10504  df-ihash 11169  df-word 11255  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-edgf 16132  df-vtx 16141  df-iedg 16142  df-wlks 16445

This theorem is referenced by:  0wlk0  16498  wlk0prc  16499