Theorem mulgsubdir 12878

Description: Distribution of group multiples over subtraction for group elements, subdir 8314 analog. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdir.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9252	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgsubdir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgsubdir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2173	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgdir 12870	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
6	1, 5	syl3anr2 1289	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
7		simpr1 1001	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9344	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		simpr2 1002	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9344	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubd 8245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
12	11	oveq1d 5877	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋))
13		eqid 2173	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	2, 3, 13	mulgneg 12857	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
15	14	3adant3r1 1210	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
16	15	oveq2d 5878	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
17	2, 3	mulgcl 12856	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	3adant3r2 1211	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19	2, 3	mulgcl 12856	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	19	3adant3r1 1210	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21		mulgsubdir.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	2, 4, 13, 21	grpsubval 12776	. . . 4 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
24	16, 23	eqtr4d 2209	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))
25	6, 12, 24	3eqtr3d 2214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 976   = wceq 1351   ∈ wcel 2144  ‘cfv 5205  (class class class)co 5862   + caddc 7786   − cmin 8099  -cneg 8100  ℤcz 9221  Basecbs 12425  +_gcplusg 12489  Grpcgrp 12735  inv_gcminusg 12736  -_gcsg 12737  ._gcmg 12839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 612  ax-in2 613  ax-io 707  ax-5 1443  ax-7 1444  ax-gen 1445  ax-ie1 1489  ax-ie2 1490  ax-8 1500  ax-10 1501  ax-11 1502  ax-i12 1503  ax-bndl 1505  ax-4 1506  ax-17 1522  ax-i9 1526  ax-ial 1530  ax-i5r 1531  ax-13 2146  ax-14 2147  ax-ext 2155  ax-coll 4110  ax-sep 4113  ax-nul 4121  ax-pow 4166  ax-pr 4200  ax-un 4424  ax-setind 4527  ax-iinf 4578  ax-cnex 7874  ax-resscn 7875  ax-1cn 7876  ax-1re 7877  ax-icn 7878  ax-addcl 7879  ax-addrcl 7880  ax-mulcl 7881  ax-addcom 7883  ax-addass 7885  ax-distr 7887  ax-i2m1 7888  ax-0lt1 7889  ax-0id 7891  ax-rnegex 7892  ax-cnre 7894  ax-pre-ltirr 7895  ax-pre-ltwlin 7896  ax-pre-lttrn 7897  ax-pre-ltadd 7899

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 833  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1354  df-fal 1357  df-nf 1457  df-sb 1759  df-eu 2025  df-mo 2026  df-clab 2160  df-cleq 2166  df-clel 2169  df-nfc 2304  df-ne 2344  df-nel 2439  df-ral 2456  df-rex 2457  df-reu 2458  df-rmo 2459  df-rab 2460  df-v 2735  df-sbc 2959  df-csb 3053  df-dif 3126  df-un 3128  df-in 3130  df-ss 3137  df-nul 3418  df-if 3530  df-pw 3571  df-sn 3592  df-pr 3593  df-op 3595  df-uni 3803  df-int 3838  df-iun 3881  df-br 3996  df-opab 4057  df-mpt 4058  df-tr 4094  df-id 4284  df-iord 4357  df-on 4359  df-ilim 4360  df-suc 4362  df-iom 4581  df-xp 4623  df-rel 4624  df-cnv 4625  df-co 4626  df-dm 4627  df-rn 4628  df-res 4629  df-ima 4630  df-iota 5167  df-fun 5207  df-fn 5208  df-f 5209  df-f1 5210  df-fo 5211  df-f1o 5212  df-fv 5213  df-riota 5818  df-ov 5865  df-oprab 5866  df-mpo 5867  df-1st 6128  df-2nd 6129  df-recs 6293  df-frec 6379  df-pnf 7965  df-mnf 7966  df-xr 7967  df-ltxr 7968  df-le 7969  df-sub 8101  df-neg 8102  df-inn 8888  df-2 8946  df-n0 9145  df-z 9222  df-uz 9497  df-fz 9975  df-seqfrec 10411  df-ndx 12428  df-slot 12429  df-base 12431  df-plusg 12502  df-0g 12625  df-mgm 12637  df-sgrp 12670  df-mnd 12680  df-grp 12738  df-minusg 12739  df-sbg 12740  df-mulg 12840

This theorem is referenced by: (None)