Theorem mulgsubdir 13542

Description: Distribution of group multiples over subtraction for group elements, subdir 8465 analog. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgsubdir.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgsubdir.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
mulgsubdir.d	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgsubdir	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgsubdir

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 9410	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
2		mulgsubdir.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mulgsubdir.t	. . . 4 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		eqid 2206	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulgdir 13534	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
6	1, 5	syl3anr2 1303	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)))
7		simpr1 1006	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 9503	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑀 ∈ ℂ)
9		simpr2 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
10	9	zcnd 9503	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
11	8, 10	negsubd 8396	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 + -𝑁) = (𝑀 − 𝑁))
12	11	oveq1d 5966	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 + -𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋))
13		eqid 2206	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
14	2, 3, 13	mulgneg 13520	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
15	14	3adant3r1 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (-𝑁 · 𝑋) = ((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋)))
16	15	oveq2d 5967	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
17	2, 3	mulgcl 13519	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
18	17	3adant3r2 1216	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
19	2, 3	mulgcl 13519	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
20	19	3adant3r1 1215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
21		mulgsubdir.d	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐺)
22	2, 4, 13, 21	grpsubval 13422	. . . 4 ⊢ (((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
23	18, 20, 22	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘(𝑁 · 𝑋))))
24	16, 23	eqtr4d 2242	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-𝑁 · 𝑋)) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))
25	6, 12, 24	3eqtr3d 2247	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 − 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑋) − (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951   + caddc 7935   − cmin 8250  -cneg 8251  ℤcz 9379  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  Grpcgrp 13376  inv_gcminusg 13377  -_gcsg 13378  ._gcmg 13499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-addcom 8032  ax-addass 8034  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-ltadd 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-inn 9044  df-2 9102  df-n0 9303  df-z 9380  df-uz 9656  df-fz 10138  df-seqfrec 10600  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-plusg 12966  df-0g 13134  df-mgm 13232  df-sgrp 13278  df-mnd 13293  df-grp 13379  df-minusg 13380  df-sbg 13381  df-mulg 13500

This theorem is referenced by: (None)