ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgmodid GIF version

Theorem mulgmodid 13027
Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgmodid.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgmodid.o 0 = (0gโ€˜๐บ)
mulgmodid.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgmodid ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))

Proof of Theorem mulgmodid
StepHypRef Expression
1 zq 9628 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
21adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
3 nnq 9635 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
43adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„š)
5 nngt0 8946 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ 0 < ๐‘€)
65adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ 0 < ๐‘€)
7 modqval 10326 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘€) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
82, 4, 6, 7syl3anc 1238 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
983ad2ant2 1019 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ mod ๐‘€) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
109oveq1d 5892 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
11 zcn 9260 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1211adantr 276 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
13 nnz 9274 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
1413adantl 277 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
15 znq 9626 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„š)
1615flqcld 10279 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
1714, 16zmulcld 9383 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
1817zcnd 9378 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„‚)
1912, 18negsubd 8276 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
20193ad2ant2 1019 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) = (๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))))
2120oveq1d 5892 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ โˆ’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹))
22 simp1 997 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
23 simpl 109 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
24233ad2ant2 1019 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
25143ad2ant2 1019 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
26163ad2ant2 1019 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
2725, 26zmulcld 9383 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
2827znegcld 9379 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค)
29 simpl 109 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
30293ad2ant3 1020 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
31 mulgmodid.b . . . . 5 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
32 mulgmodid.t . . . . 5 ยท = (.gโ€˜๐บ)
33 eqid 2177 . . . . 5 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
3431, 32, 33mulgdir 13020 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
3522, 24, 28, 30, 34syl13anc 1240 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ + -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)))) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
3610, 21, 353eqtr2d 2216 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)))
37 nncn 8929 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3837adantl 277 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3916zcnd 9378 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„‚)
4038, 39mulneg2d 8371 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
41403ad2ant2 1019 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) = -(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))))
4241oveq1d 5892 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹))
43153ad2ant2 1019 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ / ๐‘€) โˆˆ โ„š)
4443flqcld 10279 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4544znegcld 9379 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค)
4631, 32mulgassr 13026 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
4722, 45, 25, 30, 46syl13anc 1240 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
48 oveq2 5885 . . . . . . 7 ((๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
4948adantl 277 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 ) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
50493ad2ant3 1020 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท (๐‘€ ยท ๐‘‹)) = (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ))
51 mulgmodid.o . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
5231, 32, 51mulgz 13016 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5322, 45, 52syl2anc 411 . . . . 5 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€)) ยท 0 ) = 0 )
5447, 50, 533eqtrd 2214 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘€ ยท -(โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5542, 54eqtr3d 2212 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹) = 0 )
5655oveq2d 5893 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(-(๐‘€ ยท (โŒŠโ€˜(๐‘ / ๐‘€))) ยท ๐‘‹)) = ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ))
57 id 19 . . . 4 (๐บ โˆˆ Grp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
5831, 32mulgcl 13005 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
5957, 23, 29, 58syl3an 1280 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
6031, 33, 51grprid 12912 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6122, 59, 60syl2anc 411 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ) 0 ) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
6236, 56, 613eqtrd 2214 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘€ ยท ๐‘‹) = 0 )) โ†’ ((๐‘ mod ๐‘€) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  0cc0 7813   + caddc 7816   ยท cmul 7818   < clt 7994   โˆ’ cmin 8130  -cneg 8131   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  โ„คcz 9255  โ„šcq 9621  โŒŠcfl 10270   mod cmo 10324  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  0gc0g 12710  Grpcgrp 12882  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator