Theorem mulgmodid 13771

Description: Casting out multiples of the identity element leaves the group multiple unchanged. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgmodid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgmodid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
mulgmodid.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgmodid	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Proof of Theorem mulgmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9865	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
3		nnq 9872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℚ)
5		nngt0 9173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 0 < 𝑀)
6	5	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 0 < 𝑀)
7		modqval 10592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
9	8	3ad2ant2 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 mod 𝑀) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
10	9	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
11		zcn 9489	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
13		nnz 9503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
14	13	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		znq 9863	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℚ)
16	15	flqcld 10543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
17	14, 16	zmulcld 9613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
18	17	zcnd 9608	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℂ)
19	12, 18	negsubd 8501	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
20	19	3ad2ant2 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) = (𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))))
21	20	oveq1d 6038	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 − (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋))
22		simp1 1023	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝐺 ∈ Grp)
23		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
24	23	3ad2ant2 1045	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℤ)
25	14	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑀 ∈ ℤ)
26	16	3ad2ant2 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
27	25, 26	zmulcld 9613	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
28	27	znegcld 9609	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ)
29		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐵)
30	29	3ad2ant3 1046	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
31		mulgmodid.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
32		mulgmodid.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
33		eqid 2230	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
34	31, 32, 33	mulgdir 13764	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
35	22, 24, 28, 30, 34	syl13anc 1275	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 + -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀)))) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
36	10, 21, 35	3eqtr2d 2269	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)))
37		nncn 9156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
38	37	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℂ)
39	16	zcnd 9608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℂ)
40	38, 39	mulneg2d 8596	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
41	40	3ad2ant2 1045	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) = -(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))))
42	41	oveq1d 6038	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋))
43	15	3ad2ant2 1045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 / 𝑀) ∈ ℚ)
44	43	flqcld 10543	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
45	44	znegcld 9609	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ)
46	31, 32	mulgassr 13770	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
47	22, 45, 25, 30, 46	syl13anc 1275	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)))
48		oveq2 6031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) = 0 → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
49	48	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
50	49	3ad2ant3 1046	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · (𝑀 · 𝑋)) = (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ))
51		mulgmodid.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
52	31, 32, 51	mulgz 13760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ -(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) ∈ ℤ) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
53	22, 45, 52	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(⌊‘(𝑁 / 𝑀)) · 0 ) = 0 )
54	47, 50, 53	3eqtrd 2267	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑀 · -(⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
55	42, 54	eqtr3d 2265	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋) = 0 )
56	55	oveq2d 6039	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺)(-(𝑀 · (⌊‘(𝑁 / 𝑀))) · 𝑋)) = ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ))
57		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
58	31, 32	mulgcl 13749	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
59	57, 23, 29, 58	syl3an 1315	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
60	31, 33, 51	grprid 13638	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
61	22, 59, 60	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 · 𝑋)(+g‘𝐺) 0 ) = (𝑁 · 𝑋))
62	36, 56, 61	3eqtrd 2267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) = 0 )) → ((𝑁 mod 𝑀) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  ℂcc 8035  0cc0 8037   + caddc 8040   · cmul 8042   < clt 8219   − cmin 8355  -cneg 8356   / cdiv 8857  ℕcn 9148  ℤcz 9484  ℚcq 9858  ⌊cfl 10534   mod cmo 10590  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  0_gc0g 13362  Grpcgrp 13606  ._gcmg 13729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-fl 10536  df-mod 10591  df-seqfrec 10716  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-plusg 13196  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-minusg 13610  df-mulg 13730

This theorem is referenced by: (None)