Theorem gausslemma2dlem0i 15382

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 15394. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9371	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 15374	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9464	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 15348	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9		eltpg 3668	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
11	8, 10	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
12		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
13		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
14		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
15	2, 12, 13, 14	gausslemma2dlem0h 15381	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 9463	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		m1expcl2 10670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
19		elprg 3643	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
21	18, 20	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
22		eqcom 2198	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
23	22	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
24	23	2a1d 23	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
25	2	gausslemma2dlem0a 15374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
26		nnq 9724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
28	2	eldifad 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
29		prmgt1 12325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
31		q1mod 10465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
33	32	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
34		oddprmge3 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
35		m1modge3gt1 10480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
36		breq2 4038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
37		1re 8042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
38	37	ltnri 8136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 < 1
39	38	pm2.21i 647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
40	36, 39	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41	35, 40	syl5com 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
42	2, 34, 41	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
43	33, 42	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
44		oveq1 5932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
45	44	eqeq2d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
46		eqeq2 2206	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
47	45, 46	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
48	43, 47	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
49	24, 48	jaoi 717	. . . . 5 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
50	21, 49	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
51		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
52	51	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
53		eqeq1 2203	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
54	52, 53	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
55	50, 54	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
56	25	nngt0d 9051	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
57		q0mod 10464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (0 mod 𝑃) = 0)
58	27, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
59	58	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60		oveq1 5932	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
61	60	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62	61	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
63		1z 9369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
64		zq 9717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℚ
66		negqmod0 10440	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
67	65, 27, 56, 66	mp3an2i 1353	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
68		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
69	67, 68	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
70	32	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
71		1ne0 9075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
72		eqneqall 2377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
73	71, 72	mpi 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
74	70, 73	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
75	69, 74	sylbird 170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
76	75	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
77	62, 76	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
78	77	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
79	44	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
80	79	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
81		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
82	81, 70	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
83	82, 73	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
84	83	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
85	80, 84	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
86	85	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
87	78, 86	jaoi 717	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
88	21, 87	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
89	59, 88	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
90		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
91	90	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
92		eqeq1 2203	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
93	91, 92	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
94	89, 93	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
95	32	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
96		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
97		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
98	42, 96, 97	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
99	60	eqeq2d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
100		eqeq2 2206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
101	99, 100	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
102	98, 101	imbitrrid 156	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
103		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
104	103	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
105	104	2a1d 23	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
106	102, 105	jaoi 717	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
107	21, 106	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
108	95, 107	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
109		oveq1 5932	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
110	109	eqeq1d 2205	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
111		eqeq1 2203	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
112	110, 111	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
113	108, 112	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
114	55, 94, 113	3jaoi 1314	. 2 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
115	11, 114	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∨ w3o 979   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  {csn 3623  {cpr 3624  {ctp 3625   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  0cc0 7896  1c1 7897   < clt 8078   − cmin 8214  -cneg 8215   / cdiv 8716  ℕcn 9007  2c2 9058  3c3 9059  4c4 9060  ℤcz 9343  ℤ_≥cuz 9618  ℚcq 9710  ⌊cfl 10375   mod cmo 10431  ↑cexp 10647  ℙcprime 12300   /_L clgs 15322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-fl 10377  df-mod 10432  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733  df-dvds 11970  df-gcd 12146  df-prm 12301  df-phi 12404  df-pc 12479  df-lgs 15323

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  15394