Theorem gausslemma2dlem0i 16042

Description: Auxiliary lemma 9 for gausslemma2d 16054. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2dlem0.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2dlem0.m	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
gausslemma2dlem0.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2dlem0.n	⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem0i	⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Proof of Theorem gausslemma2dlem0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9622	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		gausslemma2dlem0.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		id 19	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
4	3	gausslemma2dlem0a 16034	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	nnzd 9717	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
6	2, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
7		lgscl1 16008	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
8	1, 6, 7	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1})
9		eltpg 3739	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) ∈ {-1, 0, 1} ↔ ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1)))
11	8, 10	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → ((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1))
12		gausslemma2dlem0.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑃 / 4))
13		gausslemma2dlem0.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
14		gausslemma2dlem0.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (𝐻 − 𝑀)
15	2, 12, 13, 14	gausslemma2dlem0h 16041	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 9716	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
17		m1expcl2 10947	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
18	16, 17	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-1↑𝑁) ∈ {-1, 1})
19		elprg 3714	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
20	18, 19	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) ∈ {-1, 1} ↔ ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1)))
21	18, 20	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1))
22		eqcom 2236	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 ↔ -1 = (-1↑𝑁))
23	22	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → -1 = (-1↑𝑁))
24	23	2a1d 23	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
25	2	gausslemma2dlem0a 16034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
26		nnq 9983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
28	2	eldifad 3225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
29		prmgt1 12854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
30	28, 29	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑃)
31		q1mod 10742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑃) = 1)
33	32	eqeq2d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1))
34		oddprmge3 12857	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘3))
35		m1modge3gt1 10757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → 1 < (-1 mod 𝑃))
36		breq2 4118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) ↔ 1 < 1))
37		1re 8289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
38	37	ltnri 8382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ¬ 1 < 1
39	38	pm2.21i 651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 < 1 → -1 = 1)
40	36, 39	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 1 → (1 < (-1 mod 𝑃) → -1 = 1))
41	35, 40	syl5com 29	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘3) → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
42	2, 34, 41	3syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = 1 → -1 = 1))
43	33, 42	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1))
44		oveq1 6065	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
45	44	eqeq2d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)))
46		eqeq2 2244	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (-1 = (-1↑𝑁) ↔ -1 = 1))
47	45, 46	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) → -1 = 1)))
48	43, 47	imbitrrid 156	. . . . . 6 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
49	24, 48	jaoi 724	. . . . 5 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
50	21, 49	mpcom 36	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁)))
51		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
52	51	eqeq1d 2243	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
53		eqeq1 2241	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ -1 = (-1↑𝑁)))
54	52, 53	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((-1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → -1 = (-1↑𝑁))))
55	50, 54	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = -1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
56	25	nngt0d 9298	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑃)
57		q0mod 10741	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (0 mod 𝑃) = 0)
58	27, 56, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0 mod 𝑃) = 0)
59	58	eqeq1d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
60		oveq1 6065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((-1↑𝑁) mod 𝑃) = (-1 mod 𝑃))
61	60	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
62	61	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
63		1z 9620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
64		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℚ)
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℚ
66		negqmod0 10717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((1 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
67	65, 27, 56, 66	mp3an2i 1379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ (-1 mod 𝑃) = 0))
68		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃))
69	67, 68	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 0 = (-1 mod 𝑃)))
70	32	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 ↔ 1 = 0))
71		1ne0 9322	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 0
72		eqneqall 2424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 = 0 → (1 ≠ 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
73	71, 72	mpi 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 = 0 → 0 = (-1↑𝑁))
74	70, 73	biimtrdi 163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = 0 → 0 = (-1↑𝑁)))
75	69, 74	sylbird 170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
76	75	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = (-1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
77	62, 76	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
78	77	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
79	44	eqeq2d 2246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
80	79	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 0 = (1 mod 𝑃)))
81		eqcom 2236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 = (1 mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = 0)
82	81, 70	bitrid 192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) ↔ 1 = 0))
83	82, 73	biimtrdi 163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
84	83	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = (1 mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
85	80, 84	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1↑𝑁) = 1 ∧ 𝜑) → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
86	85	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
87	78, 86	jaoi 724	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
88	21, 87	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
89	59, 88	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁)))
90		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (0 mod 𝑃))
91	90	eqeq1d 2243	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
92		eqeq1 2241	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 0 = (-1↑𝑁)))
93	91, 92	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((0 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 0 = (-1↑𝑁))))
94	89, 93	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 0 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
95	32	eqeq1d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
96		eqcom 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = (-1 mod 𝑃) ↔ (-1 mod 𝑃) = 1)
97		eqcom 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 = -1 ↔ -1 = 1)
98	42, 96, 97	3imtr4g 205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1))
99	60	eqeq2d 2246	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ 1 = (-1 mod 𝑃)))
100		eqeq2 2244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (1 = (-1↑𝑁) ↔ 1 = -1))
101	99, 100	imbi12d 234	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → ((1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)) ↔ (1 = (-1 mod 𝑃) → 1 = -1)))
102	98, 101	imbitrrid 156	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = -1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
103		eqcom 2236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 ↔ 1 = (-1↑𝑁))
104	103	biimpi 120	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → 1 = (-1↑𝑁))
105	104	2a1d 23	. . . . . . 7 ⊢ ((-1↑𝑁) = 1 → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
106	102, 105	jaoi 724	. . . . . 6 ⊢ (((-1↑𝑁) = -1 ∨ (-1↑𝑁) = 1) → (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
107	21, 106	mpcom 36	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1 = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
108	95, 107	sylbid 150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁)))
109		oveq1 6065	. . . . . 6 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
110	109	eqeq1d 2243	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) ↔ (1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃)))
111		eqeq1 2241	. . . . 5 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁) ↔ 1 = (-1↑𝑁)))
112	110, 111	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → ((((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)) ↔ ((1 mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → 1 = (-1↑𝑁))))
113	108, 112	imbitrrid 156	. . 3 ⊢ ((2 /L 𝑃) = 1 → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
114	55, 94, 113	3jaoi 1340	. 2 ⊢ (((2 /L 𝑃) = -1 ∨ (2 /L 𝑃) = 0 ∨ (2 /L 𝑃) = 1) → (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁))))
115	11, 114	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → (((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((-1↑𝑁) mod 𝑃) → (2 /L 𝑃) = (-1↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∨ w3o 1004   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ∖ cdif 3211  {csn 3694  {cpr 3695  {ctp 3696   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  0cc0 8143  1c1 8144   < clt 8324   − cmin 8460  -cneg 8461   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  3c3 9306  4c4 9307  ℤcz 9594  ℤ_≥cuz 9871  ℚcq 9969  ⌊cfl 10652   mod cmo 10708  ↑cexp 10924  ℙcprime 12829   /_L clgs 15982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-phi 12933  df-pc 13008  df-lgs 15983

This theorem is referenced by:  gausslemma2d  16054