Theorem trlsv 16264

Description: The classes involved in a trail are sets. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
trlsv	⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Proof of Theorem trlsv

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4090	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Trails‘𝐺))
2		df-trls 16261	. . . 4 ⊢ Trails = (𝑔 ∈ V ↦ {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝑔)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
3	2	mptrcl 5732	. . 3 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Trails‘𝐺) → 𝐺 ∈ V)
4	1, 3	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐺 ∈ V)
5		trlsfvalg 16263	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ V → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
6	4, 5	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (Trails‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)})
7	6	breqd 4100	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}𝑃))
8	7	ibi 176	. . . 4 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}𝑃)
9		brabv 4859	. . . 4 ⊢ (𝐹{⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(Walks‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑓)}𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
10	8, 9	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
11	10	simpld 112	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
12	10	simprd 114	. 2 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ V)
13	4, 11, 12	3jca 1203	1 ⊢ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801  ⟨cop 3673   class class class wbr 4089  {copab 4150  ^◡ccnv 4726  Fun wfun 5322  ‘cfv 5328  Walkscwlks 16197  Trailsctrls 16260

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-ifp 986  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-1o 6587  df-er 6707  df-map 6824  df-en 6915  df-dom 6916  df-fin 6917  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-9 9214  df-n0 9408  df-z 9485  df-dec 9617  df-uz 9761  df-fz 10249  df-fzo 10383  df-ihash 11044  df-word 11123  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-edgf 15885  df-vtx 15894  df-iedg 15895  df-wlks 16198  df-trls 16261

This theorem is referenced by:  istrl  16265  iseupth  16327  trlsegvdeglem3  16342  trlsegvdeglem5  16344