MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdistr 11094
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 11118 be used later. Instead, use adddi 11140. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 11078 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 addcnsrec 11079 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E + [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩] E )
3 mulcnsrec 11080 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))), ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)))⟩] E )
4 mulcnsrec 11080 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
5 mulcnsrec 11080 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩] E )
6 addcnsrec 11079 . 2 (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E + [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩] E ) = [⟨(((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))), (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))⟩] E )
7 addclsr 11019 . . . 4 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 +R 𝑣) ∈ R)
8 addclsr 11019 . . . 4 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)
97, 8anim12i 613 . . 3 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
109an4s 658 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
11 mulclsr 11020 . . . . 5 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
12 m1r 11018 . . . . . 6 -1RR
13 mulclsr 11020 . . . . . 6 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
14 mulclsr 11020 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
1512, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
16 addclsr 11019 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1711, 15, 16syl2an 596 . . . 4 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1817an4s 658 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
19 mulclsr 11020 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
20 mulclsr 11020 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
21 addclsr 11019 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
2219, 20, 21syl2anr 597 . . . 4 (((𝑥R𝑤R) ∧ (𝑦R𝑧R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
2322an42s 659 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
2418, 23jca 512 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
25 mulclsr 11020 . . . . 5 ((𝑥R𝑣R) → (𝑥 ·R 𝑣) ∈ R)
26 mulclsr 11020 . . . . . 6 ((𝑦R𝑢R) → (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R)
27 mulclsr 11020 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
2812, 26, 27sylancr 587 . . . . 5 ((𝑦R𝑢R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
29 addclsr 11019 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
3025, 28, 29syl2an 596 . . . 4 (((𝑥R𝑣R) ∧ (𝑦R𝑢R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
3130an4s 658 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
32 mulclsr 11020 . . . . 5 ((𝑦R𝑣R) → (𝑦 ·R 𝑣) ∈ R)
33 mulclsr 11020 . . . . 5 ((𝑥R𝑢R) → (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R)
34 addclsr 11019 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
3532, 33, 34syl2anr 597 . . . 4 (((𝑥R𝑢R) ∧ (𝑦R𝑣R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
3635an42s 659 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
3731, 36jca 512 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R))
38 distrsr 11027 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣))
39 distrsr 11027 . . . . . 6 (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))
4039oveq2i 7368 . . . . 5 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢)))
41 distrsr 11027 . . . . 5 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
4240, 41eqtri 2764 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
4338, 42oveq12i 7369 . . 3 ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
44 ovex 7390 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑧) ∈ V
45 ovex 7390 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑣) ∈ V
46 ovex 7390 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ V
47 addcomsr 11023 . . . 4 (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
48 addasssr 11024 . . . 4 ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ))
49 ovex 7390 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 7585 . . 3 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
5143, 50eqtri 2764 . 2 ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
52 distrsr 11027 . . . 4 (𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣))
53 distrsr 11027 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))
5452, 53oveq12i 7369 . . 3 ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
55 ovex 7390 . . . 4 (𝑦 ·R 𝑧) ∈ V
56 ovex 7390 . . . 4 (𝑦 ·R 𝑣) ∈ V
57 ovex 7390 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑤) ∈ V
58 ovex 7390 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑢) ∈ V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 7585 . . 3 (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
6054, 59eqtri 2764 . 2 ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 8764 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106   E cep 5536  ccnv 5632  (class class class)co 7357  Rcnr 10801  -1Rcm1r 10804   +R cplr 10805   ·R cmr 10806  cc 11049   + caddc 11054   · cmul 11056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-ni 10808  df-pli 10809  df-mi 10810  df-lti 10811  df-plpq 10844  df-mpq 10845  df-ltpq 10846  df-enq 10847  df-nq 10848  df-erq 10849  df-plq 10850  df-mq 10851  df-1nq 10852  df-rq 10853  df-ltnq 10854  df-np 10917  df-1p 10918  df-plp 10919  df-mp 10920  df-ltp 10921  df-enr 10991  df-nr 10992  df-plr 10993  df-mr 10994  df-m1r 10998  df-c 11057  df-add 11062  df-mul 11063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator