Theorem axdistr 11024

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 11048 be used later. Instead, use adddi 11070. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 11008	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		addcnsrec 11009	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E + [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 11010	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))), ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)))⟩]◡ E )
4		mulcnsrec 11010	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
5		mulcnsrec 11010	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩]◡ E )
6		addcnsrec 11009	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E + [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩]◡ E ) = [⟨(((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))), (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))⟩]◡ E )
7		addclsr 10949	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑧 +R 𝑣) ∈ R)
8		addclsr 10949	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)
9	7, 8	anim12i 614	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
10	9	an4s 658	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
11		mulclsr 10950	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
12		m1r 10948	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
13		mulclsr 10950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
14		mulclsr 10950	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
15	12, 13, 14	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
16		addclsr 10949	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
17	11, 15, 16	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
18	17	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
19		mulclsr 10950	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
20		mulclsr 10950	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
21		addclsr 10949	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
22	19, 20, 21	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
23	22	an42s 659	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
24	18, 23	jca 513	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
25		mulclsr 10950	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑣) ∈ R)
26		mulclsr 10950	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R)
27		mulclsr 10950	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
28	12, 26, 27	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
29		addclsr 10949	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
30	25, 28, 29	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
31	30	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
32		mulclsr 10950	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑣) ∈ R)
33		mulclsr 10950	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R)
34		addclsr 10949	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
35	32, 33, 34	syl2anr 598	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
36	35	an42s 659	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
37	31, 36	jca 513	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R))
38		distrsr 10957	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣))
39		distrsr 10957	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))
40	39	oveq2i 7357	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢)))
41		distrsr 10957	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
42	40, 41	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
43	38, 42	oveq12i 7358	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
44		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑧) ∈ V
45		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑣) ∈ V
46		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ V
47		addcomsr 10953	. . . 4 ⊢ (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
48		addasssr 10954	. . . 4 ⊢ ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ))
49		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ V
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	caov4 7574	. . 3 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
51	43, 50	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
52		distrsr 10957	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣))
53		distrsr 10957	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))
54	52, 53	oveq12i 7358	. . 3 ⊢ ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
55		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑧) ∈ V
56		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑣) ∈ V
57		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ V
58		ovex 7379	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ V
59	55, 56, 57, 47, 48, 58	caov4 7574	. . 3 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
60	54, 59	eqtri 2765	. 2 ⊢ ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60	ecovdi 8694	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   E cep 5530  ^◡ccnv 5626  (class class class)co 7346  Rcnr 10731  -1_Rcm1r 10734   +_R cplr 10735   ·_R cmr 10736  ℂcc 10979   + caddc 10984   · cmul 10986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-inf2 9507

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-int 4903  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-1st 7908  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-1o 8376  df-oadd 8380  df-omul 8381  df-er 8578  df-ec 8580  df-qs 8584  df-ni 10738  df-pli 10739  df-mi 10740  df-lti 10741  df-plpq 10774  df-mpq 10775  df-ltpq 10776  df-enq 10777  df-nq 10778  df-erq 10779  df-plq 10780  df-mq 10781  df-1nq 10782  df-rq 10783  df-ltnq 10784  df-np 10847  df-1p 10848  df-plp 10849  df-mp 10850  df-ltp 10851  df-enr 10921  df-nr 10922  df-plr 10923  df-mr 10924  df-m1r 10928  df-c 10987  df-add 10992  df-mul 10993

This theorem is referenced by: (None)