MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdistr 11152
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 11176 be used later. Instead, use adddi 11198. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต + ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 11136 . 2 โ„‚ = ((R ร— R) / โ—ก E )
2 addcnsrec 11137 . 2 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ]โ—ก E + [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ(๐‘ง +R ๐‘ฃ), (๐‘ค +R ๐‘ข)โŸฉ]โ—ก E )
3 mulcnsrec 11138 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง ((๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ(๐‘ง +R ๐‘ฃ), (๐‘ค +R ๐‘ข)โŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))), ((๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))โŸฉ]โ—ก E )
4 mulcnsrec 11138 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค))โŸฉ]โ—ก E )
5 mulcnsrec 11138 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))โŸฉ]โ—ก E )
6 addcnsrec 11137 . 2 (((((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R) โˆง (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค))โŸฉ]โ—ก E + [โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))โŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ(((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))), (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) +R ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))โŸฉ]โ—ก E )
7 addclsr 11077 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R)
8 addclsr 11077 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R)
97, 8anim12i 612 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โˆง (๐‘ค โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R))
109an4s 657 . 2 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R))
11 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R)
12 m1r 11076 . . . . . 6 -1R โˆˆ R
13 mulclsr 11078 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R)
14 mulclsr 11078 . . . . . 6 ((-1R โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
1512, 13, 14sylancr 586 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
16 addclsr 11077 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R โˆง (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R)
1711, 15, 16syl2an 595 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R)
1817an4s 657 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R)
19 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R)
20 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R)
21 addclsr 11077 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R โˆง (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
2219, 20, 21syl2anr 596 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
2322an42s 658 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
2418, 23jca 511 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R))
25 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R)
26 mulclsr 11078 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R)
27 mulclsr 11078 . . . . . 6 ((-1R โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
2812, 26, 27sylancr 586 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
29 addclsr 11077 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R)
3025, 28, 29syl2an 595 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R)
3130an4s 657 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R)
32 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R)
33 mulclsr 11078 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R)
34 addclsr 11077 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
3532, 33, 34syl2anr 596 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
3635an42s 658 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
3731, 36jca 511 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R))
38 distrsr 11085 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ))
39 distrsr 11085 . . . . . 6 (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))
4039oveq2i 7415 . . . . 5 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = (-1R ยทR ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))
41 distrsr 11085 . . . . 5 (-1R ยทR ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) = ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))
4240, 41eqtri 2754 . . . 4 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))
4338, 42oveq12i 7416 . . 3 ((๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))) = (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))))
44 ovex 7437 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) โˆˆ V
45 ovex 7437 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ V
46 ovex 7437 . . . 4 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ V
47 addcomsr 11081 . . . 4 (๐‘“ +R ๐‘”) = (๐‘” +R ๐‘“)
48 addasssr 11082 . . . 4 ((๐‘“ +R ๐‘”) +R โ„Ž) = (๐‘“ +R (๐‘” +R โ„Ž))
49 ovex 7437 . . . 4 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 7634 . . 3 (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))) = (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))))
5143, 50eqtri 2754 . 2 ((๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))) = (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))))
52 distrsr 11085 . . . 4 (๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ))
53 distrsr 11085 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))
5452, 53oveq12i 7416 . . 3 ((๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))
55 ovex 7437 . . . 4 (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ V
56 ovex 7437 . . . 4 (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ V
57 ovex 7437 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) โˆˆ V
58 ovex 7437 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข) โˆˆ V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 7634 . . 3 (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) +R ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))
6054, 59eqtri 2754 . 2 ((๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) +R ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 8818 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต + ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   E cep 5572  โ—กccnv 5668  (class class class)co 7404  Rcnr 10859  -1Rcm1r 10862   +R cplr 10863   ยทR cmr 10864  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-1p 10976  df-plp 10977  df-mp 10978  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-plr 11051  df-mr 11052  df-m1r 11056  df-c 11115  df-add 11120  df-mul 11121
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator