Theorem axdistr 11183

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 11207 be used later. Instead, use adddi 11229. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 11167	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		addcnsrec 11168	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E + [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 11169	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))), ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)))⟩]◡ E )
4		mulcnsrec 11169	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
5		mulcnsrec 11169	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩]◡ E )
6		addcnsrec 11168	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E + [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩]◡ E ) = [⟨(((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))), (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))⟩]◡ E )
7		addclsr 11108	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑧 +R 𝑣) ∈ R)
8		addclsr 11108	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)
9	7, 8	anim12i 611	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
10	9	an4s 658	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
11		mulclsr 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
12		m1r 11107	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
13		mulclsr 11109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
14		mulclsr 11109	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
15	12, 13, 14	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
16		addclsr 11108	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
17	11, 15, 16	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
18	17	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
19		mulclsr 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
20		mulclsr 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
21		addclsr 11108	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
22	19, 20, 21	syl2anr 595	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
23	22	an42s 659	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
24	18, 23	jca 510	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
25		mulclsr 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑣) ∈ R)
26		mulclsr 11109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R)
27		mulclsr 11109	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
28	12, 26, 27	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
29		addclsr 11108	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
30	25, 28, 29	syl2an 594	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
31	30	an4s 658	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
32		mulclsr 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑣) ∈ R)
33		mulclsr 11109	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R)
34		addclsr 11108	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
35	32, 33, 34	syl2anr 595	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
36	35	an42s 659	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
37	31, 36	jca 510	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R))
38		distrsr 11116	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣))
39		distrsr 11116	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))
40	39	oveq2i 7430	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢)))
41		distrsr 11116	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
42	40, 41	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
43	38, 42	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
44		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑧) ∈ V
45		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑣) ∈ V
46		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ V
47		addcomsr 11112	. . . 4 ⊢ (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
48		addasssr 11113	. . . 4 ⊢ ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ))
49		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ V
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	caov4 7652	. . 3 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
51	43, 50	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
52		distrsr 11116	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣))
53		distrsr 11116	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))
54	52, 53	oveq12i 7431	. . 3 ⊢ ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
55		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑧) ∈ V
56		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑣) ∈ V
57		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ V
58		ovex 7452	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ V
59	55, 56, 57, 47, 48, 58	caov4 7652	. . 3 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
60	54, 59	eqtri 2753	. 2 ⊢ ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60	ecovdi 8844	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   E cep 5581  ^◡ccnv 5677  (class class class)co 7419  Rcnr 10890  -1_Rcm1r 10893   +_R cplr 10894   ·_R cmr 10895  ℂcc 11138   + caddc 11143   · cmul 11145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-rq 10942  df-ltnq 10943  df-np 11006  df-1p 11007  df-plp 11008  df-mp 11009  df-ltp 11010  df-enr 11080  df-nr 11081  df-plr 11082  df-mr 11083  df-m1r 11087  df-c 11146  df-add 11151  df-mul 11152

This theorem is referenced by: (None)