Theorem axdistr 10845

Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 10869 be used later. Instead, use adddi 10891. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axdistr	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem axdistr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 10829	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡ E )
2		addcnsrec 10830	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E + [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩]◡ E )
3		mulcnsrec 10831	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))), ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)))⟩]◡ E )
4		mulcnsrec 10831	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑧, 𝑤⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E )
5		mulcnsrec 10831	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩]◡ E · [⟨𝑣, 𝑢⟩]◡ E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩]◡ E )
6		addcnsrec 10830	. 2 ⊢ (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩]◡ E + [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩]◡ E ) = [⟨(((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))), (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))⟩]◡ E )
7		addclsr 10770	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑧 +R 𝑣) ∈ R)
8		addclsr 10770	. . . 4 ⊢ ((𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)
9	7, 8	anim12i 612	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑤 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
10	9	an4s 656	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
11		mulclsr 10771	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
12		m1r 10769	. . . . . 6 ⊢ -1R ∈ R
13		mulclsr 10771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
14		mulclsr 10771	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
15	12, 13, 14	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
16		addclsr 10770	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
17	11, 15, 16	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
18	17	an4s 656	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
19		mulclsr 10771	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
20		mulclsr 10771	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
21		addclsr 10770	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
22	19, 20, 21	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑧 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
23	22	an42s 657	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
24	18, 23	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑧 ∈ R ∧ 𝑤 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
25		mulclsr 10771	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑣) ∈ R)
26		mulclsr 10771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R)
27		mulclsr 10771	. . . . . 6 ⊢ ((-1R ∈ R ∧ (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
28	12, 26, 27	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
29		addclsr 10770	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
30	25, 28, 29	syl2an 595	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
31	30	an4s 656	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
32		mulclsr 10771	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R) → (𝑦 ·R 𝑣) ∈ R)
33		mulclsr 10771	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) → (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R)
34		addclsr 10770	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
35	32, 33, 34	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R) ∧ (𝑦 ∈ R ∧ 𝑣 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
36	35	an42s 657	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
37	31, 36	jca 511	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ R) ∧ (𝑣 ∈ R ∧ 𝑢 ∈ R)) → (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R))
38		distrsr 10778	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣))
39		distrsr 10778	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))
40	39	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢)))
41		distrsr 10778	. . . . 5 ⊢ (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
42	40, 41	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
43	38, 42	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
44		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑧) ∈ V
45		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑣) ∈ V
46		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ V
47		addcomsr 10774	. . . 4 ⊢ (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
48		addasssr 10775	. . . 4 ⊢ ((𝑓 +R 𝑔) +R ℎ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ℎ))
49		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ V
50	44, 45, 46, 47, 48, 49	caov4 7481	. . 3 ⊢ (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
51	43, 50	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
52		distrsr 10778	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣))
53		distrsr 10778	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))
54	52, 53	oveq12i 7267	. . 3 ⊢ ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
55		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑧) ∈ V
56		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑦 ·R 𝑣) ∈ V
57		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ V
58		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ V
59	55, 56, 57, 47, 48, 58	caov4 7481	. . 3 ⊢ (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
60	54, 59	eqtri 2766	. 2 ⊢ ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
61	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60	ecovdi 8572	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   E cep 5485  ^◡ccnv 5579  (class class class)co 7255  Rcnr 10552  -1_Rcm1r 10555   +_R cplr 10556   ·_R cmr 10557  ℂcc 10800   + caddc 10805   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-ec 8458  df-qs 8462  df-ni 10559  df-pli 10560  df-mi 10561  df-lti 10562  df-plpq 10595  df-mpq 10596  df-ltpq 10597  df-enq 10598  df-nq 10599  df-erq 10600  df-plq 10601  df-mq 10602  df-1nq 10603  df-rq 10604  df-ltnq 10605  df-np 10668  df-1p 10669  df-plp 10670  df-mp 10671  df-ltp 10672  df-enr 10742  df-nr 10743  df-plr 10744  df-mr 10745  df-m1r 10749  df-c 10808  df-add 10813  df-mul 10814

This theorem is referenced by: (None)