MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdistr 11183
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 11207 be used later. Instead, use adddi 11229. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 11167 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 addcnsrec 11168 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E + [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩] E )
3 mulcnsrec 11169 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨(𝑧 +R 𝑣), (𝑤 +R 𝑢)⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))), ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)))⟩] E )
4 mulcnsrec 11169 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
5 mulcnsrec 11169 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩] E )
6 addcnsrec 11168 . 2 (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E + [⟨((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))), ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢))⟩] E ) = [⟨(((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))), (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))⟩] E )
7 addclsr 11108 . . . 4 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 +R 𝑣) ∈ R)
8 addclsr 11108 . . . 4 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 +R 𝑢) ∈ R)
97, 8anim12i 611 . . 3 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
109an4s 658 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 +R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑤 +R 𝑢) ∈ R))
11 mulclsr 11109 . . . . 5 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
12 m1r 11107 . . . . . 6 -1RR
13 mulclsr 11109 . . . . . 6 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
14 mulclsr 11109 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
16 addclsr 11108 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1711, 15, 16syl2an 594 . . . 4 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1817an4s 658 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
19 mulclsr 11109 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
20 mulclsr 11109 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
21 addclsr 11108 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
2219, 20, 21syl2anr 595 . . . 4 (((𝑥R𝑤R) ∧ (𝑦R𝑧R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
2322an42s 659 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
2418, 23jca 510 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
25 mulclsr 11109 . . . . 5 ((𝑥R𝑣R) → (𝑥 ·R 𝑣) ∈ R)
26 mulclsr 11109 . . . . . 6 ((𝑦R𝑢R) → (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R)
27 mulclsr 11109 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
2812, 26, 27sylancr 585 . . . . 5 ((𝑦R𝑢R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R)
29 addclsr 11108 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
3025, 28, 29syl2an 594 . . . 4 (((𝑥R𝑣R) ∧ (𝑦R𝑢R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
3130an4s 658 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R)
32 mulclsr 11109 . . . . 5 ((𝑦R𝑣R) → (𝑦 ·R 𝑣) ∈ R)
33 mulclsr 11109 . . . . 5 ((𝑥R𝑢R) → (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R)
34 addclsr 11108 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
3532, 33, 34syl2anr 595 . . . 4 (((𝑥R𝑢R) ∧ (𝑦R𝑣R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
3635an42s 659 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R)
3731, 36jca 510 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)) ∈ R))
38 distrsr 11116 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣))
39 distrsr 11116 . . . . . 6 (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))
4039oveq2i 7430 . . . . 5 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢)))
41 distrsr 11116 . . . . 5 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) +R (𝑦 ·R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
4240, 41eqtri 2753 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))
4338, 42oveq12i 7431 . . 3 ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
44 ovex 7452 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑧) ∈ V
45 ovex 7452 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑣) ∈ V
46 ovex 7452 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ V
47 addcomsr 11112 . . . 4 (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
48 addasssr 11113 . . . 4 ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ))
49 ovex 7452 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)) ∈ V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 7652 . . 3 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑣)) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
5143, 50eqtri 2753 . 2 ((𝑥 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 +R 𝑢)))) = (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) +R ((𝑥 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑢))))
52 distrsr 11116 . . . 4 (𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) = ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣))
53 distrsr 11116 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢)) = ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))
5452, 53oveq12i 7431 . . 3 ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
55 ovex 7452 . . . 4 (𝑦 ·R 𝑧) ∈ V
56 ovex 7452 . . . 4 (𝑦 ·R 𝑣) ∈ V
57 ovex 7452 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑤) ∈ V
58 ovex 7452 . . . 4 (𝑥 ·R 𝑢) ∈ V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 7652 . . 3 (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑦 ·R 𝑣)) +R ((𝑥 ·R 𝑤) +R (𝑥 ·R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
6054, 59eqtri 2753 . 2 ((𝑦 ·R (𝑧 +R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 +R 𝑢))) = (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) +R ((𝑦 ·R 𝑣) +R (𝑥 ·R 𝑢)))
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 8844 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 + 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   E cep 5581  ccnv 5677  (class class class)co 7419  Rcnr 10890  -1Rcm1r 10893   +R cplr 10894   ·R cmr 10895  cc 11138   + caddc 11143   · cmul 11145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-rq 10942  df-ltnq 10943  df-np 11006  df-1p 11007  df-plp 11008  df-mp 11009  df-ltp 11010  df-enr 11080  df-nr 11081  df-plr 11082  df-mr 11083  df-m1r 11087  df-c 11146  df-add 11151  df-mul 11152
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator