MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdistr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdistr 11101
Description: Distributive law for complex numbers (left-distributivity). Axiom 11 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly, nor should the proven axiom ax-distr 11125 be used later. Instead, use adddi 11147. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axdistr ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต + ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem axdistr
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข ๐‘“ ๐‘” โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 11085 . 2 โ„‚ = ((R ร— R) / โ—ก E )
2 addcnsrec 11086 . 2 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ]โ—ก E + [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ(๐‘ง +R ๐‘ฃ), (๐‘ค +R ๐‘ข)โŸฉ]โ—ก E )
3 mulcnsrec 11087 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง ((๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ(๐‘ง +R ๐‘ฃ), (๐‘ค +R ๐‘ข)โŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))), ((๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))โŸฉ]โ—ก E )
4 mulcnsrec 11087 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค))โŸฉ]โ—ก E )
5 mulcnsrec 11087 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ]โ—ก E ยท [โŸจ๐‘ฃ, ๐‘ขโŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))โŸฉ]โ—ก E )
6 addcnsrec 11086 . 2 (((((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R) โˆง (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)) โ†’ ([โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค))โŸฉ]โ—ก E + [โŸจ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))), ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))โŸฉ]โ—ก E ) = [โŸจ(((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))), (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) +R ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))โŸฉ]โ—ก E )
7 addclsr 11026 . . . 4 ((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R)
8 addclsr 11026 . . . 4 ((๐‘ค โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R)
97, 8anim12i 614 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โˆง (๐‘ค โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R))
109an4s 659 . 2 (((๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ง +R ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ค +R ๐‘ข) โˆˆ R))
11 mulclsr 11027 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R)
12 m1r 11025 . . . . . 6 -1R โˆˆ R
13 mulclsr 11027 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R)
14 mulclsr 11027 . . . . . 6 ((-1R โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
1512, 13, 14sylancr 588 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
16 addclsr 11026 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R โˆง (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R)
1711, 15, 16syl2an 597 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R)
1817an4s 659 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R)
19 mulclsr 11027 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R)
20 mulclsr 11027 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R)
21 addclsr 11026 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ R โˆง (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
2219, 20, 21syl2anr 598 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ง โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
2322an42s 660 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R)
2418, 23jca 513 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ง โˆˆ R โˆง ๐‘ค โˆˆ R)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ R))
25 mulclsr 11027 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R)
26 mulclsr 11027 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R)
27 mulclsr 11027 . . . . . 6 ((-1R โˆˆ R โˆง (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
2812, 26, 27sylancr 588 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
29 addclsr 11026 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R)
3025, 28, 29syl2an 597 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R)
3130an4s 659 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R)
32 mulclsr 11027 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R)
33 mulclsr 11027 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โ†’ (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R)
34 addclsr 11026 . . . . 5 (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ R โˆง (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข) โˆˆ R) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
3532, 33, 34syl2anr 598 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R) โˆง (๐‘ฆ โˆˆ R โˆง ๐‘ฃ โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
3635an42s 660 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R)
3731, 36jca 513 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ R โˆง ๐‘ฆ โˆˆ R) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ R โˆง ๐‘ข โˆˆ R)) โ†’ (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) โˆˆ R โˆง ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ R))
38 distrsr 11034 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ))
39 distrsr 11034 . . . . . 6 (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)) = ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))
4039oveq2i 7373 . . . . 5 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = (-1R ยทR ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))
41 distrsr 11034 . . . . 5 (-1R ยทR ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))) = ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))
4240, 41eqtri 2765 . . . 4 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))
4338, 42oveq12i 7374 . . 3 ((๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))) = (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))))
44 ovex 7395 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) โˆˆ V
45 ovex 7395 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ V
46 ovex 7395 . . . 4 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) โˆˆ V
47 addcomsr 11030 . . . 4 (๐‘“ +R ๐‘”) = (๐‘” +R ๐‘“)
48 addasssr 11031 . . . 4 ((๐‘“ +R ๐‘”) +R โ„Ž) = (๐‘“ +R (๐‘” +R โ„Ž))
49 ovex 7395 . . . 4 (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)) โˆˆ V
5044, 45, 46, 47, 48, 49caov4 7590 . . 3 (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข)))) = (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))))
5143, 50eqtri 2765 . 2 ((๐‘ฅ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)))) = (((๐‘ฅ ยทR ๐‘ง) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ค))) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ฃ) +R (-1R ยทR (๐‘ฆ ยทR ๐‘ข))))
52 distrsr 11034 . . . 4 (๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) = ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ))
53 distrsr 11034 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข)) = ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))
5452, 53oveq12i 7374 . . 3 ((๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))
55 ovex 7395 . . . 4 (๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) โˆˆ V
56 ovex 7395 . . . 4 (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) โˆˆ V
57 ovex 7395 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) โˆˆ V
58 ovex 7395 . . . 4 (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข) โˆˆ V
5955, 56, 57, 47, 48, 58caov4 7590 . . 3 (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ)) +R ((๐‘ฅ ยทR ๐‘ค) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) +R ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))
6054, 59eqtri 2765 . 2 ((๐‘ฆ ยทR (๐‘ง +R ๐‘ฃ)) +R (๐‘ฅ ยทR (๐‘ค +R ๐‘ข))) = (((๐‘ฆ ยทR ๐‘ง) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ค)) +R ((๐‘ฆ ยทR ๐‘ฃ) +R (๐‘ฅ ยทR ๐‘ข)))
611, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 24, 37, 51, 60ecovdi 8771 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต + ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   E cep 5541  โ—กccnv 5637  (class class class)co 7362  Rcnr 10808  -1Rcm1r 10811   +R cplr 10812   ยทR cmr 10813  โ„‚cc 11056   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-1p 10925  df-plp 10926  df-mp 10927  df-ltp 10928  df-enr 10998  df-nr 10999  df-plr 11000  df-mr 11001  df-m1r 11005  df-c 11064  df-add 11069  df-mul 11070
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator