Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl11 1248 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β πΎ β HL) |
2 | | simpl12 1249 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β π β π») |
3 | 1, 2 | jca 512 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simpl21 1251 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
5 | | simpl22 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
6 | | simpl13 1250 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β (πΉ β π β§ πΊ β π)) |
7 | | simpr 485 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) |
8 | | simpl31 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) |
9 | | cdlemg12.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdlemg12.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdlemg12.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdlemg12.a |
. . . 4
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdlemg12.h |
. . . 4
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdlemg12.t |
. . . 4
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
15 | | cdlemg12b.r |
. . . 4
β’ π
= ((trLβπΎ)βπ) |
16 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdlemg15a 39521 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ ((π
βπΉ) = (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
17 | 3, 4, 5, 6, 7, 8, 16 | syl312anc 1391 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) = (π
βπΊ)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
18 | | simpl11 1248 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β πΎ β HL) |
19 | | simpl12 1249 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β π β π») |
20 | 18, 19 | jca 512 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
21 | | simpl21 1251 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
22 | | simpl22 1252 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
23 | | simp13l 1288 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β πΉ β π) |
24 | 23 | adantr 481 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β πΉ β π) |
25 | | simp13r 1289 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β πΊ β π) |
26 | 25 | adantr 481 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β πΊ β π) |
27 | | simpl23 1253 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β π β π) |
28 | | simpl32 1255 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π)) |
29 | | simpl33 1256 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) |
30 | 28, 29 | jca 512 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β (Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) |
31 | | simpr 485 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) |
32 | | simpl31 1254 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π)) |
33 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 | cdlemg12 39516 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π β§ π β π) β§ ((Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π)) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ) β§ ((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
34 | 20, 21, 22, 24, 26, 27, 30, 31, 32, 33 | syl333anc 1402 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β§ (π
βπΉ) β (π
βπΊ)) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |
35 | 17, 34 | pm2.61dane 3029 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π» β§ (πΉ β π β§ πΊ β π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π) β§ (((πΉβ(πΊβπ)) β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΉ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π) = ((π β¨ (πΉβ(πΊβπ))) β§ π)) |