Theorem cmpcmet 25361

Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 38284. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)

Assertion

Ref	Expression
cmpcmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		relcmpcmet.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		1rp 12994	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		cmpcmet.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7		metxmet 24374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9	8	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	1	mopntop 24480	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		rpxr 13000	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
14	3, 13	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15		blssm 24458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1389	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
17	1	mopnuni 24481	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	16, 18	sseqtrd 3972	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽)
20		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
21	20	clscld 23087	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
22	11, 19, 21	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23		cmpcld 23442	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
24	6, 22, 23	syl2anc 593	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
25	1, 2, 4, 24	relcmpcmet 25360	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∪ cuni 4864  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1c1 11071  ℝ^*cxr 11212  ℝ⁺crp 12990   ↾_t crest 17432  ∞Metcxmet 21389  Metcmet 21390  ballcbl 21391  MetOpencmopn 21394  Topctop 22933  Clsdccld 23056  clsccl 23058  Compccmp 23426  CMetccmet 25296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ico 13352  df-rest 17434  df-topgen 17455  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-top 22934  df-topon 22951  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-cmp 23427  df-fil 23886  df-flim 23979  df-fcls 23981  df-cfil 25297  df-cmet 25299

This theorem is referenced by: (None)