MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpcmet 25202
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 37202. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
relcmpcmet.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
cmpcmet.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
cmpcmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
2 relcmpcmet.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 1rp 12984 . . 3 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 cmpcmet.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
65adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
7 metxmet 24195 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
82, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
98adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
101mopntop 24301 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
13 rpxr 12989 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
143, 13mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
15 blssm 24279 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
169, 12, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
171mopnuni 24302 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
189, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1916, 18sseqtrd 4017 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† βˆͺ 𝐽)
20 eqid 2726 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120clscld 22906 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2211, 19, 21syl2anc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
23 cmpcld 23261 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp)
246, 22, 23syl2anc 583 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp)
251, 2, 4, 24relcmpcmet 25201 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆͺ cuni 4902  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  β„*cxr 11251  β„+crp 12980   β†Ύt crest 17375  βˆžMetcxmet 21225  Metcmet 21226  ballcbl 21227  MetOpencmopn 21230  Topctop 22750  Clsdccld 22875  clsccl 22877  Compccmp 23245  CMetccmet 25137
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cmp 23246  df-fil 23705  df-flim 23798  df-fcls 23800  df-cfil 25138  df-cmet 25140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator