Theorem cmpcmet 24827

Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 36677. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)

Assertion

Ref	Expression
cmpcmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		relcmpcmet.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		1rp 12974	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		cmpcmet.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7		metxmet 23831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	1	mopntop 23937	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		rpxr 12979	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
14	3, 13	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15		blssm 23915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
17	1	mopnuni 23938	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	16, 18	sseqtrd 4021	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽)
20		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
21	20	clscld 22542	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
22	11, 19, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23		cmpcld 22897	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
24	6, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
25	1, 2, 4, 24	relcmpcmet 24826	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947  ∪ cuni 4907  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107  ℝ^*cxr 11243  ℝ⁺crp 12970   ↾_t crest 17362  ∞Metcxmet 20921  Metcmet 20922  ballcbl 20923  MetOpencmopn 20926  Topctop 22386  Clsdccld 22511  clsccl 22513  Compccmp 22881  CMetccmet 24762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-cmp 22882  df-fil 23341  df-flim 23434  df-fcls 23436  df-cfil 24763  df-cmet 24765

This theorem is referenced by: (None)