Theorem cmpcmet 25553

Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 38579. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)

Assertion

Ref	Expression
cmpcmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		relcmpcmet.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		1rp 13050	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		cmpcmet.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
6	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7		metxmet 24566	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	2, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	1	mopntop 24672	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		rpxr 13056	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
14	3, 13	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15		blssm 24650	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
17	1	mopnuni 24673	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	9, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	16, 18	sseqtrd 3970	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽)
20		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
21	20	clscld 23278	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
22	11, 19, 21	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23		cmpcld 23633	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
24	6, 22, 23	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
25	1, 2, 4, 24	relcmpcmet 25552	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4870  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1c1 11129  ℝ^*cxr 11270  ℝ⁺crp 13046   ↾_t crest 17511  ∞Metcxmet 21576  Metcmet 21577  ballcbl 21578  MetOpencmopn 21581  Topctop 23124  Clsdccld 23247  clsccl 23249  Compccmp 23617  CMetccmet 25488

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ico 13408  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cmp 23618  df-fil 24078  df-flim 24171  df-fcls 24173  df-cfil 25489  df-cmet 25491

This theorem is used by: (None)