MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpcmet 25267
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 37327. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
relcmpcmet.2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
cmpcmet.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
cmpcmet (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
2 relcmpcmet.2 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
3 1rp 13018 . . 3 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ+)
5 cmpcmet.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
65adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Comp)
7 metxmet 24260 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
82, 7syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
98adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
101mopntop 24366 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐽 ∈ Top)
12 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
13 rpxr 13023 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
143, 13mp1i 13 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
15 blssm 24344 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
169, 12, 14, 15syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† 𝑋)
171mopnuni 24367 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
189, 17syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 = βˆͺ 𝐽)
1916, 18sseqtrd 4022 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† βˆͺ 𝐽)
20 eqid 2728 . . . . 5 βˆͺ 𝐽 = βˆͺ 𝐽
2120clscld 22971 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (π‘₯(ballβ€˜π·)1) βŠ† βˆͺ 𝐽) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
2211, 19, 21syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜π½))
23 cmpcld 23326 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1)) ∈ (Clsdβ€˜π½)) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp)
246, 22, 23syl2anc 582 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐽 β†Ύt ((clsβ€˜π½)β€˜(π‘₯(ballβ€˜π·)1))) ∈ Comp)
251, 2, 4, 24relcmpcmet 25266 1 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (CMetβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  βˆͺ cuni 4912  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11147  β„*cxr 11285  β„+crp 13014   β†Ύt crest 17409  βˆžMetcxmet 21271  Metcmet 21272  ballcbl 21273  MetOpencmopn 21276  Topctop 22815  Clsdccld 22940  clsccl 22942  Compccmp 23310  CMetccmet 25202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-rest 17411  df-topgen 17432  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-top 22816  df-topon 22833  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-cmp 23311  df-fil 23770  df-flim 23863  df-fcls 23865  df-cfil 25203  df-cmet 25205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator