Theorem cmpcmet 25354

Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 37829. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relcmpcmet.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)

Assertion

Ref	Expression
cmpcmet	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcmpcmet.1	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2		relcmpcmet.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3		1rp 13039	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5		cmpcmet.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7		metxmet 24345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
10	1	mopntop 24451	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
13		rpxr 13045	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
14	3, 13	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15		blssm 24429	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
16	9, 12, 14, 15	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
17	1	mopnuni 24452	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 = ∪ 𝐽)
19	16, 18	sseqtrd 4019	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽)
20		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
21	20	clscld 23056	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ ∪ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
22	11, 19, 21	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23		cmpcld 23411	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
24	6, 22, 23	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐽 ↾t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
25	1, 2, 4, 24	relcmpcmet 25353	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ∪ cuni 4906  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  1c1 11157  ℝ^*cxr 11295  ℝ⁺crp 13035   ↾_t crest 17466  ∞Metcxmet 21350  Metcmet 21351  ballcbl 21352  MetOpencmopn 21355  Topctop 22900  Clsdccld 23025  clsccl 23027  Compccmp 23395  CMetccmet 25289

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ico 13394  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-cmp 23396  df-fil 23855  df-flim 23948  df-fcls 23950  df-cfil 25290  df-cmet 25292

This theorem is referenced by: (None)