MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cmpcmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cmpcmet 25367
Description: A compact metric space is complete. One half of heibor 37808. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
relcmpcmet.1 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
relcmpcmet.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
cmpcmet.3 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
cmpcmet (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))

Proof of Theorem cmpcmet
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcmpcmet.1 . 2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 relcmpcmet.2 . 2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 1rp 13036 . . 3 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
5 cmpcmet.3 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
65adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Comp)
7 metxmet 24360 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
101mopntop 24466 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐽 ∈ Top)
12 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
13 rpxr 13042 . . . . . . 7 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
143, 13mp1i 13 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
15 blssm 24444 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋 ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
169, 12, 14, 15syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝑋)
171mopnuni 24467 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
189, 17syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋 = 𝐽)
1916, 18sseqtrd 4036 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝐽)
20 eqid 2735 . . . . 5 𝐽 = 𝐽
2120clscld 23071 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑥(ball‘𝐷)1) ⊆ 𝐽) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
2211, 19, 21syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽))
23 cmpcld 23426 . . 3 ((𝐽 ∈ Comp ∧ ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1)) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
246, 22, 23syl2anc 584 . 2 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐽t ((cls‘𝐽)‘(𝑥(ball‘𝐷)1))) ∈ Comp)
251, 2, 4, 24relcmpcmet 25366 1 (𝜑𝐷 ∈ (CMet‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   cuni 4912  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  *cxr 11292  +crp 13032  t crest 17467  ∞Metcxmet 21367  Metcmet 21368  ballcbl 21369  MetOpencmopn 21372  Topctop 22915  Clsdccld 23040  clsccl 23042  Compccmp 23410  CMetccmet 25302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-rest 17469  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-cmp 23411  df-fil 23870  df-flim 23963  df-fcls 23965  df-cfil 25303  df-cmet 25305
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator