MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iimulcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iimulcn 24812
Description: Multiplication is a continuous function on the unit interval. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.) Avoid ax-mulf 11189. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
iimulcn (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦

Proof of Theorem iimulcn
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
21dfii3 24754 . . . . 5 II = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))
31cnfldtopon 24650 . . . . . 6 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
43a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
5 unitsscn 13480 . . . . . 6 (0[,]1) βŠ† β„‚
65a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (0[,]1) βŠ† β„‚)
71mpomulcn 24736 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
87a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ β„‚, 𝑦 ∈ β„‚ ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
92, 4, 6, 2, 4, 6, 8cnmpt2res 23532 . . . 4 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)))
109mptru 1540 . . 3 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
11 iimulcl 24811 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,]1))
1211rgen2 3191 . . . . 5 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,]1)
13 eqid 2726 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) = (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦))
1413fmpo 8050 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,]1) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1))
15 frn 6717 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)):((0[,]1) Γ— (0[,]1))⟢(0[,]1) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) βŠ† (0[,]1))
1614, 15sylbi 216 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]1)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]1)(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ (0[,]1) β†’ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) βŠ† (0[,]1))
1712, 16ax-mp 5 . . . 4 ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) βŠ† (0[,]1)
18 cnrest2 23141 . . . 4 (((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ ran (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) βŠ† (0[,]1) ∧ (0[,]1) βŠ† β„‚) β†’ ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))))
193, 17, 5, 18mp3an 1457 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld)) ↔ (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1))))
2010, 19mpbi 229 . 2 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))
212oveq2i 7415 . 2 ((II Γ—t II) Cn II) = ((II Γ—t II) Cn ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt (0[,]1)))
2220, 21eleqtrri 2826 1 (π‘₯ ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (π‘₯ Β· 𝑦)) ∈ ((II Γ—t II) Cn II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943   Γ— cxp 5667  ran crn 5670  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∈ cmpo 7406  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  [,]cicc 13330   β†Ύt crest 17373  TopOpenctopn 17374  β„‚fldccnfld 21236  TopOnctopon 22763   Cn ccn 23079   Γ—t ctx 23415  IIcii 24746
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-ii 24748
This theorem is referenced by:  pcorevlem  24904
  Copyright terms: Public domain W3C validator