MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iimulcnOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iimulcnOLD 24981
Description: Obsolete version of iimulcn 24980 as of 9-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
iimulcnOLD (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem iimulcnOLD
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
21dfii3 24922 . . . . 5 II = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))
31cnfldtopon 24818 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
43a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
5 unitssre 13535 . . . . . . 7 (0[,]1) ⊆ ℝ
6 ax-resscn 11209 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstri 4004 . . . . . 6 (0[,]1) ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (0[,]1) ⊆ ℂ)
9 ax-mulf 11232 . . . . . . . . 9 · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
10 ffn 6736 . . . . . . . . 9 ( · :(ℂ × ℂ)⟶ℂ → · Fn (ℂ × ℂ))
119, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 · Fn (ℂ × ℂ)
12 fnov 7563 . . . . . . . 8 ( · Fn (ℂ × ℂ) ↔ · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)))
1311, 12mpbi 230 . . . . . . 7 · = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))
141mulcn 24902 . . . . . . 7 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1513, 14eqeltrri 2835 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
1615a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
172, 4, 8, 2, 4, 8, 16cnmpt2res 23700 . . . 4 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
1817mptru 1543 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld))
19 iimulcl 24979 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1))
2019rgen2 3196 . . . . 5 𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1)
21 eqid 2734 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦))
2221fmpo 8091 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1))
23 frn 6743 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)):((0[,]1) × (0[,]1))⟶(0[,]1) → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1))
2422, 23sylbi 217 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ (0[,]1)∀𝑦 ∈ (0[,]1)(𝑥 · 𝑦) ∈ (0[,]1) → ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1))
2520, 24ax-mp 5 . . . 4 ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1)
26 cnrest2 23309 . . . 4 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))))
273, 25, 7, 26mp3an 1460 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1))))
2818, 27mpbi 230 . 2 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
292oveq2i 7441 . 2 ((II ×t II) Cn II) = ((II ×t II) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (0[,]1)))
3028, 29eleqtrri 2837 1 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ ((II ×t II) Cn II)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wral 3058  wss 3962   × cxp 5686  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   · cmul 11157  [,]cicc 13386  t crest 17466  TopOpenctopn 17467  fldccnfld 21381  TopOnctopon 22931   Cn ccn 23247   ×t ctx 23583  IIcii 24914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-ii 24916
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator