Theorem congneg 39000

Description: If two integers are congruent mod 𝐴, so are their negatives. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
congneg	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∥ (-𝐵 − -𝐶))

Proof of Theorem congneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		congsym 38999	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵))
2		zcn 11796	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
3		zcn 11796	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℤ → 𝐶 ∈ ℂ)
4		neg2sub 10745	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2an 587	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
6	5	ad2ant2lr 736	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))) → (-𝐵 − -𝐶) = (𝐶 − 𝐵))
7	1, 6	breqtrrd 4953	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∥ (-𝐵 − -𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℂcc 10331   − cmin 10668  -cneg 10669  ℤcz 11791   ∥ cdvds 15465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-dvds 15466

This theorem is referenced by:  congsub  39001