MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  decle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem decle 12517
Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
decle.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
decle.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
decle.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
decle.4 ๐ต โ‰ค ๐ถ
Assertion
Ref Expression
decle ๐ด๐ต โ‰ค ๐ด๐ถ

Proof of Theorem decle
StepHypRef Expression
1 decle.4 . . 3 ๐ต โ‰ค ๐ถ
2 decle.2 . . . . 5 ๐ต โˆˆ โ„•0
32nn0rei 12290 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„
4 decle.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„•0
54nn0rei 12290 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„
6 10nn0 12501 . . . . . 6 10 โˆˆ โ„•0
7 decle.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„•0
86, 7nn0mulcli 12317 . . . . 5 (10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„•0
98nn0rei 12290 . . . 4 (10 ยท ๐ด) โˆˆ โ„
103, 5, 9leadd2i 11577 . . 3 (๐ต โ‰ค ๐ถ โ†” ((10 ยท ๐ด) + ๐ต) โ‰ค ((10 ยท ๐ด) + ๐ถ))
111, 10mpbi 229 . 2 ((10 ยท ๐ด) + ๐ต) โ‰ค ((10 ยท ๐ด) + ๐ถ)
12 dfdec10 12486 . 2 ๐ด๐ต = ((10 ยท ๐ด) + ๐ต)
13 dfdec10 12486 . 2 ๐ด๐ถ = ((10 ยท ๐ด) + ๐ถ)
1411, 12, 133brtr4i 5111 1 ๐ด๐ต โ‰ค ๐ด๐ถ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5081  (class class class)co 7307  0cc0 10917  1c1 10918   + caddc 10920   ยท cmul 10922   โ‰ค cle 11056  โ„•0cn0 12279  cdc 12483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-ov 7310  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-dec 12484
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator