Theorem decle 12710

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decle.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decle.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decle.4	⊢ 𝐵 ≤ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decle	⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
2		decle.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 12482	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		decle.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	4	nn0rei 12482	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		10nn0 12694	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7		decle.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0mulcli 12509	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
9	8	nn0rei 12482	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℝ
10	3, 5, 9	leadd2i 11769	. . 3 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
11	1, 10	mpbi 229	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
12		dfdec10 12679	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13		dfdec10 12679	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
14	11, 12, 13	3brtr4i 5169	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   ≤ cle 11248  ℕ₀cn0 12471  ;cdc 12676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7405  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-dec 12677

This theorem is referenced by: (None)