MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3decltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3decltc 12117
Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3decltc.a 𝐴 ∈ ℕ0
3decltc.b 𝐵 ∈ ℕ0
3decltc.c 𝐶 ∈ ℕ0
3decltc.d 𝐷 ∈ ℕ0
3decltc.e 𝐸 ∈ ℕ0
3decltc.f 𝐹 ∈ ℕ0
3decltc.3 𝐴 < 𝐵
3decltc.1 𝐶 < 10
3decltc.2 𝐸 < 10
Assertion
Ref Expression
3decltc 𝐴𝐶𝐸 < 𝐵𝐷𝐹

Proof of Theorem 3decltc
StepHypRef Expression
1 3decltc.a . . 3 𝐴 ∈ ℕ0
2 3decltc.c . . 3 𝐶 ∈ ℕ0
31, 2deccl 12099 . 2 𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4 3decltc.b . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
5 3decltc.d . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12099 . 2 𝐵𝐷 ∈ ℕ0
7 3decltc.e . 2 𝐸 ∈ ℕ0
8 3decltc.f . 2 𝐹 ∈ ℕ0
9 3decltc.2 . 2 𝐸 < 10
10 3decltc.1 . . 3 𝐶 < 10
11 3decltc.3 . . 3 𝐴 < 𝐵
121, 4, 2, 5, 10, 11decltc 12113 . 2 𝐴𝐶 < 𝐵𝐷
133, 6, 7, 8, 9, 12decltc 12113 1 𝐴𝐶𝐸 < 𝐵𝐷𝐹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2115   class class class wbr 5047  0cc0 10522  1c1 10523   < clt 10660  0cn0 11883  cdc 12084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085
This theorem is referenced by:  139prm  16446  163prm  16447  317prm  16448  631prm  16449  log2le1  25525  dpmul4  30587  lcmineqlem  39236  257prm  43920  139prmALT  43955  127prm  43958
  Copyright terms: Public domain W3C validator