Theorem 3decltc 12644

Description: Comparing two decimal integers with three "digits" (unequal higher places). (Contributed by AV, 15-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
3decltc.a	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3decltc.b	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3decltc.c	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3decltc.d	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
3decltc.e	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
3decltc.f	⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
3decltc.3	⊢ 𝐴 < 𝐵
3decltc.1	⊢ 𝐶 < ;10
3decltc.2	⊢ 𝐸 < ;10

Assertion

Ref	Expression
3decltc	⊢ ;;𝐴𝐶𝐸 < ;;𝐵𝐷𝐹

Proof of Theorem 3decltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3decltc.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		3decltc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
3	1, 2	deccl 12626	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 ∈ ℕ0
4		3decltc.b	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5		3decltc.d	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
6	4, 5	deccl 12626	. 2 ⊢ ;𝐵𝐷 ∈ ℕ0
7		3decltc.e	. 2 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
8		3decltc.f	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ ℕ0
9		3decltc.2	. 2 ⊢ 𝐸 < ;10
10		3decltc.1	. . 3 ⊢ 𝐶 < ;10
11		3decltc.3	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
12	1, 4, 2, 5, 10, 11	decltc 12640	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 < ;𝐵𝐷
13	3, 6, 7, 8, 9, 12	decltc 12640	1 ⊢ ;;𝐴𝐶𝐸 < ;;𝐵𝐷𝐹

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170  ℕ₀cn0 12405  ;cdc 12611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612

This theorem is referenced by:  139prm  17055  163prm  17056  317prm  17057  631prm  17058  log2le1  26920  dpmul4  32976  lcmineqlem  42343  257prm  47843  139prmALT  47878  127prm  47881