Theorem div12 11945

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
div12	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem div12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3		mulcom 11244	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
4	2, 3	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
5	4	3impb 1112	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
6		div13 11944	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
7	6	3comr 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
8		divcl 11929	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
9	8	3expb 1117	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulcom 11244	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
11	9, 10	stoic3 1771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
12	11	3com23 1123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
13	5, 7, 12	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  0cc0 11158   · cmul 11163   / cdiv 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922

This theorem is referenced by:  div2neg  11988  div12d  12077  bpoly3  16060  efival  16154  cos01bnd  16188  cos01gt0  16193  sincosq4sgn  26529  bclbnd  27309  bposlem9  27321  dchrvmasum2lem  27525  dchrvmasumiflem1  27530  selbergr  27597  pntpbnd1a  27614  pntibndlem2  27620  dignn0flhalflem1  48003