Theorem div12 11822

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
div12	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem div12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl 11806	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3		mulcom 11116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
4	2, 3	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
5	4	3impb 1115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
6		div13 11821	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
7	6	3comr 1126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
8		divcl 11806	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
9	8	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulcom 11116	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
11	9, 10	stoic3 1778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
12	11	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
13	5, 7, 12	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030   · cmul 11035   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  div2neg  11868  div12d  11957  bpoly3  15985  efival  16081  cos01bnd  16115  cos01gt0  16120  sincosq4sgn  26470  bclbnd  27251  bposlem9  27263  dchrvmasum2lem  27467  dchrvmasumiflem1  27472  selbergr  27539  pntpbnd1a  27556  pntibndlem2  27562  dignn0flhalflem1  48897