Theorem div12 11900

Description: A commutative/associative law for division. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
div12	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Proof of Theorem div12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcl 11884	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
2	1	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ)
3		mulcom 11200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
4	2, 3	sylan2 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
5	4	3impb 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴))
6		div13 11899	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
7	6	3comr 1123	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐵 / 𝐶) · 𝐴) = ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵))
8		divcl 11884	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
9	8	3expb 1118	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulcom 11200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 / 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
11	9, 10	stoic3 1776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
12	11	3com23 1124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐴 / 𝐶) · 𝐵) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))
13	5, 7, 12	3eqtrd 2774	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝐴 · (𝐵 / 𝐶)) = (𝐵 · (𝐴 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  0cc0 11114   · cmul 11119   / cdiv 11877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878

This theorem is referenced by:  div2neg  11943  div12d  12032  bpoly3  16008  efival  16101  cos01bnd  16135  cos01gt0  16140  sincosq4sgn  26245  bclbnd  27017  bposlem9  27029  dchrvmasum2lem  27233  dchrvmasumiflem1  27238  selbergr  27305  pntpbnd1a  27322  pntibndlem2  27328  dignn0flhalflem1  47390