HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjcl 29690
Description: Closure of the adjoint of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 17-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
adjcl ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem adjcl
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 29653 . . 3 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
2 dmadjop 29646 . . 3 ((adj𝑇) ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
31, 2syl 17 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
43ffvelrnda 6823 1 ((𝑇 ∈ dom adj𝐴 ∈ ℋ) → ((adj𝑇)‘𝐴) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2114  dom cdm 5527  wf 6323  cfv 6327  chba 28677  adjcado 28713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588  ax-hilex 28757  ax-hfvadd 28758  ax-hvcom 28759  ax-hvass 28760  ax-hv0cl 28761  ax-hvaddid 28762  ax-hfvmul 28763  ax-hvmulid 28764  ax-hvdistr2 28767  ax-hvmul0 28768  ax-hfi 28837  ax-his1 28840  ax-his2 28841  ax-his3 28842  ax-his4 28843
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-er 8263  df-map 8382  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-div 11272  df-2 11675  df-cj 14434  df-re 14435  df-im 14436  df-hvsub 28729  df-adjh 29607
This theorem is referenced by:  adj2  29692  adjvalval  29695  adjlnop  29844  adjmul  29850  adjadd  29851
  Copyright terms: Public domain W3C validator