Theorem hmopadj2 32028

Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopadj2	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem hmopadj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopadj 32026	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (adjℎ‘𝑇) = 𝑇)
2		dmadjop 31975	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4		adj1 32020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
5	4	3expb 1121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	adantlr 716	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		fveq1 6841	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → ((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
8	7	oveq1d 7383	. . . . . . 7 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	8	ad2antlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
10	6, 9	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
11	10	ralrimivva 3181	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12		elhmop 31960	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
13	3, 11, 12	sylanbrc 584	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ HrmOp)
14	13	ex 412	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → 𝑇 ∈ HrmOp))
15	1, 14	impbid2 226	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ℋchba 31006   ·_ih csp 31009  HrmOpcho 31037  adj_ℎcado 31042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-hvsub 31058  df-hmop 31931  df-adjh 31936

This theorem is referenced by: (None)