Theorem hmopadj2 30303

Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopadj2	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem hmopadj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopadj 30301	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (adjℎ‘𝑇) = 𝑇)
2		dmadjop 30250	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	2	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4		adj1 30295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
5	4	3expb 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	adantlr 712	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		fveq1 6773	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → ((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
8	7	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	8	ad2antlr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
10	6, 9	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
11	10	ralrimivva 3123	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12		elhmop 30235	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
13	3, 11, 12	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ HrmOp)
14	13	ex 413	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → 𝑇 ∈ HrmOp))
15	1, 14	impbid2 225	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ℋchba 29281   ·_ih csp 29284  HrmOpcho 29312  adj_ℎcado 29317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvcom 29363  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372  ax-hfi 29441  ax-his1 29444  ax-his2 29445  ax-his3 29446  ax-his4 29447

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-2 12036  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-hvsub 29333  df-hmop 30206  df-adjh 30211

This theorem is referenced by: (None)