Theorem hmopadj2 31870

Description: An operator is Hermitian iff it is self-adjoint. Definition of Hermitian in [Halmos] p. 41. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hmopadj2	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇))

Proof of Theorem hmopadj2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hmopadj 31868	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp → (adjℎ‘𝑇) = 𝑇)
2		dmadjop 31817	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
4		adj1 31862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
5	4	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
6	5	adantlr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦))
7		fveq1 6857	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → ((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘𝑥))
8	7	oveq1d 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
9	8	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (((adjℎ‘𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
10	6, 9	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ)) → (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
11	10	ralrimivva 3180	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦))
12		elhmop 31802	. . . 4 ⊢ (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih (𝑇‘𝑦)) = ((𝑇‘𝑥) ·ih 𝑦)))
13	3, 11, 12	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇) → 𝑇 ∈ HrmOp)
14	13	ex 412	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) = 𝑇 → 𝑇 ∈ HrmOp))
15	1, 14	impbid2 226	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (𝑇 ∈ HrmOp ↔ (adjℎ‘𝑇) = 𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  dom cdm 5638  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ℋchba 30848   ·_ih csp 30851  HrmOpcho 30879  adj_ℎcado 30884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-hvsub 30900  df-hmop 31773  df-adjh 31778

This theorem is referenced by: (None)