Theorem dmadjrnb 32565

Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6948.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjrnb	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem dmadjrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 32554	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
2		ax-hv0cl 31662	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	2	n0ii 4292	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℋ = ∅
4		eqcom 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
5	3, 4	mtbir 326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℋ
6		dm0 5914	. . . . . . . 8 ⊢ dom ∅ = ∅
7	6	eqeq1i 2768	. . . . . . 7 ⊢ (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
8	5, 7	mtbir 326	. . . . . 6 ⊢ ¬ dom ∅ = ℋ
9		fdm 6749	. . . . . 6 ⊢ (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
10	8, 9	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11		dmadjop 32547	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ dom adjℎ → ∅: ℋ⟶ ℋ)
12	10, 11	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ dom adjℎ
13		ndmfv 6948	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
14	13	eleq1d 2849	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ↔ ∅ ∈ dom adjℎ))
15	12, 14	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ¬ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
16	15	con4i 115	. 2 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
17	1, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∅c0 4281  dom cdm 5658  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566   ℋchba 31578  0_ℎc0v 31583  adj_ℎcado 31614

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-hilex 31658  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-hvsub 31630  df-adjh 32508

This theorem is used by:  adjbdlnb  32743  adjeq0  32750