HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  dmadjrnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dmadjrnb 29687
Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6682.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
dmadjrnb (𝑇 ∈ dom adj ↔ (adj𝑇) ∈ dom adj)

Proof of Theorem dmadjrnb
StepHypRef Expression
1 dmadjrn 29676 . 2 (𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) ∈ dom adj)
2 ax-hv0cl 28784 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
32n0ii 4274 . . . . . . . 8 ¬ ℋ = ∅
4 eqcom 2829 . . . . . . . 8 (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
53, 4mtbir 326 . . . . . . 7 ¬ ∅ = ℋ
6 dm0 5767 . . . . . . . 8 dom ∅ = ∅
76eqeq1i 2827 . . . . . . 7 (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
85, 7mtbir 326 . . . . . 6 ¬ dom ∅ = ℋ
9 fdm 6502 . . . . . 6 (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
108, 9mto 200 . . . . 5 ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11 dmadjop 29669 . . . . 5 (∅ ∈ dom adj → ∅: ℋ⟶ ℋ)
1210, 11mto 200 . . . 4 ¬ ∅ ∈ dom adj
13 ndmfv 6682 . . . . 5 𝑇 ∈ dom adj → (adj𝑇) = ∅)
1413eleq1d 2898 . . . 4 𝑇 ∈ dom adj → ((adj𝑇) ∈ dom adj ↔ ∅ ∈ dom adj))
1512, 14mtbiri 330 . . 3 𝑇 ∈ dom adj → ¬ (adj𝑇) ∈ dom adj)
1615con4i 114 . 2 ((adj𝑇) ∈ dom adj𝑇 ∈ dom adj)
171, 16impbii 212 1 (𝑇 ∈ dom adj ↔ (adj𝑇) ∈ dom adj)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 209   = wceq 1538  wcel 2114  c0 4265  dom cdm 5532  wf 6330  cfv 6334  chba 28700  0c0v 28705  adjcado 28736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-hilex 28780  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-2 11688  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-hvsub 28752  df-adjh 29630
This theorem is referenced by:  adjbdlnb  29865  adjeq0  29872
  Copyright terms: Public domain W3C validator