Theorem dmadjrnb 29341

Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6478.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjrnb	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem dmadjrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 29330	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
2		ax-hv0cl 28436	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	2	n0ii 4151	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℋ = ∅
4		eqcom 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
5	3, 4	mtbir 315	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℋ
6		dm0 5586	. . . . . . . 8 ⊢ dom ∅ = ∅
7	6	eqeq1i 2783	. . . . . . 7 ⊢ (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
8	5, 7	mtbir 315	. . . . . 6 ⊢ ¬ dom ∅ = ℋ
9		fdm 6301	. . . . . 6 ⊢ (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
10	8, 9	mto 189	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11		dmadjop 29323	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ dom adjℎ → ∅: ℋ⟶ ℋ)
12	10, 11	mto 189	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ dom adjℎ
13		ndmfv 6478	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
14	13	eleq1d 2844	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ↔ ∅ ∈ dom adjℎ))
15	12, 14	mtbiri 319	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ¬ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
16	15	con4i 114	. 2 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
17	1, 16	impbii 201	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 198   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∅c0 4141  dom cdm 5357  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137   ℋchba 28352  0_ℎc0v 28357  adj_ℎcado 28388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-hilex 28432  ax-hfvadd 28433  ax-hvcom 28434  ax-hvass 28435  ax-hv0cl 28436  ax-hvaddid 28437  ax-hfvmul 28438  ax-hvmulid 28439  ax-hvdistr2 28442  ax-hvmul0 28443  ax-hfi 28512  ax-his1 28515  ax-his2 28516  ax-his3 28517  ax-his4 28518

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-2 11442  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-hvsub 28404  df-adjh 29284

This theorem is referenced by:  adjbdlnb  29519  adjeq0  29526