Theorem dmadjrnb 32199

Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6914.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjrnb	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem dmadjrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 32188	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
2		ax-hv0cl 31296	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	2	n0ii 4304	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℋ = ∅
4		eqcom 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
5	3, 4	mtbir 326	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℋ
6		dm0 5911	. . . . . . . 8 ⊢ dom ∅ = ∅
7	6	eqeq1i 2774	. . . . . . 7 ⊢ (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
8	5, 7	mtbir 326	. . . . . 6 ⊢ ¬ dom ∅ = ℋ
9		fdm 6716	. . . . . 6 ⊢ (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
10	8, 9	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11		dmadjop 32181	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ dom adjℎ → ∅: ℋ⟶ ℋ)
12	10, 11	mto 200	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ dom adjℎ
13		ndmfv 6914	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
14	13	eleq1d 2854	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ↔ ∅ ∈ dom adjℎ))
15	12, 14	mtbiri 330	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ¬ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
16	15	con4i 115	. 2 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
17	1, 16	impbii 212	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  dom cdm 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537   ℋchba 31212  0_ℎc0v 31217  adj_ℎcado 31248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-hilex 31292  ax-hfvadd 31293  ax-hvcom 31294  ax-hvass 31295  ax-hv0cl 31296  ax-hvaddid 31297  ax-hfvmul 31298  ax-hvmulid 31299  ax-hvdistr2 31302  ax-hvmul0 31303  ax-hfi 31372  ax-his1 31375  ax-his2 31376  ax-his3 31377  ax-his4 31378

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-hvsub 31264  df-adjh 32142

This theorem is referenced by:  adjbdlnb  32377  adjeq0  32384