Theorem dmadjrnb 31995

Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6859.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjrnb	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem dmadjrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 31984	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
2		ax-hv0cl 31092	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	2	n0ii 4271	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℋ = ∅
4		eqcom 2746	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
5	3, 4	mtbir 324	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℋ
6		dm0 5862	. . . . . . . 8 ⊢ dom ∅ = ∅
7	6	eqeq1i 2744	. . . . . . 7 ⊢ (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
8	5, 7	mtbir 324	. . . . . 6 ⊢ ¬ dom ∅ = ℋ
9		fdm 6664	. . . . . 6 ⊢ (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
10	8, 9	mto 198	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11		dmadjop 31977	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ dom adjℎ → ∅: ℋ⟶ ℋ)
12	10, 11	mto 198	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ dom adjℎ
13		ndmfv 6859	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
14	13	eleq1d 2824	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ↔ ∅ ∈ dom adjℎ))
15	12, 14	mtbiri 328	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ¬ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
16	15	con4i 114	. 2 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
17	1, 16	impbii 210	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∅c0 4261  dom cdm 5618  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485   ℋchba 31008  0_ℎc0v 31013  adj_ℎcado 31044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-hilex 31088  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-hvsub 31060  df-adjh 31938

This theorem is referenced by:  adjbdlnb  32173  adjeq0  32180