Theorem dmadjrnb 31886

Description: The adjoint of an operator belongs to the adjoint function's domain. (Note: the converse is dependent on our definition of function value, since it uses ndmfv 6854.) (Contributed by NM, 19-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
dmadjrnb	⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Proof of Theorem dmadjrnb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrn 31875	. 2 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
2		ax-hv0cl 30983	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
3	2	n0ii 4290	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ ℋ = ∅
4		eqcom 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = ℋ ↔ ℋ = ∅)
5	3, 4	mtbir 323	. . . . . . 7 ⊢ ¬ ∅ = ℋ
6		dm0 5859	. . . . . . . 8 ⊢ dom ∅ = ∅
7	6	eqeq1i 2736	. . . . . . 7 ⊢ (dom ∅ = ℋ ↔ ∅ = ℋ)
8	5, 7	mtbir 323	. . . . . 6 ⊢ ¬ dom ∅ = ℋ
9		fdm 6660	. . . . . 6 ⊢ (∅: ℋ⟶ ℋ → dom ∅ = ℋ)
10	8, 9	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ ∅: ℋ⟶ ℋ
11		dmadjop 31868	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ dom adjℎ → ∅: ℋ⟶ ℋ)
12	10, 11	mto 197	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ dom adjℎ
13		ndmfv 6854	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → (adjℎ‘𝑇) = ∅)
14	13	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ ↔ ∅ ∈ dom adjℎ))
15	12, 14	mtbiri 327	. . 3 ⊢ (¬ 𝑇 ∈ dom adjℎ → ¬ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)
16	15	con4i 114	. 2 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
17	1, 16	impbii 209	1 ⊢ (𝑇 ∈ dom adjℎ ↔ (adjℎ‘𝑇) ∈ dom adjℎ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∅c0 4280  dom cdm 5614  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481   ℋchba 30899  0_ℎc0v 30904  adj_ℎcado 30935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-hvsub 30951  df-adjh 31829

This theorem is referenced by:  adjbdlnb  32064  adjeq0  32071