MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsnat 20758
Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 30865 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnat.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsnat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnat (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ π‘ˆ = { 0 }))
Proof of Theorem lspsnat
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4347 . . . . . 6 ((π‘ˆ βˆ– { 0 }) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
2 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3 lspsnat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspsnat.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20717 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
109eldifad 3961 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
113, 4, 7, 8, 10lspsnel5a 20607 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
12 0ss 4397 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… βŠ† 𝑉
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ βˆ… βŠ† 𝑉)
14 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 ssdif 4140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
1615ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
1716, 9sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
18 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… βˆͺ {𝑋}) = ({𝑋} βˆͺ βˆ…)
19 un0 4391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑋} βˆͺ βˆ…) = {𝑋}
2018, 19eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ… βˆͺ {𝑋}) = {𝑋}
2120fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋})
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
23 lspsnat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2423, 4lsp0 20620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
2622, 25difeq12d 4124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)) = ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
2717, 26eleqtrrd 2837 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))
28 lspsnat.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2928, 3, 4lspsolv 20756 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (βˆ… βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
305, 13, 14, 27, 29syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
31 uncom 4154 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = ({π‘₯} βˆͺ βˆ…)
32 un0 4391 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βˆͺ βˆ…) = {π‘₯}
3331, 32eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = {π‘₯}
3433fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})) = (π‘β€˜{π‘₯})
3530, 34eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯}))
3611, 35sseldd 3984 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
373, 4, 7, 8, 36lspsnel5a 20607 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
382, 37eqssd 4000 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}))
3938expr 458 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋})))
4039exlimdv 1937 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋})))
411, 40biimtrid 241 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((π‘ˆ βˆ– { 0 }) β‰  βˆ… β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋})))
4241necon1bd 2959 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (Β¬ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) = βˆ…))
43 ssdif0 4364 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† { 0 } ↔ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4442, 43imbitrrdi 251 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (Β¬ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) β†’ π‘ˆ βŠ† { 0 }))
45 simpl1 1192 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4645, 6syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
47 simpl2 1193 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4823, 3lssle0 20560 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† { 0 } ↔ π‘ˆ = { 0 }))
4946, 47, 48syl2anc 585 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘ˆ βŠ† { 0 } ↔ π‘ˆ = { 0 }))
5044, 49sylibd 238 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (Β¬ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) β†’ π‘ˆ = { 0 }))
5150orrd 862 1 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ π‘ˆ = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  0gc0g 17385  LModclmod 20471  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  lspsncv0  20759  lsatcmp  37921  dihlspsnssN  40251  dihlspsnat  40252
  Copyright terms: Public domain W3C validator