Theorem lspsnat 21135

Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 31667 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnat	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4294	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2		simprl 771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3		lspsnat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnat.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		simpl1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simpl2 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
11	3, 4, 7, 8, 10	ellspsn5 20982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12		0ss 4341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		ssdif 4085	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
17	16, 9	sseldd 3923	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18		uncom 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19		un0 4335	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
20	18, 19	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
21	20	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23		lspsnat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
24	23, 4	lsp0 20995	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
26	22, 25	difeq12d 4068	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
27	17, 26	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28		lspsnat.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
29	28, 3, 4	lspsolv 21133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
30	5, 13, 14, 27, 29	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31		uncom 4099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32		un0 4335	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
33	31, 32	eqtri 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
34	33	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
35	30, 34	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
36	11, 35	sseldd 3923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
37	3, 4, 7, 8, 36	ellspsn5 20982	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
38	2, 37	eqssd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
39	38	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
40	39	exlimdv 1935	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
41	1, 40	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
42	41	necon1bd 2951	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43		ssdif0 4307	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
44	42, 43	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
46	45, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
48	23, 3	lssle0 20936	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
49	46, 47, 48	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
50	44, 49	sylibd 239	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
51	50	orrd 864	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  LModclmod 20846  LSubSpclss 20917  LSpanclspn 20957  LVecclvec 21089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lvec 21090

This theorem is referenced by:  lspsncv0  21136  lsatcmp  39463  dihlspsnssN  41792  dihlspsnat  41793