Theorem lspsnat 21195

Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 31730 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnat	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4305	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2		simprl 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3		lspsnat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnat.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		simpl1 1204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simpl2 1205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simprr 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
11	3, 4, 7, 8, 10	ellspsn5 21043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12		0ss 4353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14		simpl3 1206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		ssdif 4097	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
17	16, 9	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18		uncom 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19		un0 4347	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
20	18, 19	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
21	20	fveq2i 6866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23		lspsnat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
24	23, 4	lsp0 21056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
26	22, 25	difeq12d 4081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
27	17, 26	eleqtrrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28		lspsnat.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
29	28, 3, 4	lspsolv 21193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
30	5, 13, 14, 27, 29	syl13anc 1390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31		uncom 4111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32		un0 4347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
33	31, 32	eqtri 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
34	33	fveq2i 6866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
35	30, 34	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
36	11, 35	sseldd 3937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
37	3, 4, 7, 8, 36	ellspsn5 21043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
38	2, 37	eqssd 3953	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
39	38	expr 460	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
40	39	exlimdv 1952	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
41	1, 40	biimtrid 244	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
42	41	necon1bd 2974	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43		ssdif0 4318	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
44	42, 43	imbitrrdi 254	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45		simpl1 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
46	45, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47		simpl2 1205	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
48	23, 3	lssle0 20997	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
49	46, 47, 48	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
50	44, 49	sylibd 241	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
51	50	orrd 874	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   = wceq 1559  ∃wex 1798   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3901   ∪ cun 3902   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4581  ‘cfv 6517  Basecbs 17228  0_gc0g 17451  LModclmod 20907  LSubSpclss 20978  LSpanclspn 21018  LVecclvec 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-drng 20760  df-lmod 20909  df-lss 20979  df-lsp 21019  df-lvec 21150

This theorem is referenced by:  lspsncv0  21196  lsatcmp  39591  dihlspsnssN  41920  dihlspsnat  41921