MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lspsnat 20903
Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 31089 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnat.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnat.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lspsnat.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
lspsnat.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnat (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ π‘ˆ = { 0 }))
Proof of Theorem lspsnat
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 4346 . . . . . 6 ((π‘ˆ βˆ– { 0 }) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
2 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
3 lspsnat.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
4 lspsnat.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
5 simpl1 1191 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
6 lveclmod 20861 . . . . . . . . . . 11 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
9 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))
109eldifad 3960 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
113, 4, 7, 8, 10lspsnel5a 20751 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) βŠ† π‘ˆ)
12 0ss 4396 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… βŠ† 𝑉
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ βˆ… βŠ† 𝑉)
14 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 ssdif 4139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
1615ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
1716, 9sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
18 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ… βˆͺ {𝑋}) = ({𝑋} βˆͺ βˆ…)
19 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑋} βˆͺ βˆ…) = {𝑋}
2018, 19eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ… βˆͺ {𝑋}) = {𝑋}
2120fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋})
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) = (π‘β€˜{𝑋}))
23 lspsnat.z . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2423, 4lsp0 20764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜βˆ…) = { 0 })
2622, 25difeq12d 4123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)) = ((π‘β€˜{𝑋}) βˆ– { 0 }))
2717, 26eleqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))
28 lspsnat.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2928, 3, 4lspsolv 20901 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (βˆ… βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {𝑋})) βˆ– (π‘β€˜βˆ…)))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
305, 13, 14, 27, 29syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})))
31 uncom 4153 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = ({π‘₯} βˆͺ βˆ…)
32 un0 4390 . . . . . . . . . . . . . 14 ({π‘₯} βˆͺ βˆ…) = {π‘₯}
3331, 32eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ… βˆͺ {π‘₯}) = {π‘₯}
3433fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . 12 (π‘β€˜(βˆ… βˆͺ {π‘₯})) = (π‘β€˜{π‘₯})
3530, 34eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘₯}))
3611, 35sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
373, 4, 7, 8, 36lspsnel5a 20751 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
382, 37eqssd 3999 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋}) ∧ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }))) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}))
3938expr 457 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋})))
4039exlimdv 1936 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋})))
411, 40biimtrid 241 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ ((π‘ˆ βˆ– { 0 }) β‰  βˆ… β†’ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋})))
4241necon1bd 2958 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (Β¬ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) = βˆ…))
43 ssdif0 4363 . . . 4 (π‘ˆ βŠ† { 0 } ↔ (π‘ˆ βˆ– { 0 }) = βˆ…)
4442, 43imbitrrdi 251 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (Β¬ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) β†’ π‘ˆ βŠ† { 0 }))
45 simpl1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
4645, 6syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘Š ∈ LMod)
47 simpl2 1192 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
4823, 3lssle0 20704 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† { 0 } ↔ π‘ˆ = { 0 }))
4946, 47, 48syl2anc 584 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘ˆ βŠ† { 0 } ↔ π‘ˆ = { 0 }))
5044, 49sylibd 238 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (Β¬ π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) β†’ π‘ˆ = { 0 }))
5150orrd 861 1 (((π‘Š ∈ LVec ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ π‘ˆ βŠ† (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘ˆ = (π‘β€˜{𝑋}) ∨ π‘ˆ = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  0gc0g 17389  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726  LVecclvec 20857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858
This theorem is referenced by:  lspsncv0  20904  lsatcmp  38176  dihlspsnssN  40506  dihlspsnat  40507
  Copyright terms: Public domain W3C validator