Theorem lspsnat 21250

Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 31911 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnat	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2		simprl 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3		lspsnat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnat.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		simpl1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simprr 784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
11	3, 4, 7, 8, 10	ellspsn5 21098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12		0ss 4358	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		ssdif 4099	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrl 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
17	16, 9	sseldd 3939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18		uncom 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19		un0 4352	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
20	18, 19	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
21	20	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23		lspsnat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
24	23, 4	lsp0 21111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
25	7, 24	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
26	22, 25	difeq12d 4083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
27	17, 26	eleqtrrd 2866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28		lspsnat.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
29	28, 3, 4	lspsolv 21248	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
30	5, 13, 14, 27, 29	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31		uncom 4113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32		un0 4352	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
33	31, 32	eqtri 2786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
34	33	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
35	30, 34	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
36	11, 35	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
37	3, 4, 7, 8, 36	ellspsn5 21098	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
38	2, 37	eqssd 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
39	38	expr 461	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
40	39	exlimdv 1963	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
41	1, 40	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
42	41	necon1bd 2976	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43		ssdif0 4322	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
44	42, 43	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
46	45, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
48	23, 3	lssle0 21052	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
49	46, 47, 48	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
50	44, 49	sylibd 242	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
51	50	orrd 876	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  {csn 4590  ‘cfv 6538  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033  LSpanclspn 21073  LVecclvec 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205

This theorem is referenced by:  lspsncv0  21251  lsatcmp  39755  dihlspsnssN  42084  dihlspsnat  42085