Theorem lspsnat 21170

Description: There is no subspace strictly between the zero subspace and the span of a vector (i.e. a 1-dimensional subspace is an atom). (h1datomi 31613 analog.) (Contributed by NM, 20-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnat.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnat.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lspsnat.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsnat.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnat	⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Proof of Theorem lspsnat

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 4376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
2		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
3		lspsnat.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
4		lspsnat.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
5		simpl1 1191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LVec)
6		lveclmod 21128	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simpl2 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 ∈ 𝑆)
9		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
11	3, 4, 7, 8, 10	ellspsn5 21017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ 𝑈)
12		0ss 4423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∅ ⊆ 𝑉
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ∅ ⊆ 𝑉)
14		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		ssdif 4167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
16	15	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑈 ∖ { 0 }) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
17	16, 9	sseldd 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
18		uncom 4181	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = ({𝑋} ∪ ∅)
19		un0 4417	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({𝑋} ∪ ∅) = {𝑋}
20	18, 19	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∅ ∪ {𝑋}) = {𝑋}
21	20	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋})
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) = (𝑁‘{𝑋}))
23		lspsnat.z	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
24	23, 4	lsp0 21030	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘∅) = { 0 })
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘∅) = { 0 })
26	22, 25	difeq12d 4150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)) = ((𝑁‘{𝑋}) ∖ { 0 }))
27	17, 26	eleqtrrd 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))
28		lspsnat.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
29	28, 3, 4	lspsolv 21168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (∅ ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑁‘(∅ ∪ {𝑋})) ∖ (𝑁‘∅)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
30	5, 13, 14, 27, 29	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})))
31		uncom 4181	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = ({𝑥} ∪ ∅)
32		un0 4417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({𝑥} ∪ ∅) = {𝑥}
33	31, 32	eqtri 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∪ {𝑥}) = {𝑥}
34	33	fveq2i 6923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁‘(∅ ∪ {𝑥})) = (𝑁‘{𝑥})
35	30, 34	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑥}))
36	11, 35	sseldd 4009	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑋 ∈ 𝑈)
37	3, 4, 7, 8, 36	ellspsn5 21017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
38	2, 37	eqssd 4026	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ (𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }))) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}))
39	38	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
40	39	exlimdv 1932	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑈 ∖ { 0 }) → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
41	1, 40	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑈 ∖ { 0 }) ≠ ∅ → 𝑈 = (𝑁‘{𝑋})))
42	41	necon1bd 2964	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅))
43		ssdif0 4389	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ (𝑈 ∖ { 0 }) = ∅)
44	42, 43	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 ⊆ { 0 }))
45		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
46	45, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LMod)
47		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑈 ∈ 𝑆)
48	23, 3	lssle0 20971	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
49	46, 47, 48	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 ⊆ { 0 } ↔ 𝑈 = { 0 }))
50	44, 49	sylibd 239	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) → 𝑈 = { 0 }))
51	50	orrd 862	1 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑈 ∈ 𝑆 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑈 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑈 = { 0 }))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973   ∪ cun 3974   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  {csn 4648  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125

This theorem is referenced by:  lspsncv0  21171  lsatcmp  38959  dihlspsnssN  41289  dihlspsnat  41290