Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem25 38739
 Description: Lemma for lcfr 38757. Special case of lcfrlem35 38749 when ((𝐽‘𝑌)‘𝐼) is zero. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p + = (+g𝑈)
lcfrlem17.z 0 = (0g𝑈)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcfrlem17.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem22.b 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
lcfrlem24.t · = ( ·𝑠𝑈)
lcfrlem24.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem24.q 𝑄 = (0g𝑆)
lcfrlem24.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lcfrlem24.j 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
lcfrlem24.ib (𝜑𝐼𝐵)
lcfrlem24.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfrlem25.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem25.jz (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) = 𝑄)
lcfrlem25.in (𝜑𝐼0 )
Assertion
Ref Expression
lcfrlem25 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿‘(𝐽𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝑘,𝑤,𝑥,   + ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑅,𝑘,𝑣,𝑥   𝑆,𝑘   · ,𝑘,𝑣,𝑤,𝑥   𝑣,𝑉,𝑥   𝑘,𝑋,𝑣,𝑤,𝑥   𝑘,𝑌,𝑣,𝑤,𝑥   𝑥, 0
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐴(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐵(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐷(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑄(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑥,𝑤,𝑣)   𝑈(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐻(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐼(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐽(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑁(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   𝑉(𝑤,𝑘)   𝑊(𝑥,𝑤,𝑣,𝑘)   0 (𝑤,𝑣,𝑘)

Proof of Theorem lcfrlem25
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcfrlem17.o . . . 4 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
3 lcfrlem17.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 lcfrlem17.p . . . 4 + = (+g𝑈)
6 lcfrlem17.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
7 lcfrlem17.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
8 lcfrlem17.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
9 lcfrlem17.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 lcfrlem17.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11 lcfrlem17.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
12 lcfrlem17.ne . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
13 lcfrlem22.b . . . 4 𝐵 = ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
14 eqid 2820 . . . 4 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14lcfrlem23 38737 . . 3 (𝜑 → (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) = ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
16 lcfrlem24.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑈)
17 lcfrlem24.s . . . . . 6 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
18 lcfrlem24.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑆)
19 lcfrlem24.r . . . . . 6 𝑅 = (Base‘𝑆)
20 lcfrlem24.j . . . . . 6 𝐽 = (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↦ (𝑣𝑉 ↦ (𝑘𝑅𝑤 ∈ ( ‘{𝑥})𝑣 = (𝑤 + (𝑘 · 𝑥)))))
21 lcfrlem24.ib . . . . . 6 (𝜑𝐼𝐵)
22 lcfrlem24.l . . . . . 6 𝐿 = (LKer‘𝑈)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22lcfrlem24 38738 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝐿‘(𝐽𝑋)) ∩ (𝐿‘(𝐽𝑌))))
24 inss2 4184 . . . . 5 ((𝐿‘(𝐽𝑋)) ∩ (𝐿‘(𝐽𝑌))) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))
2523, 24eqsstrdi 4000 . . . 4 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
261, 3, 9dvhlvec 38281 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
271, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13lcfrlem22 38736 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐴)
28 lcfrlem25.in . . . . . 6 (𝜑𝐼0 )
296, 7, 8, 26, 27, 21, 28lsatel 36177 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (𝑁‘{𝐼}))
30 eqid 2820 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
311, 3, 9dvhlmod 38282 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
32 eqid 2820 . . . . . . . 8 (LFnl‘𝑈) = (LFnl‘𝑈)
33 lcfrlem25.d . . . . . . . 8 𝐷 = (LDual‘𝑈)
34 eqid 2820 . . . . . . . 8 (0g𝐷) = (0g𝐷)
35 eqid 2820 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} = {𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)}
361, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 19, 6, 32, 22, 33, 34, 35, 20, 9, 11lcfrlem10 38724 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈))
3732, 22, 30lkrlss 36267 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐽𝑌) ∈ (LFnl‘𝑈)) → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
3831, 36, 37syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSubSp‘𝑈))
39 lcfrlem25.jz . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐽𝑌)‘𝐼) = 𝑄)
404, 8, 31, 27lsatssv 36170 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑉)
4140, 21sseldd 3947 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼𝑉)
424, 17, 18, 32, 22, 31, 36, 41ellkr2 36263 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼 ∈ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ↔ ((𝐽𝑌)‘𝐼) = 𝑄))
4339, 42mpbird 259 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
4430, 7, 31, 38, 43lspsnel5a 19744 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝐼}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
4529, 44eqsstrd 3984 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
4630lsssssubg 19706 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
4731, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (LSubSp‘𝑈) ⊆ (SubGrp‘𝑈))
4810eldifad 3925 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
4911eldifad 3925 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑉)
50 prssi 4730 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
5148, 49, 50syl2anc 586 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
521, 3, 4, 30, 2dochlss 38526 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉) → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
539, 51, 52syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
5447, 53sseldd 3947 . . . . 5 (𝜑 → ( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈))
554, 30, 7, 31, 48, 49lspprcl 19726 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
561, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12lcfrlem17 38731 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5756eldifad 3925 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5857snssd 4718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉)
591, 3, 4, 30, 2dochlss 38526 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉) → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
609, 58, 59syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6130lssincl 19713 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6231, 55, 60, 61syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
6313, 62eqeltrid 2915 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ (LSubSp‘𝑈))
6447, 63sseldd 3947 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑈))
6547, 38sseldd 3947 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝑈))
6614lsmlub 18769 . . . . 5 ((( ‘{𝑋, 𝑌}) ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ 𝐵 ∈ (SubGrp‘𝑈) ∧ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (SubGrp‘𝑈)) → ((( ‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))) ↔ (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))))
6754, 64, 65, 66syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((( ‘{𝑋, 𝑌}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∧ 𝐵 ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))) ↔ (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌))))
6825, 45, 67mpbi2and 710 . . 3 (𝜑 → (( ‘{𝑋, 𝑌})(LSSum‘𝑈)𝐵) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
6915, 68eqsstrrd 3985 . 2 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)))
70 eqid 2820 . . 3 (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
711, 2, 3, 4, 6, 70, 9, 56dochsnshp 38625 . . 3 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
721, 2, 3, 4, 5, 16, 17, 19, 6, 32, 22, 33, 34, 35, 20, 9, 11lcfrlem13 38727 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝑌) ∈ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∖ {(0g𝐷)}))
73 eldifsni 4698 . . . . 5 ((𝐽𝑌) ∈ ({𝑓 ∈ (LFnl‘𝑈) ∣ ( ‘( ‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)} ∖ {(0g𝐷)}) → (𝐽𝑌) ≠ (0g𝐷))
7472, 73syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝑌) ≠ (0g𝐷))
7570, 32, 22, 33, 34, 26, 36lduallkr3 36334 . . . 4 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSHyp‘𝑈) ↔ (𝐽𝑌) ≠ (0g𝐷)))
7674, 75mpbird 259 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐽𝑌)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
7770, 26, 71, 76lshpcmp 36160 . 2 (𝜑 → (( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ⊆ (𝐿‘(𝐽𝑌)) ↔ ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿‘(𝐽𝑌))))
7869, 77mpbid 234 1 (𝜑 → ( ‘{(𝑋 + 𝑌)}) = (𝐿‘(𝐽𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∃wrex 3126  {crab 3129   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  {csn 4543  {cpr 4545   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6331  ℩crio 7090  (class class class)co 7133  Basecbs 16462  +gcplusg 16544  Scalarcsca 16547   ·𝑠 cvsca 16548  0gc0g 16692  SubGrpcsubg 18252  LSSumclsm 18738  LModclmod 19610  LSubSpclss 19679  LSpanclspn 19719  LSAtomsclsa 36146  LSHypclsh 36147  LFnlclfn 36229  LKerclk 36257  LDualcld 36295  HLchlt 36522  LHypclh 37156  DVecHcdvh 38250  ocHcoch 38519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-riotaBAD 36125 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-tpos 7870  df-undef 7917  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-0g 16694  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-oppg 18453  df-lsm 18740  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-drng 19480  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-lvec 19851  df-lsatoms 36148  df-lshyp 36149  df-lcv 36191  df-lfl 36230  df-lkr 36258  df-ldual 36296  df-oposet 36348  df-ol 36350  df-oml 36351  df-covers 36438  df-ats 36439  df-atl 36470  df-cvlat 36494  df-hlat 36523  df-llines 36670  df-lplanes 36671  df-lvols 36672  df-lines 36673  df-psubsp 36675  df-pmap 36676  df-padd 36968  df-lhyp 37160  df-laut 37161  df-ldil 37276  df-ltrn 37277  df-trl 37331  df-tgrp 37915  df-tendo 37927  df-edring 37929  df-dveca 38175  df-disoa 38201  df-dvech 38251  df-dib 38311  df-dic 38345  df-dih 38401  df-doch 38520  df-djh 38567 This theorem is referenced by:  lcfrlem26  38740
 Copyright terms: Public domain W3C validator