MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnvsi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnvsi 20759
Description: Span of a scalar product of a singleton. (Contributed by NM, 23-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsn.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lspsn.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lspsn.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsn.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lspsn.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnvsi ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑅 Β· 𝑋)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnvsi
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . 2 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
2 lspsn.n . 2 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
3 simp1 1136 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 simp3 1138 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
54snssd 4812 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
6 lspsn.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
76, 1, 2lspcl 20731 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
83, 5, 7syl2anc 584 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 lspsn.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
10 lspsn.f . . 3 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
11 lspsn.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
12 simp2 1137 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ 𝐾)
136, 9, 10, 11, 2, 3, 12, 4lspsneli 20756 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝑅 Β· 𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
141, 2, 3, 8, 13lspsnel5a 20751 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑅 Β· 𝑋)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·𝑠 cvsca 17205  LModclmod 20614  LSubSpclss 20686  LSpanclspn 20726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727
This theorem is referenced by:  lspsnneg  20761  lspsnvs  20872  lclkrlem2p  40696  hgmaprnlem2N  41071
  Copyright terms: Public domain W3C validator