Theorem hdmap10lem 39895

Description: Lemma for hdmap10 39896. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap10.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap10.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap10.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap10.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap10.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmap10.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap10.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap10.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10lem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hdmap10lem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Proof of Theorem hdmap10lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap10.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap10.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap10.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap10.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		hdmap10.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap10.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		hdmap10.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
10	1, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 5	dvheveccl 39168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
12		hdmap10lem.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3904	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	dvh3dim 39502	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
15		hdmap10.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap10.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
17		hdmap10.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hdmap10.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
19		hdmap10.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
20	5	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21	13	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
22		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
23		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
24	1, 2, 5	dvhlmod 39166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
25	3, 23, 4, 24, 11, 13	lspprcl 20285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26	3, 4, 24, 11, 13	lspprid1 20304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
27	23, 4, 24, 25, 26	lspsnel5a 20303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
28	3, 4, 24, 11, 13	lspprid2 20305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
29	23, 4, 24, 25, 28	lspsnel5a 20303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
30	27, 29	unssd 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
31	30	sseld 3925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})))
32	31	con3dimp 410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
33	32	3adant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
34	1, 9, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 33	hdmapval2 39888	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
35	34	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
36		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
37		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
38		hdmap10.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
39		hdmap10.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
40	24	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
41	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
43	8, 23, 40, 41, 22, 42	lssneln0 20259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
45	1, 2, 3, 8, 15, 16, 44, 17, 5, 10	hvmapcl2 39822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
46	45	eldifad 3904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
47	46	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
48	1, 2, 3, 8, 4, 15, 38, 39, 17, 5, 10	mapdhvmap 39825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝐿‘{(𝐽‘𝐸)}))
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝐿‘{(𝐽‘𝐸)}))
50	1, 2, 5	dvhlvec 39165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
51	50	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
52	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝐸 ∈ 𝑉)
53	3, 4, 51, 22, 52, 21, 42	lspindpi 20439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
54	53	simpld 496	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
55	54	necomd 2997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
56	10	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
57	1, 2, 3, 8, 4, 15, 16, 38, 39, 18, 20, 47, 49, 55, 56, 22	hdmap1cl 39860	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
58	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	1, 2, 3, 15, 16, 19, 5, 13	hdmapcl 39886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
60	59	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
61	53	simprd 497	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)
63	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 56, 47, 43, 57, 55, 49	hdmap1eq 39857	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑥})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = (𝐿‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))}))))
64	62, 63	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑥})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = (𝐿‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))})))
65	64	simpld 496	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑥})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}))
66	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 43, 57, 58, 60, 61, 65	hdmap1eq 39857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑥(-g‘𝑈)𝑇)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑇))}))))
67	35, 66	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑥(-g‘𝑈)𝑇)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑇))})))
68	67	simpld 496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))
69	68	rexlimdv3a 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)})))
70	14, 69	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3889   ∪ cun 3890  {csn 4565  {cpr 4567  ⟨cop 4571  ⟨cotp 4573   I cid 5499   ↾ cres 5602  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  0_gc0g 17195  -_gcsg 18624  LModclmod 20168  LSubSpclss 20238  LSpanclspn 20278  LVecclvec 20409  HLchlt 37406  LHypclh 38040  LTrncltrn 38157  DVecHcdvh 39134  LCDualclcd 39642  mapdcmpd 39680  HVMapchvm 39812  HDMap1chdma1 39847  HDMapchdma 39848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-riotaBAD 37009

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-ot 4574  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-undef 8120  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-0g 17197  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-p1 18189  df-lat 18195  df-clat 18262  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-subg 18797  df-cntz 18968  df-oppg 18995  df-lsm 19286  df-cmn 19433  df-abl 19434  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-oppr 19907  df-dvdsr 19928  df-unit 19929  df-invr 19959  df-dvr 19970  df-drng 20038  df-lmod 20170  df-lss 20239  df-lsp 20279  df-lvec 20410  df-lsatoms 37032  df-lshyp 37033  df-lcv 37075  df-lfl 37114  df-lkr 37142  df-ldual 37180  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554  df-lplanes 37555  df-lvols 37556  df-lines 37557  df-psubsp 37559  df-pmap 37560  df-padd 37852  df-lhyp 38044  df-laut 38045  df-ldil 38160  df-ltrn 38161  df-trl 38215  df-tgrp 38799  df-tendo 38811  df-edring 38813  df-dveca 39059  df-disoa 39085  df-dvech 39135  df-dib 39195  df-dic 39229  df-dih 39285  df-doch 39404  df-djh 39451  df-lcdual 39643  df-mapd 39681  df-hvmap 39813  df-hdmap1 39849  df-hdmap 39850

This theorem is referenced by:  hdmap10  39896