Theorem hdmap10lem 41166

Description: Lemma for hdmap10 41167. (Contributed by NM, 17-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap10.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap10.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap10.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap10.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.l	⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap10.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap10.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmap10.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap10.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap10.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap10lem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
hdmap10lem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Proof of Theorem hdmap10lem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap10.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap10.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap10.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		hdmap10.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5		hdmap10.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap10.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
9		hdmap10.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
10	1, 6, 7, 2, 3, 8, 9, 5	dvheveccl 40439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
12		hdmap10lem.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	12	eldifad 3952	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 13	dvh3dim 40773	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
15		hdmap10.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmap10.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
17		hdmap10.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
18		hdmap10.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
19		hdmap10.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
20	5	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
21	13	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ 𝑉)
22		simp2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
23		eqid 2724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
24	1, 2, 5	dvhlmod 40437	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
25	3, 23, 4, 24, 11, 13	lspprcl 20810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26	3, 4, 24, 11, 13	lspprid1 20829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
27	23, 4, 24, 25, 26	lspsnel5a 20828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
28	3, 4, 24, 11, 13	lspprid2 20830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
29	23, 4, 24, 25, 28	lspsnel5a 20828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
30	27, 29	unssd 4178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
31	30	sseld 3973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})))
32	31	con3dimp 408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
33	32	3adant2 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
34	1, 9, 2, 3, 4, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 33	hdmapval2 41159	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
35	34	eqcomd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
36		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
37		eqid 2724	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
38		hdmap10.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
39		hdmap10.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
40	24	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LMod)
41	25	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42		simp3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
43	8, 23, 40, 41, 22, 42	lssneln0 20785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
44		eqid 2724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
45	1, 2, 3, 8, 15, 16, 44, 17, 5, 10	hvmapcl2 41093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
46	45	eldifad 3952	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
47	46	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
48	1, 2, 3, 8, 4, 15, 38, 39, 17, 5, 10	mapdhvmap 41096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝐿‘{(𝐽‘𝐸)}))
49	48	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝐸})) = (𝐿‘{(𝐽‘𝐸)}))
50	1, 2, 5	dvhlvec 40436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
51	50	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑈 ∈ LVec)
52	11	3ad2ant1 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝐸 ∈ 𝑉)
53	3, 4, 51, 22, 52, 21, 42	lspindpi 20968	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
54	53	simpld 494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
55	54	necomd 2988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
56	10	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
57	1, 2, 3, 8, 4, 15, 16, 38, 39, 18, 20, 47, 49, 55, 56, 22	hdmap1cl 41131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
58	12	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
59	1, 2, 3, 15, 16, 19, 5, 13	hdmapcl 41157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
60	59	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑆‘𝑇) ∈ 𝐷)
61	53	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
62		eqid 2724	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)
63	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 56, 47, 43, 57, 55, 49	hdmap1eq 41128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑥})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = (𝐿‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))}))))
64	62, 63	mpbii 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑥})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = (𝐿‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))})))
65	64	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑥})) = (𝐿‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}))
66	1, 2, 3, 36, 8, 4, 15, 16, 37, 38, 39, 18, 20, 43, 57, 58, 60, 61, 65	hdmap1eq 41128	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇) ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑥(-g‘𝑈)𝑇)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑇))}))))
67	35, 66	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑥(-g‘𝑈)𝑇)})) = (𝐿‘{((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)(-g‘𝐶)(𝑆‘𝑇))})))
68	67	simpld 494	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))
69	68	rexlimdv3a 3151	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ 𝑉 ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)})))
70	14, 69	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑇})) = (𝐿‘{(𝑆‘𝑇)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938  {csn 4620  {cpr 4622  ⟨cop 4626  ⟨cotp 4628   I cid 5563   ↾ cres 5668  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  -_gcsg 18852  LModclmod 20691  LSubSpclss 20763  LSpanclspn 20803  LVecclvec 20935  HLchlt 38676  LHypclh 39311  LTrncltrn 39428  DVecHcdvh 40405  LCDualclcd 40913  mapdcmpd 40951  HVMapchvm 41083  HDMap1chdma1 41118  HDMapchdma 41119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-submnd 18701  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-subg 19035  df-cntz 19218  df-oppg 19247  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20025  df-rng 20043  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-dvdsr 20244  df-unit 20245  df-invr 20275  df-dvr 20288  df-drng 20574  df-lmod 20693  df-lss 20764  df-lsp 20804  df-lvec 20936  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722  df-lcdual 40914  df-mapd 40952  df-hvmap 41084  df-hdmap1 41120  df-hdmap 41121

This theorem is referenced by:  hdmap10  41167