Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh9a 40298
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN 40299? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh9a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh9a.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh9a (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,π‘ˆ   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧   𝑧,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,β„Ž)   𝑅(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)   𝑀(𝑦,𝑧)   βˆ’ (𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh9a
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.s . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh8a.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh8a.c . . . . . . 7 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh8a.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 mapdh8a.r . . . . . . 7 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
10 mapdh8a.q . . . . . . 7 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
11 mapdh8a.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdh8a.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 mapdh8a.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
14 mapdh8a.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15143ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
17163ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
19183ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
20 mapdh9a.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21203ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 simp3ll 1245 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
23 simp3rl 1247 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
24 simplrl 776 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
25243ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2625necomd 2996 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑧}))
27 simprrl 780 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
28273ad2ant3 1136 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2928necomd 2996 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
30 simplrr 777 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
31303ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
32 simprrr 781 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
33323ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
34 mapdh9a.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
35343ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 31, 33, 35mapdh8 40297 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))
37363exp 1120 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))))
3837ralrimivv 3192 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)))
3920eldifad 3923 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
401, 2, 3, 6, 14, 39, 34dvh3dim 39955 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
41 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
421, 2, 14dvhlmod 39619 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
443, 41, 6, 42, 39, 34lspprcl 20454 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
46 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
485, 41, 43, 45, 46, 47lssneln0 20428 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
491, 2, 14dvhlvec 39618 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5049ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5139ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5234ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
533, 6, 50, 46, 51, 52, 47lspindpi 20609 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
5448, 53jca 513 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
5554ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
5655reximdva 3162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
5740, 56mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
5814ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5916ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
6018ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
6120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
62 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
63 simprrl 780 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6463necomd 2996 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑧}))
6510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 62, 64mapdhcl 40236 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) ∈ 𝐷)
66 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))
67 simprl 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 67, 65, 64mapdheq 40237 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ 𝑧)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))}))))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ 𝑧)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))})))
7069simpld 496 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}))
7134ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
72 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 65, 70, 67, 71, 72mapdhcl 40236 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)
7473ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷))
7574ancld 552 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)))
7675reximdva 3162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)))
7757, 76mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷))
78 eleq1w 2817 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })))
79 sneq 4597 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑀 β†’ {𝑧} = {𝑀})
8079fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{𝑀}))
8180neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋})))
8280neeq1d 3000 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
8381, 82anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ (((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) ↔ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
8478, 83anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ↔ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
85 oteq1 4840 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)
86 oteq3 4842 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ© = βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©)
8786fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
8887oteq2d 4844 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)
8985, 88eqtrd 2773 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)
9089fveq2d 6847 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))
9184, 90reusv3 5361 . . . . 5 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
9277, 91syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
9338, 92mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
94 ioran 983 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∨ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})))
95 elun 4109 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∨ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})))
9694, 95xchnxbir 333 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})))
9742ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
983, 41, 6lspsncl 20453 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
9942, 39, 98syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10099ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
101 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
102 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
1035, 41, 97, 100, 101, 102lssneln0 20428 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
104103ex 414 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })))
10542ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
106 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
10739ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
108 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
1093, 6, 105, 106, 107, 108lspsnne2 20595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
110109ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋})))
11142ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
112 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
11334ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
114 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))
1153, 6, 111, 112, 113, 114lspsnne2 20595 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
116115ex 414 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
117110, 116anim12d 610 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
118104, 117jcad 514 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
11996, 118biimtrid 241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
120119imim1d 82 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
121120ralimdva 3161 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
122121reximdv 3164 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
12393, 122mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
1243, 6, 42, 39, 34lspprid1 20473 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
12541, 6, 42, 44, 124lspsnel5a 20472 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
1263, 6, 42, 39, 34lspprid2 20474 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
12741, 6, 42, 44, 126lspsnel5a 20472 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
128125, 127unssd 4147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
129128ssneld 3947 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇}))))
130129reximdv 3164 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇}))))
13140, 130mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})))
132 reusv1 5353 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
133131, 132syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
134123, 133mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  βˆƒ!wreu 3350  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909  ifcif 4487  {csn 4587  {cpr 4589  βŸ¨cotp 4595   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  β„©crio 7313  (class class class)co 7358  1st c1st 7920  2nd c2nd 7921  Basecbs 17088  0gc0g 17326  -gcsg 18755  LModclmod 20336  LSubSpclss 20407  LSpanclspn 20447  LVecclvec 20578  HLchlt 37858  LHypclh 38493  DVecHcdvh 39587  LCDualclcd 40095  mapdcmpd 40133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-riotaBAD 37461
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-undef 8205  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-0g 17328  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-clat 18393  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-cntz 19102  df-oppg 19129  df-lsm 19423  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lvec 20579  df-lsatoms 37484  df-lshyp 37485  df-lcv 37527  df-lfl 37566  df-lkr 37594  df-ldual 37632  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859  df-llines 38007  df-lplanes 38008  df-lvols 38009  df-lines 38010  df-psubsp 38012  df-pmap 38013  df-padd 38305  df-lhyp 38497  df-laut 38498  df-ldil 38613  df-ltrn 38614  df-trl 38668  df-tgrp 39252  df-tendo 39264  df-edring 39266  df-dveca 39512  df-disoa 39538  df-dvech 39588  df-dib 39648  df-dic 39682  df-dih 39738  df-doch 39857  df-djh 39904  df-lcdual 40096  df-mapd 40134
This theorem is referenced by:  hdmap1eulem  40331
  Copyright terms: Public domain W3C validator