Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh9a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh9a 41172
Description: Lemma for part (9) in [Baer] p. 48. TODO: why is this 50% larger than mapdh9aOLDN 41173? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh8a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdh8a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.o 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdh8a.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdh8a.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdh8a.q 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
mapdh8a.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdh8a.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdh8a.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
mapdh8a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdh8h.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh8h.mn (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
mapdh9a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
mapdh9a.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
mapdh9a (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Distinct variable groups:   π‘₯,β„Ž, βˆ’   0 ,β„Ž,π‘₯   𝐢,β„Ž   𝐷,β„Ž,π‘₯   β„Ž,𝐹,π‘₯   β„Ž,𝐼   β„Ž,𝐽,π‘₯   β„Ž,𝑀,π‘₯   β„Ž,𝑁,π‘₯   πœ‘,β„Ž   𝑅,β„Ž,π‘₯   π‘₯,𝑄   𝑇,β„Ž,π‘₯   π‘ˆ,β„Ž   β„Ž,𝑋,π‘₯   π‘₯,𝐼   β„Ž,𝑉   𝑦,𝑧,𝐷   𝑦,𝐹,𝑧   𝑦,𝐼,𝑧   𝑦,𝑁,𝑧   𝑦, 0 ,𝑧   𝑦,𝑇,𝑧   𝑧,π‘ˆ   𝑦,𝑉,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   πœ‘,𝑦,𝑧   𝑧,β„Ž,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐢(π‘₯,𝑦,𝑧)   𝑄(𝑦,𝑧,β„Ž)   𝑅(𝑦,𝑧)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)   𝐽(𝑦,𝑧)   𝐾(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)   𝑀(𝑦,𝑧)   βˆ’ (𝑦,𝑧)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯,𝑦,𝑧,β„Ž)

Proof of Theorem mapdh9a
Dummy variable 𝑀 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapdh8a.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdh8a.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdh8a.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 mapdh8a.s . . . . . . 7 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
5 mapdh8a.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
6 mapdh8a.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
7 mapdh8a.c . . . . . . 7 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
8 mapdh8a.d . . . . . . 7 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
9 mapdh8a.r . . . . . . 7 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
10 mapdh8a.q . . . . . . 7 𝑄 = (0gβ€˜πΆ)
11 mapdh8a.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
12 mapdh8a.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 mapdh8a.i . . . . . . 7 𝐼 = (π‘₯ ∈ V ↦ if((2nd β€˜π‘₯) = 0 , 𝑄, (β„©β„Ž ∈ 𝐷 ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(2nd β€˜π‘₯)})) = (π½β€˜{β„Ž}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{((1st β€˜(1st β€˜π‘₯)) βˆ’ (2nd β€˜π‘₯))})) = (π½β€˜{((2nd β€˜(1st β€˜π‘₯))π‘…β„Ž)})))))
14 mapdh8a.k . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
15143ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
16 mapdh8h.f . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
17163ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
18 mapdh8h.mn . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
19183ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
20 mapdh9a.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
21203ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
22 simp3ll 1241 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
23 simp3rl 1243 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
24 simplrl 774 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
25243ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2625necomd 2990 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑧}))
27 simprrl 778 . . . . . . . . 9 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
28273ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
2928necomd 2990 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑀}))
30 simplrr 775 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
31303ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
32 simprrr 779 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
33323ad2ant3 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
34 mapdh9a.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
35343ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 31, 33, 35mapdh8 41171 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))
37363exp 1116 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))))
3837ralrimivv 3192 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)))
3920eldifad 3955 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
401, 2, 3, 6, 14, 39, 34dvh3dim 40829 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
421, 2, 14dvhlmod 40493 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4342ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
443, 41, 6, 42, 39, 34lspprcl 20822 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
4544ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
46 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
47 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
485, 41, 43, 45, 46, 47lssneln0 20797 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
491, 2, 14dvhlvec 40492 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5049ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
5139ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
5234ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
533, 6, 50, 46, 51, 52, 47lspindpi 20980 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
5448, 53jca 511 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇})) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
5554ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
5655reximdva 3162 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
5740, 56mpd 15 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
5814ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5916ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
6018ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐹}))
6120ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
62 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
63 simprrl 778 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
6463necomd 2990 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{𝑧}))
6510, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 62, 64mapdhcl 41110 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) ∈ 𝐷)
66 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))
67 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
6810, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 59, 60, 61, 67, 65, 64mapdheq 41111 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) ↔ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ 𝑧)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))}))))
6966, 68mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ 𝑧)})) = (π½β€˜{(𝐹𝑅(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©))})))
7069simpld 494 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑧})) = (π½β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©)}))
7134ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
72 simprrr 779 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
7310, 13, 1, 12, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 58, 65, 70, 67, 71, 72mapdhcl 41110 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)
7473ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷))
7574ancld 550 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)))
7675reximdva 3162 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷)))
7757, 76mpd 15 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷))
78 eleq1w 2810 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ 𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })))
79 sneq 4633 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑀 β†’ {𝑧} = {𝑀})
8079fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (π‘β€˜{𝑧}) = (π‘β€˜{𝑀}))
8180neeq1d 2994 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋})))
8280neeq1d 2994 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}) ↔ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
8381, 82anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ (((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})) ↔ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
8478, 83anbi12d 630 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ↔ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
85 oteq1 4877 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)
86 oteq3 4879 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ© = βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©)
8786fveq2d 6888 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©))
8887oteq2d 4881 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)
8985, 88eqtrd 2766 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑀 β†’ βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ© = βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)
9089fveq2d 6888 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑀 β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©))
9184, 90reusv3 5396 . . . . 5 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) ∈ 𝐷) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
9277, 91syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ 𝑉 (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) ∧ (𝑀 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑀}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))) β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘€, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘€βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
9338, 92mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
94 ioran 980 . . . . . . . 8 (Β¬ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∨ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})))
95 elun 4143 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ (𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∨ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})))
9694, 95xchnxbir 333 . . . . . . 7 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) ↔ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})))
9742ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
983, 41, 6lspsncl 20821 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
9942, 39, 98syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
10099ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
101 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
102 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
1035, 41, 97, 100, 101, 102lssneln0 20797 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
104103ex 412 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 })))
10542ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
106 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
10739ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
108 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
1093, 6, 105, 106, 107, 108lspsnne2 20966 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋})) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}))
110109ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋})))
11142ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
112 simplr 766 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
11334ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
114 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}))
1153, 6, 111, 112, 113, 114lspsnne2 20966 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
116115ex 412 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇}) β†’ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
117110, 116anim12d 608 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))))
118104, 117jcad 512 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋}) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
11996, 118biimtrid 241 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))))
120119imim1d 82 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
121120ralimdva 3161 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
122121reximdv 3164 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 ((𝑧 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ∧ ((π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑋}) ∧ (π‘β€˜{𝑧}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
12393, 122mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
1243, 6, 42, 39, 34lspprid1 20841 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
12541, 6, 42, 44, 124lspsnel5a 20840 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
1263, 6, 42, 39, 34lspprid2 20842 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
12741, 6, 42, 44, 126lspsnel5a 20840 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
128125, 127unssd 4181 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) βŠ† (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}))
129128ssneld 3979 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇}))))
130129reximdv 3164 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ (π‘β€˜{𝑋, 𝑇}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇}))))
13140, 130mpd 15 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})))
132 reusv1 5388 . . 3 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
133131, 132syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©))))
134123, 133mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ!𝑦 ∈ 𝐷 βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (Β¬ 𝑧 ∈ ((π‘β€˜{𝑋}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) β†’ 𝑦 = (πΌβ€˜βŸ¨π‘§, (πΌβ€˜βŸ¨π‘‹, 𝐹, π‘§βŸ©), π‘‡βŸ©)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  βˆƒ!wreu 3368  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941  ifcif 4523  {csn 4623  {cpr 4625  βŸ¨cotp 4631   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6536  β„©crio 7359  (class class class)co 7404  1st c1st 7969  2nd c2nd 7970  Basecbs 17150  0gc0g 17391  -gcsg 18862  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  LVecclvec 20947  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461  LCDualclcd 40969  mapdcmpd 41007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-oppg 19259  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-lshyp 38359  df-lcv 38401  df-lfl 38440  df-lkr 38468  df-ldual 38506  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tgrp 40126  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-dveca 40386  df-disoa 40412  df-dvech 40462  df-dib 40522  df-dic 40556  df-dih 40612  df-doch 40731  df-djh 40778  df-lcdual 40970  df-mapd 41008
This theorem is referenced by:  hdmap1eulem  41205
  Copyright terms: Public domain W3C validator