Theorem lshpnel 38694

Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lshpnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpnel.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpnel.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	lshpne 38693	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
6	3	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 20931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10	7, 2, 3, 4	lshplss 38692	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	10	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 11	sseldd 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lshpnel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		lshpnel.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	1, 7, 15	lspsncl 20950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	9, 17	sseldd 3979	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
20	7, 15, 6, 11, 19	ellspsn5 20969	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21		lshpnel.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	21	lsmss2 19661	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
23	12, 18, 20, 22	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24		lshpnel.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
25	24	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
26	23, 25	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
27	26	ex 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑈 = 𝑉))
28	27	necon3ad 2943	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3946  {csn 4623  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  SubGrpcsubg 19110  LSSumclsm 19628  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  LSpanclspn 20944  LSHypclsh 38686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-lsm 19630  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lshyp 38688

This theorem is referenced by:  lshpnelb  38695  lshpne0  38697  lshpdisj  38698