Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpnel 38365
Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnel.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnel.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lshpnel.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpnel.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
3 lshpnel.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 38364 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
63adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssssubg 20802 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
107, 2, 3, 4lshplss 38363 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1110adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
129, 11sseldd 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1413adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
161, 7, 15lspsncl 20821 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
176, 14, 16syl2anc 583 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
189, 17sseldd 3978 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
19 simpr 484 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
207, 15, 6, 11, 19lspsnel5a 20840 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
2221lsmss2 19584 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = π‘ˆ)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = π‘ˆ)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2768 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
2726ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = 𝑉))
2827necon3ad 2947 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
295, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βŠ† wss 3943  {csn 4623  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  SubGrpcsubg 19044  LSSumclsm 19551  LModclmod 20703  LSubSpclss 20775  LSpanclspn 20815  LSHypclsh 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-0g 17393  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-lsm 19553  df-mgp 20037  df-ur 20084  df-ring 20137  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lshyp 38359
This theorem is referenced by:  lshpnelb  38366  lshpne0  38368  lshpdisj  38369
  Copyright terms: Public domain W3C validator