Theorem lshpnel 39388

Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lshpnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpnel.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpnel.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	lshpne 39387	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
6	3	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 20926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10	7, 2, 3, 4	lshplss 39386	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 11	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lshpnel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		lshpnel.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	1, 7, 15	lspsncl 20945	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	9, 17	sseldd 3936	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
20	7, 15, 6, 11, 19	ellspsn5 20964	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21		lshpnel.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	21	lsmss2 19613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
23	12, 18, 20, 22	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24		lshpnel.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
25	24	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
26	23, 25	eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
27	26	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑈 = 𝑉))
28	27	necon3ad 2946	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  SubGrpcsubg 19067  LSSumclsm 19580  LModclmod 20828  LSubSpclss 20899  LSpanclspn 20939  LSHypclsh 39380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-subg 19070  df-lsm 19582  df-mgp 20093  df-ur 20134  df-ring 20187  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-lsp 20940  df-lshyp 39382

This theorem is referenced by:  lshpnelb  39389  lshpne0  39391  lshpdisj  39392