Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lshpnel 37848
Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lshpnel.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
lshpnel.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lshpnel.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
lshpnel.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel.e (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHypβ€˜π‘Š)
3 lshpnel.w . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 37847 . 2 (πœ‘ β†’ π‘ˆ β‰  𝑉)
63adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
87lsssssubg 20568 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
107, 2, 3, 4lshplss 37846 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
129, 11sseldd 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
1413adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
161, 7, 15lspsncl 20587 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
176, 14, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
189, 17sseldd 3983 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
19 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
207, 15, 6, 11, 19lspsnel5a 20606 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
2221lsmss2 19534 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = π‘ˆ)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = π‘ˆ)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘ˆ βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘ˆ = 𝑉)
2726ex 413 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ = 𝑉))
2827necon3ad 2953 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ β‰  𝑉 β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ))
295, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LSHypclsh 37840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-lsm 19503  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lshyp 37842
This theorem is referenced by:  lshpnelb  37849  lshpne0  37851  lshpdisj  37852
  Copyright terms: Public domain W3C validator