Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel 36228
Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnel.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)

Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpnel.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 36227 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
63adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 19730 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
107, 2, 3, 4lshplss 36226 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1110adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 11sseldd 3954 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
161, 7, 15lspsncl 19749 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14, 16syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
189, 17sseldd 3954 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
207, 15, 6, 11, 19lspsnel5a 19768 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
2221lsmss2 18793 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2861 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
2726ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = 𝑉))
2827necon3ad 3027 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ 𝑋𝑈))
295, 28mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wss 3919  {csn 4550  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  SubGrpcsubg 18273  LSSumclsm 18759  LModclmod 19634  LSubSpclss 19703  LSpanclspn 19743  LSHypclsh 36220
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-lsm 18761  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lshyp 36222
This theorem is referenced by:  lshpnelb  36229  lshpne0  36231  lshpdisj  36232
  Copyright terms: Public domain W3C validator