Theorem lshpnel 39785

Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lshpnel.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
lshpnel.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lshpnel.e	⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lshpnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lshpnel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lshpnel.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lshpnel.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lshpnel.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lshpnel.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐻)
5	1, 2, 3, 4	lshpne 39784	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≠ 𝑉)
6	3	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
8	7	lsssssubg 21088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
9	6, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
10	7, 2, 3, 4	lshplss 39783	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	10	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	9, 11	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13		lshpnel.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
14	13	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑉)
15		lshpnel.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
16	1, 7, 15	lspsncl 21107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	6, 14, 16	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
18	9, 17	sseldd 3938	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝑈)
20	7, 15, 6, 11, 19	ellspsn5 21126	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21		lshpnel.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
22	21	lsmss2 19741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
23	12, 18, 20, 22	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24		lshpnel.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
25	24	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → (𝑈 ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
26	23, 25	eqtr3d 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
27	26	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 → 𝑈 = 𝑉))
28	27	necon3ad 2971	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ≠ 𝑉 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈))
29	5, 28	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  SubGrpcsubg 19190  LSSumclsm 19708  LModclmod 20990  LSubSpclss 21061  LSpanclspn 21101  LSHypclsh 39777

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-0g 17498  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-sbg 19009  df-subg 19193  df-lsm 19710  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-lmod 20992  df-lss 21062  df-lsp 21102  df-lshyp 39779

This theorem is used by:  lshpnelb  39786  lshpne0  39788  lshpdisj  39789