Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lshpnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lshpnel 38694
Description: A hyperplane's generating vector does not belong to the hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lshpnel.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lshpnel.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lshpnel.p = (LSSum‘𝑊)
lshpnel.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lshpnel.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lshpnel.u (𝜑𝑈𝐻)
lshpnel.x (𝜑𝑋𝑉)
lshpnel.e (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lshpnel (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)

Proof of Theorem lshpnel
StepHypRef Expression
1 lshpnel.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lshpnel.h . . 3 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lshpnel.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
4 lshpnel.u . . 3 (𝜑𝑈𝐻)
51, 2, 3, 4lshpne 38693 . 2 (𝜑𝑈𝑉)
63adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
7 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
87lsssssubg 20931 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
96, 8syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
107, 2, 3, 4lshplss 38692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
1110adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
129, 11sseldd 3979 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
13 lshpnel.x . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑉)
1413adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
15 lshpnel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
161, 7, 15lspsncl 20950 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
176, 14, 16syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
189, 17sseldd 3979 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
19 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑋𝑈)
207, 15, 6, 11, 19ellspsn5 20969 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
21 lshpnel.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝑊)
2221lsmss2 19661 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
2312, 18, 20, 22syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑈)
24 lshpnel.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2524adantr 479 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝑈) → (𝑈 (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2623, 25eqtr3d 2768 . . . 4 ((𝜑𝑋𝑈) → 𝑈 = 𝑉)
2726ex 411 . . 3 (𝜑 → (𝑋𝑈𝑈 = 𝑉))
2827necon3ad 2943 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑉 → ¬ 𝑋𝑈))
295, 28mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑋𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wss 3946  {csn 4623  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  SubGrpcsubg 19110  LSSumclsm 19628  LModclmod 20832  LSubSpclss 20904  LSpanclspn 20944  LSHypclsh 38686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-grp 18926  df-minusg 18927  df-sbg 18928  df-subg 19113  df-lsm 19630  df-mgp 20114  df-ur 20161  df-ring 20214  df-lmod 20834  df-lss 20905  df-lsp 20945  df-lshyp 38688
This theorem is referenced by:  lshpnelb  38695  lshpne0  38697  lshpdisj  38698
  Copyright terms: Public domain W3C validator