Theorem hdmapval3lemN 42862

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
hdmapval3lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
hdmapval3lem.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3lemN	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapval3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapval3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmapval3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmapval3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2761	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmapval3.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
17	1, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11	dvheveccl 42137	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
18	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17	hvmapcl2 42791	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
19	18	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17	mapdhvmap 42794	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽‘𝐸)}))
21	1, 2, 11	dvhlvec 42134	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22		hdmapval3lem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
23	17	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
24		hdmapval3lem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
25	24	eldifad 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
26		hdmapval3lem.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
27	3, 5, 21, 22, 23, 25, 26	lspindpi 21390	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
29	28	necomd 3011	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22	hdmap1cl 42829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31		eqidd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))
32		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
33		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
34		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
35	1, 2, 11	dvhlmod 42135	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 34, 5, 35, 23, 25	lspprcl 21233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	4, 34, 35, 36, 22, 26	lssneln0 21208	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
38	1, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20	hdmap1eq 42826	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))}))))
39	31, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))})))
40	39	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}))
41		hdmapval3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
42	41	necomd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
44	3, 5, 35, 23, 25	lspprid1 21252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
45	34, 5, 35, 36, 44	ellspsn5 21251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
46	45, 45	unssd 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
47	46, 26	ssneldd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
48	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47	hdmapval2 42857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
49	1, 16, 13, 43, 11	hdmapevec 42860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐽‘𝐸))
50	48, 49	eqtr3d 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽‘𝐸))
51	3, 5, 35, 23, 25	lspprid2 21253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
52	34, 5, 35, 36, 51	ellspsn5 21251	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
53	45, 52	unssd 4138	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
54	53, 26	ssneldd 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
55	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54	hdmapval2 42857	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
56	55	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56	hdmap1eq4N 42831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
58	57	eqcomd 2767	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ⟨cotp 4592   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  0_gc0g 17590  -_gcsg 19126  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  HLchlt 40375  LHypclh 41009  LTrncltrn 41126  DVecHcdvh 42103  LCDualclcd 42611  mapdcmpd 42649  HVMapchvm 42781  HDMap1chdma1 42816  HDMapchdma 42817

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-nzr 20743  df-rlreg 20926  df-domn 20927  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lsatoms 40001  df-lshyp 40002  df-lcv 40044  df-lfl 40083  df-lkr 40111  df-ldual 40149  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tgrp 41768  df-tendo 41780  df-edring 41782  df-dveca 42028  df-disoa 42054  df-dvech 42104  df-dib 42164  df-dic 42198  df-dih 42254  df-doch 42373  df-djh 42420  df-lcdual 42612  df-mapd 42650  df-hvmap 42782  df-hdmap1 42818  df-hdmap 42819

This theorem is used by:  hdmapval3N  42863