Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 38972
 Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapval3.te (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
hdmapval3lem.x (𝜑𝑥𝑉)
hdmapval3lem.xn (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapval3.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2821 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2821 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9 eqid 2821 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapval3.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 eqid 2821 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2821 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15 eqid 2821 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 38247 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 38901 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
1918eldifad 3947 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 38904 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽𝐸)}))
211, 2, 11dvhlvec 38244 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑥𝑉)
2317eldifad 3947 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2524eldifad 3947 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 19903 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
2827simpld 497 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2928necomd 3071 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 38939 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2822 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))
32 eqid 2821 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
33 eqid 2821 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
34 eqid 2821 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 11dvhlmod 38245 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 19749 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
374, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 19723 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 38936 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))}))))
3931, 38mpbid 234 . . . 4 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))})))
4039simpld 497 . . 3 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
4241necomd 3071 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 19768 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 19767 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 4161 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3969 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 38967 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 38970 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐽𝐸))
5048, 49eqtr3d 2858 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽𝐸))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 19769 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 19767 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 4161 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3969 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 38967 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
5655eqcomd 2827 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 38941 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
5857eqcomd 2827 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   ∖ cdif 3932   ∪ cun 3933  {csn 4566  {cpr 4568  ⟨cop 4572  ⟨cotp 4574   I cid 5458   ↾ cres 5556  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  0gc0g 16712  -gcsg 18104  LSubSpclss 19702  LSpanclspn 19742  HLchlt 36485  LHypclh 37119  LTrncltrn 37236  DVecHcdvh 38213  LCDualclcd 38721  mapdcmpd 38759  HVMapchvm 38891  HDMap1chdma1 38926  HDMapchdma 38927 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36088 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-undef 7938  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-lsm 18760  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lvec 19874  df-lsatoms 36111  df-lshyp 36112  df-lcv 36154  df-lfl 36193  df-lkr 36221  df-ldual 36259  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-llines 36633  df-lplanes 36634  df-lvols 36635  df-lines 36636  df-psubsp 36638  df-pmap 36639  df-padd 36931  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-tgrp 37878  df-tendo 37890  df-edring 37892  df-dveca 38138  df-disoa 38164  df-dvech 38214  df-dib 38274  df-dic 38308  df-dih 38364  df-doch 38483  df-djh 38530  df-lcdual 38722  df-mapd 38760  df-hvmap 38892  df-hdmap1 38928  df-hdmap 38929 This theorem is referenced by:  hdmapval3N  38973
 Copyright terms: Public domain W3C validator