Theorem hdmapval3lemN 42592

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
hdmapval3lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
hdmapval3lem.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3lemN	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapval3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapval3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmapval3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmapval3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmapval3.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
17	1, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11	dvheveccl 41867	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
18	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17	hvmapcl2 42521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
19	18	eldifad 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17	mapdhvmap 42524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽‘𝐸)}))
21	1, 2, 11	dvhlvec 41864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22		hdmapval3lem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
23	17	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
24		hdmapval3lem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
25	24	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
26		hdmapval3lem.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
27	3, 5, 21, 22, 23, 25, 26	lspindpi 21237	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	simpld 499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
29	28	necomd 3013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22	hdmap1cl 42559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
33		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
35	1, 2, 11	dvhlmod 41865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 34, 5, 35, 23, 25	lspprcl 21080	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	4, 34, 35, 36, 22, 26	lssneln0 21055	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
38	1, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20	hdmap1eq 42556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))}))))
39	31, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))})))
40	39	simpld 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}))
41		hdmapval3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
42	41	necomd 3013	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
44	3, 5, 35, 23, 25	lspprid1 21099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
45	34, 5, 35, 36, 44	ellspsn5 21098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
46	45, 45	unssd 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
47	46, 26	ssneldd 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
48	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47	hdmapval2 42587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
49	1, 16, 13, 43, 11	hdmapevec 42590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐽‘𝐸))
50	48, 49	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽‘𝐸))
51	3, 5, 35, 23, 25	lspprid2 21100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
52	34, 5, 35, 36, 51	ellspsn5 21098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
53	45, 52	unssd 4146	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
54	53, 26	ssneldd 3941	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
55	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54	hdmapval2 42587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
56	55	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56	hdmap1eq4N 42561	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
58	57	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3903   ∪ cun 3904  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cop 4596  ⟨cotp 4598   I cid 5557   ↾ cres 5665  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  -_gcsg 19003  LSubSpclss 21033  LSpanclspn 21073  HLchlt 40105  LHypclh 40739  LTrncltrn 40856  DVecHcdvh 41833  LCDualclcd 42341  mapdcmpd 42379  HVMapchvm 42511  HDMap1chdma1 42546  HDMapchdma 42547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39731  df-lshyp 39732  df-lcv 39774  df-lfl 39813  df-lkr 39841  df-ldual 39879  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-llines 40253  df-lplanes 40254  df-lvols 40255  df-lines 40256  df-psubsp 40258  df-pmap 40259  df-padd 40551  df-lhyp 40743  df-laut 40744  df-ldil 40859  df-ltrn 40860  df-trl 40914  df-tgrp 41498  df-tendo 41510  df-edring 41512  df-dveca 41758  df-disoa 41784  df-dvech 41834  df-dib 41894  df-dic 41928  df-dih 41984  df-doch 42103  df-djh 42150  df-lcdual 42342  df-mapd 42380  df-hvmap 42512  df-hdmap1 42548  df-hdmap 42549

This theorem is referenced by:  hdmapval3N  42593