Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 39851
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapval3.te (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
hdmapval3lem.x (𝜑𝑥𝑉)
hdmapval3lem.xn (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapval3.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2738 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2738 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9 eqid 2738 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapval3.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 eqid 2738 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15 eqid 2738 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 39126 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 39780 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
1918eldifad 3899 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 39783 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽𝐸)}))
211, 2, 11dvhlvec 39123 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑥𝑉)
2317eldifad 3899 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2524eldifad 3899 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 20394 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
2827simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2928necomd 2999 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 39818 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2739 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))
32 eqid 2738 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
33 eqid 2738 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
34 eqid 2738 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 11dvhlmod 39124 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 20240 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
374, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 20214 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 39815 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))}))))
3931, 38mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))})))
4039simpld 495 . . 3 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
4241necomd 2999 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 20259 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 20258 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 4120 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3924 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 39846 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 39849 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐽𝐸))
5048, 49eqtr3d 2780 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽𝐸))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 20260 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 20258 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 4120 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3924 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 39846 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
5655eqcomd 2744 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 39820 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
5857eqcomd 2744 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  cdif 3884  cun 3885  {csn 4561  {cpr 4563  cop 4567  cotp 4569   I cid 5488  cres 5591  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  0gc0g 17150  -gcsg 18579  LSubSpclss 20193  LSpanclspn 20233  HLchlt 37364  LHypclh 37998  LTrncltrn 38115  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  mapdcmpd 39638  HVMapchvm 39770  HDMap1chdma1 39805  HDMapchdma 39806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639  df-hvmap 39771  df-hdmap1 39807  df-hdmap 39808
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  39852
  Copyright terms: Public domain W3C validator