Theorem hdmapval3lemN 41221

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
hdmapval3lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
hdmapval3lem.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3lemN	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapval3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapval3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmapval3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmapval3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2726	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9		eqid 2726	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmapval3.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
17	1, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11	dvheveccl 40496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
18	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17	hvmapcl2 41150	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
19	18	eldifad 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17	mapdhvmap 41153	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽‘𝐸)}))
21	1, 2, 11	dvhlvec 40493	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22		hdmapval3lem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
23	17	eldifad 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
24		hdmapval3lem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
25	24	eldifad 3955	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
26		hdmapval3lem.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
27	3, 5, 21, 22, 23, 25, 26	lspindpi 20983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
29	28	necomd 2990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22	hdmap1cl 41188	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31		eqidd 2727	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))
32		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
33		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
34		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
35	1, 2, 11	dvhlmod 40494	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 34, 5, 35, 23, 25	lspprcl 20825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	4, 34, 35, 36, 22, 26	lssneln0 20800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
38	1, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20	hdmap1eq 41185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))}))))
39	31, 38	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))})))
40	39	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}))
41		hdmapval3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
42	41	necomd 2990	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
44	3, 5, 35, 23, 25	lspprid1 20844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
45	34, 5, 35, 36, 44	lspsnel5a 20843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
46	45, 45	unssd 4181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
47	46, 26	ssneldd 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
48	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47	hdmapval2 41216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
49	1, 16, 13, 43, 11	hdmapevec 41219	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐽‘𝐸))
50	48, 49	eqtr3d 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽‘𝐸))
51	3, 5, 35, 23, 25	lspprid2 20845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
52	34, 5, 35, 36, 51	lspsnel5a 20843	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
53	45, 52	unssd 4181	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
54	53, 26	ssneldd 3980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
55	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54	hdmapval2 41216	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
56	55	eqcomd 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56	hdmap1eq4N 41190	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
58	57	eqcomd 2732	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ∪ cun 3941  {csn 4623  {cpr 4625  ⟨cop 4629  ⟨cotp 4631   I cid 5566   ↾ cres 5671  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  0_gc0g 17394  -_gcsg 18865  LSubSpclss 20778  LSpanclspn 20818  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  DVecHcdvh 40462  LCDualclcd 40970  mapdcmpd 41008  HVMapchvm 41140  HDMap1chdma1 41175  HDMapchdma 41176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38336

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-undef 8259  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lvec 20951  df-lsatoms 38359  df-lshyp 38360  df-lcv 38402  df-lfl 38441  df-lkr 38469  df-ldual 38507  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884  df-lines 38885  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489  df-trl 39543  df-tgrp 40127  df-tendo 40139  df-edring 40141  df-dveca 40387  df-disoa 40413  df-dvech 40463  df-dib 40523  df-dic 40557  df-dih 40613  df-doch 40732  df-djh 40779  df-lcdual 40971  df-mapd 41009  df-hvmap 41141  df-hdmap1 41177  df-hdmap 41178

This theorem is referenced by:  hdmapval3N  41222