Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 40350
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapval3.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmapval3.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapval3.te (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
hdmapval3lem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
hdmapval3lem.x (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
hdmapval3lem.xn (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‡βŸ©))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmapval3.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
8 eqid 2733 . . 3 (LSpanβ€˜πΆ) = (LSpanβ€˜πΆ)
9 eqid 2733 . . 3 ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 hdmapval3.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 eqid 2733 . . . . . 6 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2733 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
15 eqid 2733 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 39625 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 40279 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜πΈ) ∈ (𝐷 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
1918eldifad 3926 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π½β€˜πΈ) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 40282 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{𝐸})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(π½β€˜πΈ)}))
211, 2, 11dvhlvec 39622 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
2317eldifad 3926 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
2524eldifad 3926 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 20638 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘₯}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}) ∧ (π‘β€˜{π‘₯}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
2827simpld 496 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
2928necomd 2996 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) β‰  (π‘β€˜{π‘₯}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 40317 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2734 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩))
32 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
33 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
34 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
351, 2, 11dvhlmod 39623 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 20483 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
374, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 20457 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 40314 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) ↔ ((((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘₯})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩)}) ∧ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{(𝐸(-gβ€˜π‘ˆ)π‘₯)})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{((π½β€˜πΈ)(-gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩))}))))
3931, 38mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘₯})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩)}) ∧ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{(𝐸(-gβ€˜π‘ˆ)π‘₯)})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{((π½β€˜πΈ)(-gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩))})))
4039simpld 496 . . 3 (πœ‘ β†’ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘₯})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
4241necomd 2996 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 20502 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 20501 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 4150 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝐸})) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 40345 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 40348 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (π½β€˜πΈ))
5048, 49eqtr3d 2775 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), 𝐸⟩) = (π½β€˜πΈ))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 20503 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 20501 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 4150 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3951 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 40345 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), π‘‡βŸ©))
5655eqcomd 2739 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), π‘‡βŸ©) = (π‘†β€˜π‘‡))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 40319 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‡βŸ©) = (π‘†β€˜π‘‡))
5857eqcomd 2739 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912  {csn 4590  {cpr 4592  βŸ¨cop 4596  βŸ¨cotp 4598   I cid 5534   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  0gc0g 17329  -gcsg 18758  LSubSpclss 20436  LSpanclspn 20476  HLchlt 37862  LHypclh 38497  LTrncltrn 38614  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099  mapdcmpd 40137  HVMapchvm 40269  HDMap1chdma1 40304  HDMapchdma 40305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100  df-mapd 40138  df-hvmap 40270  df-hdmap1 40306  df-hdmap 40307
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  40351
  Copyright terms: Public domain W3C validator