Theorem hdmapval3lemN 43097

Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmapval3.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e	⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j	⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i	⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmapval3.te	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
hdmapval3lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
hdmapval3lem.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))

Assertion

Ref	Expression
hdmapval3lemN	⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmapval3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmapval3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmapval3.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		hdmapval3.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		hdmapval3.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		hdmapval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10		hdmapval3.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11		hdmapval3.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13		hdmapval3.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16		hdmapval3.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
17	1, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11	dvheveccl 42372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
18	1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17	hvmapcl2 43026	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
19	18	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘𝐸) ∈ 𝐷)
20	1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17	mapdhvmap 43029	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽‘𝐸)}))
21	1, 2, 11	dvhlvec 42369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
22		hdmapval3lem.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ 𝑉)
23	17	eldifad 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑉)
24		hdmapval3lem.t	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
25	24	eldifad 4054	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
26		hdmapval3lem.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
27	3, 5, 21, 22, 23, 25, 26	lspindpi 21443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
28	27	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
29	28	necomd 3014	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
30	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22	hdmap1cl 43064	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31		eqidd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))
32		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑈) = (-g‘𝑈)
33		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐶) = (-g‘𝐶)
34		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
35	1, 2, 11	dvhlmod 42370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
36	3, 34, 5, 35, 23, 25	lspprcl 21286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
37	4, 34, 35, 36, 22, 26	lssneln0 21261	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
38	1, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20	hdmap1eq 43061	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))}))))
39	31, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g‘𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽‘𝐸)(-g‘𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩))})))
40	39	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩)}))
41		hdmapval3.te	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
42	41	necomd 3014	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43		hdmapval3.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
44	3, 5, 35, 23, 25	lspprid1 21305	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
45	34, 5, 35, 36, 44	ellspsn5 21304	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
46	45, 45	unssd 4193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
47	46, 26	ssneldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
48	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47	hdmapval2 43092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
49	1, 16, 13, 43, 11	hdmapevec 43095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝐸) = (𝐽‘𝐸))
50	48, 49	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽‘𝐸))
51	3, 5, 35, 23, 25	lspprid2 21306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
52	34, 5, 35, 36, 51	ellspsn5 21304	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
53	45, 52	unssd 4193	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
54	53, 26	ssneldd 3916	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
55	1, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54	hdmapval2 43092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
56	55	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
57	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56	hdmap1eq4N 43066	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆‘𝑇))
58	57	eqcomd 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽‘𝐸), 𝑇⟩))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048   ∪ cun 4152  {csn 4588  {cpr 4590  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861   I cid 5550   ↾ cres 5658  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  0_gc0g 17642  -_gcsg 19178  LSubSpclss 21239  LSpanclspn 21279  HLchlt 40610  LHypclh 41244  LTrncltrn 41361  DVecHcdvh 42338  LCDualclcd 42846  mapdcmpd 42884  HVMapchvm 43016  HDMap1chdma1 43051  HDMapchdma 43052

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-riotaBAD 40213

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-undef 8321  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-0g 17644  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-proset 18500  df-poset 18519  df-plt 18534  df-lub 18550  df-glb 18551  df-join 18552  df-meet 18553  df-p0 18629  df-p1 18630  df-lat 18638  df-clat 18705  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cntz 19564  df-oppg 19593  df-lsm 19883  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-nzr 20796  df-rlreg 20979  df-domn 20980  df-drng 21015  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-lsp 21280  df-lvec 21411  df-lsatoms 40236  df-lshyp 40237  df-lcv 40279  df-lfl 40318  df-lkr 40346  df-ldual 40384  df-oposet 40436  df-ol 40438  df-oml 40439  df-covers 40526  df-ats 40527  df-atl 40558  df-cvlat 40582  df-hlat 40611  df-llines 40758  df-lplanes 40759  df-lvols 40760  df-lines 40761  df-psubsp 40763  df-pmap 40764  df-padd 41056  df-lhyp 41248  df-laut 41249  df-ldil 41364  df-ltrn 41365  df-trl 41419  df-tgrp 42003  df-tendo 42015  df-edring 42017  df-dveca 42263  df-disoa 42289  df-dvech 42339  df-dib 42399  df-dic 42433  df-dih 42489  df-doch 42608  df-djh 42655  df-lcdual 42847  df-mapd 42885  df-hvmap 43017  df-hdmap1 43053  df-hdmap 43054

This theorem is used by:  hdmapval3N  43098