Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 41366
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
hdmapval3.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
hdmapval3.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
hdmapval3.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
hdmapval3.te (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
hdmapval3lem.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
hdmapval3lem.x (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
hdmapval3lem.xn (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‡βŸ©))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 hdmapval3.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
8 eqid 2725 . . 3 (LSpanβ€˜πΆ) = (LSpanβ€˜πΆ)
9 eqid 2725 . . 3 ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1β€˜πΎ)β€˜π‘Š)
11 hdmapval3.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
15 eqid 2725 . . . . . . 7 ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)), ( I β†Ύ ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 40641 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 41295 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π½β€˜πΈ) ∈ (𝐷 βˆ– {(0gβ€˜πΆ)}))
1918eldifad 3951 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π½β€˜πΈ) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 41298 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{𝐸})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(π½β€˜πΈ)}))
211, 2, 11dvhlvec 40638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
2317eldifad 3951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
2524eldifad 3951 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ 𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 21024 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{π‘₯}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}) ∧ (π‘β€˜{π‘₯}) β‰  (π‘β€˜{𝑇})))
2827simpld 493 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘₯}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
2928necomd 2986 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) β‰  (π‘β€˜{π‘₯}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 41333 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2726 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩))
32 eqid 2725 . . . . . 6 (-gβ€˜π‘ˆ) = (-gβ€˜π‘ˆ)
33 eqid 2725 . . . . . 6 (-gβ€˜πΆ) = (-gβ€˜πΆ)
34 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
351, 2, 11dvhlmod 40639 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 20866 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
374, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 20841 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘₯ ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 41330 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩) ↔ ((((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘₯})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩)}) ∧ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{(𝐸(-gβ€˜π‘ˆ)π‘₯)})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{((π½β€˜πΈ)(-gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩))}))))
3931, 38mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘₯})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩)}) ∧ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{(𝐸(-gβ€˜π‘ˆ)π‘₯)})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{((π½β€˜πΈ)(-gβ€˜πΆ)(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩))})))
4039simpld 493 . . 3 (πœ‘ β†’ (((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)β€˜(π‘β€˜{π‘₯})) = ((LSpanβ€˜πΆ)β€˜{(πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) β‰  (π‘β€˜{𝐸}))
4241necomd 2986 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) β‰  (π‘β€˜{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMapβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 20885 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44lspsnel5a 20884 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝐸}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 4180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝐸})) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 41361 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 41364 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜πΈ) = (π½β€˜πΈ))
5048, 49eqtr3d 2767 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), 𝐸⟩) = (π½β€˜πΈ))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 20886 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51lspsnel5a 20884 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑇}) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 4180 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})) βŠ† (π‘β€˜{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3975 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ π‘₯ ∈ ((π‘β€˜{𝐸}) βˆͺ (π‘β€˜{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 41361 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), π‘‡βŸ©))
5655eqcomd 2731 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨π‘₯, (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘₯⟩), π‘‡βŸ©) = (π‘†β€˜π‘‡))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 41335 . 2 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‡βŸ©) = (π‘†β€˜π‘‡))
5857eqcomd 2731 1 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π‘‡) = (πΌβ€˜βŸ¨πΈ, (π½β€˜πΈ), π‘‡βŸ©))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937  {csn 4624  {cpr 4626  βŸ¨cop 4630  βŸ¨cotp 4632   I cid 5569   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  0gc0g 17420  -gcsg 18896  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  HLchlt 38878  LHypclh 39513  LTrncltrn 39630  DVecHcdvh 40607  LCDualclcd 41115  mapdcmpd 41153  HVMapchvm 41285  HDMap1chdma1 41320  HDMapchdma 41321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924  df-lcdual 41116  df-mapd 41154  df-hvmap 41286  df-hdmap1 41322  df-hdmap 41323
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  41367
  Copyright terms: Public domain W3C validator