Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapval3lemN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapval3lemN 41820
Description: Value of map from vectors to functionals at arguments not colinear with the reference vector 𝐸. (Contributed by NM, 17-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmapval3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmapval3.e 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
hdmapval3.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmapval3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmapval3.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmapval3.j 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmapval3.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmapval3.te (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
hdmapval3lem.t (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
hdmapval3lem.x (𝜑𝑥𝑉)
hdmapval3lem.xn (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
Assertion
Ref Expression
hdmapval3lemN (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))

Proof of Theorem hdmapval3lemN
StepHypRef Expression
1 hdmapval3.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmapval3.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmapval3.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2735 . . 3 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 hdmapval3.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 hdmapval3.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmapval3.d . . 3 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2735 . . 3 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
9 eqid 2735 . . 3 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmapval3.i . . 3 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmapval3.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
12 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
13 hdmapval3.j . . . . . 6 𝐽 = ((HVMap‘𝐾)‘𝑊)
14 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15 eqid 2735 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
16 hdmapval3.e . . . . . . 7 𝐸 = ⟨( I ↾ (Base‘𝐾)), ( I ↾ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊))⟩
171, 14, 15, 2, 3, 4, 16, 11dvheveccl 41095 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
181, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 13, 11, 17hvmapcl2 41749 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
1918eldifad 3975 . . . 4 (𝜑 → (𝐽𝐸) ∈ 𝐷)
201, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 13, 11, 17mapdhvmap 41752 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝐸})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐽𝐸)}))
211, 2, 11dvhlvec 41092 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
22 hdmapval3lem.x . . . . . . 7 (𝜑𝑥𝑉)
2317eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝐸𝑉)
24 hdmapval3lem.t . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
2524eldifad 3975 . . . . . . 7 (𝜑𝑇𝑉)
26 hdmapval3lem.xn . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
273, 5, 21, 22, 23, 25, 26lspindpi 21152 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}) ∧ (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝑇})))
2827simpld 494 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑥}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
2928necomd 2994 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑥}))
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 19, 20, 29, 17, 22hdmap1cl 41787 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ∈ 𝐷)
31 eqidd 2736 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))
32 eqid 2735 . . . . . 6 (-g𝑈) = (-g𝑈)
33 eqid 2735 . . . . . 6 (-g𝐶) = (-g𝐶)
34 eqid 2735 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
351, 2, 11dvhlmod 41093 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
363, 34, 5, 35, 23, 25lspprcl 20994 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸, 𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
374, 34, 35, 36, 22, 26lssneln0 20969 . . . . . 6 (𝜑𝑥 ∈ (𝑉 ∖ {(0g𝑈)}))
381, 2, 3, 32, 4, 5, 6, 7, 33, 8, 9, 10, 11, 17, 19, 37, 30, 29, 20hdmap1eq 41784 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩) ↔ ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))}))))
3931, 38mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}) ∧ (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{(𝐸(-g𝑈)𝑥)})) = ((LSpan‘𝐶)‘{((𝐽𝐸)(-g𝐶)(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩))})))
4039simpld 494 . . 3 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘(𝑁‘{𝑥})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩)}))
41 hdmapval3.te . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ≠ (𝑁‘{𝐸}))
4241necomd 2994 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ≠ (𝑁‘{𝑇}))
43 hdmapval3.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
443, 5, 35, 23, 25lspprid1 21013 . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4534, 5, 35, 36, 44ellspsn5 21012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝐸}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4645, 45unssd 4202 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
4746, 26ssneldd 3998 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝐸})))
481, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 23, 22, 47hdmapval2 41815 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩))
491, 16, 13, 43, 11hdmapevec 41818 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝐸) = (𝐽𝐸))
5048, 49eqtr3d 2777 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝐸⟩) = (𝐽𝐸))
513, 5, 35, 23, 25lspprid2 21014 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5234, 5, 35, 36, 51ellspsn5 21012 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑇}) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5345, 52unssd 4202 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})) ⊆ (𝑁‘{𝐸, 𝑇}))
5453, 26ssneldd 3998 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝑁‘{𝐸}) ∪ (𝑁‘{𝑇})))
551, 16, 2, 3, 5, 6, 7, 13, 10, 43, 11, 25, 22, 54hdmapval2 41815 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩))
5655eqcomd 2741 . . 3 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑥, (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑥⟩), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 30, 40, 37, 17, 24, 42, 26, 50, 56hdmap1eq4N 41789 . 2 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩) = (𝑆𝑇))
5857eqcomd 2741 1 (𝜑 → (𝑆𝑇) = (𝐼‘⟨𝐸, (𝐽𝐸), 𝑇⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cdif 3960  cun 3961  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637  cotp 4639   I cid 5582  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  0gc0g 17486  -gcsg 18966  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  LTrncltrn 40084  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607  HVMapchvm 41739  HDMap1chdma1 41774  HDMapchdma 41775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608  df-hvmap 41740  df-hdmap1 41776  df-hdmap 41777
This theorem is referenced by:  hdmapval3N  41821
  Copyright terms: Public domain W3C validator