Theorem npcan1 11650

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11213	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11584	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   − cmin 11452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-ltxr 11259  df-sub 11454

This theorem is used by:  elnnnn0  12558  fzm1  13648  fzosplitprm1  13820  modm1p1mod0  13972  facnn2  14332  cshimadifsn0  14887  pwdif  15941  mod2eq1n2dvds  16423  zob  16435  pwp1fsum  16467  prmonn2  17117  mulgfval  19159  psdpw  22363  cpmadugsumlemF  23063  addsq2nreurex  27639  axlowdimlem13  29335  wlk1walk  30022  wlkdlem2  30065  pthhashvtx  30118  clwwlkccatlem  30383  clwwlknwwlksn  30432  clwwlkinwwlk  30434  clwwlkwwlksb  30448  wwlksubclwwlk  30452  eucrct2eupth  30643  frrusgrord0  30738  1arithidomlem2  33866  1arithidom  33867  poimirlem1  38305  poimirlem2  38306  poimirlem6  38310  poimirlem7  38311  poimirlem8  38312  poimirlem9  38313  poimirlem10  38314  poimirlem11  38315  poimirlem12  38316  poimirlem13  38317  poimirlem14  38318  poimirlem15  38319  poimirlem16  38320  poimirlem17  38321  poimirlem18  38322  poimirlem19  38323  poimirlem20  38324  poimirlem21  38325  poimirlem22  38326  poimirlem23  38327  poimirlem24  38328  poimirlem26  38330  poimirlem27  38331  poimirlem31  38335  poimirlem32  38336  trclfvdecomr  44487  flmrecm1  48113  m1mod0mod1  48130  iccpartgtprec  48202  sqrtpwpw2p  48323  fmtnorec2lem  48327  fmtnodvds  48329  fmtnorec3  48333  fmtnorec4  48334  lighneallem3  48392  lighneallem4  48395  dfodd6  48435  evenm1odd  48437  m1expoddALTV  48446  zofldiv2ALTV  48460  oddflALTV  48461  nn0onn0exALTV  48497  fppr2odd  48529  bgoldbtbndlem2  48604  gpgedgvtx0  48859  gpg5nbgrvtx03starlem2  48867  bcpascm1  49164  altgsumbcALT  49166  nn0onn0ex  49336  zofldiv2  49344  logbpw2m1  49380  blenpw2m1  49392  nnolog2flm1  49403  blennngt2o2  49405  blengt1fldiv2p1  49406  blennn0e2  49407