Theorem npcan1 11553

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11118	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11487	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7355  ℂcc 11015  1c1 11018   + caddc 11020   − cmin 11355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-ltxr 11162  df-sub 11357

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12435  fzm1  13514  fzosplitprm1  13685  modm1p1mod0  13836  facnn2  14196  cshimadifsn0  14744  pwdif  15782  mod2eq1n2dvds  16265  zob  16277  pwp1fsum  16309  prmonn2  16958  mulgfval  18990  psdpw  22104  cpmadugsumlemF  22811  addsq2nreurex  27402  axlowdimlem13  28953  wlk1walk  29638  wlkdlem2  29681  clwwlkccatlem  29990  clwwlknwwlksn  30039  clwwlkinwwlk  30041  clwwlkwwlksb  30055  wwlksubclwwlk  30059  eucrct2eupth  30246  frrusgrord0  30341  1arithidomlem2  33545  1arithidom  33546  pthhashvtx  35244  poimirlem1  37734  poimirlem2  37735  poimirlem6  37739  poimirlem7  37740  poimirlem8  37741  poimirlem9  37742  poimirlem10  37743  poimirlem11  37744  poimirlem12  37745  poimirlem13  37746  poimirlem14  37747  poimirlem15  37748  poimirlem16  37749  poimirlem17  37750  poimirlem18  37751  poimirlem19  37752  poimirlem20  37753  poimirlem21  37754  poimirlem22  37755  poimirlem23  37756  poimirlem24  37757  poimirlem26  37759  poimirlem27  37760  poimirlem31  37764  poimirlem32  37765  trclfvdecomr  43885  m1mod0mod1  47516  iccpartgtprec  47582  sqrtpwpw2p  47700  fmtnorec2lem  47704  fmtnodvds  47706  fmtnorec3  47710  fmtnorec4  47711  lighneallem3  47769  lighneallem4  47772  dfodd6  47799  evenm1odd  47801  m1expoddALTV  47810  zofldiv2ALTV  47824  oddflALTV  47825  nn0onn0exALTV  47861  fppr2odd  47893  bgoldbtbndlem2  47968  gpgedgvtx0  48223  gpg5nbgrvtx03starlem2  48231  bcpascm1  48513  altgsumbcALT  48515  nn0onn0ex  48685  zofldiv2  48693  logbpw2m1  48729  blenpw2m1  48741  nnolog2flm1  48752  blennngt2o2  48754  blengt1fldiv2p1  48755  blennn0e2  48756