Theorem npcan1 11606

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11540	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-po 5551  df-so 5552  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-ltxr 11215  df-sub 11410

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12518  fzm1  13606  fzosplitprm1  13778  modm1p1mod0  13929  facnn2  14289  cshimadifsn0  14837  pwdif  15889  mod2eq1n2dvds  16372  zob  16384  pwp1fsum  16416  prmonn2  17066  mulgfval  19102  psdpw  22223  cpmadugsumlemF  22924  addsq2nreurex  27496  axlowdimlem13  29112  wlk1walk  29796  wlkdlem2  29839  clwwlkccatlem  30148  clwwlknwwlksn  30197  clwwlkinwwlk  30199  clwwlkwwlksb  30213  wwlksubclwwlk  30217  eucrct2eupth  30404  frrusgrord0  30499  1arithidomlem2  33693  1arithidom  33694  pthhashvtx  35439  poimirlem1  38081  poimirlem2  38082  poimirlem6  38086  poimirlem7  38087  poimirlem8  38088  poimirlem9  38089  poimirlem10  38090  poimirlem11  38091  poimirlem12  38092  poimirlem13  38093  poimirlem14  38094  poimirlem15  38095  poimirlem16  38096  poimirlem17  38097  poimirlem18  38098  poimirlem19  38099  poimirlem20  38100  poimirlem21  38101  poimirlem22  38102  poimirlem23  38103  poimirlem24  38104  poimirlem26  38106  poimirlem27  38107  poimirlem31  38111  poimirlem32  38112  trclfvdecomr  44265  flmrecm1  47898  m1mod0mod1  47915  iccpartgtprec  47987  sqrtpwpw2p  48108  fmtnorec2lem  48112  fmtnodvds  48114  fmtnorec3  48118  fmtnorec4  48119  lighneallem3  48177  lighneallem4  48180  dfodd6  48220  evenm1odd  48222  m1expoddALTV  48231  zofldiv2ALTV  48245  oddflALTV  48246  nn0onn0exALTV  48282  fppr2odd  48314  bgoldbtbndlem2  48389  gpgedgvtx0  48644  gpg5nbgrvtx03starlem2  48652  bcpascm1  48934  altgsumbcALT  48936  nn0onn0ex  49106  zofldiv2  49114  logbpw2m1  49150  blenpw2m1  49162  nnolog2flm1  49173  blennngt2o2  49175  blengt1fldiv2p1  49176  blennn0e2  49177