Theorem npcan1 11663

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11226	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11597	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   − cmin 11465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467

This theorem is used by:  elnnnn0  12571  fzm1  13662  fzosplitprm1  13834  modm1p1mod0  13986  facnn2  14346  cshimadifsn0  14901  pwdif  15957  mod2eq1n2dvds  16437  zob  16449  pwp1fsum  16481  prmonn2  17131  mulgfval  19192  psdpw  22398  cpmadugsumlemF  23101  addsq2nreurex  27680  axlowdimlem13  29411  wlk1walk  30098  wlkdlem2  30141  pthhashvtx  30194  clwwlkccatlem  30459  clwwlknwwlksn  30508  clwwlkinwwlk  30510  clwwlkwwlksb  30524  wwlksubclwwlk  30528  eucrct2eupth  30725  frrusgrord0  30820  1arithidomlem2  33946  1arithidom  33947  poimirlem1  38370  poimirlem2  38371  poimirlem6  38375  poimirlem7  38376  poimirlem8  38377  poimirlem9  38378  poimirlem10  38379  poimirlem11  38380  poimirlem12  38381  poimirlem13  38382  poimirlem14  38383  poimirlem15  38384  poimirlem16  38385  poimirlem17  38386  poimirlem18  38387  poimirlem19  38388  poimirlem20  38389  poimirlem21  38390  poimirlem22  38391  poimirlem23  38392  poimirlem24  38393  poimirlem26  38395  poimirlem27  38396  poimirlem31  38400  poimirlem32  38401  trclfvdecomr  44568  flmrecm1  48231  m1mod0mod1  48248  iccpartgtprec  48320  sqrtpwpw2p  48441  fmtnorec2lem  48445  fmtnodvds  48447  fmtnorec3  48451  fmtnorec4  48452  lighneallem3  48510  lighneallem4  48513  dfodd6  48553  evenm1odd  48555  m1expoddALTV  48564  zofldiv2ALTV  48578  oddflALTV  48579  nn0onn0exALTV  48615  fppr2odd  48647  bgoldbtbndlem2  48722  gpgedgvtx0  48977  gpg5nbgrvtx03starlem2  48985  bcpascm1  49281  altgsumbcALT  49283  nn0onn0ex  49453  zofldiv2  49461  logbpw2m1  49497  blenpw2m1  49509  nnolog2flm1  49520  blennngt2o2  49522  blengt1fldiv2p1  49523  blennn0e2  49524