MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcan1 11053
Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
npcan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10624 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2npcand 10989 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860
This theorem is referenced by:  elnnnn0  11928  fzm1  12975  fzosplitprm1  13135  modm1p1mod0  13278  facnn2  13630  cshimadifsn0  14180  pwdif  15211  mod2eq1n2dvds  15684  zob  15696  pwp1fsum  15730  prmonn2  16363  mulgfval  18164  cpmadugsumlemF  21412  addsq2nreurex  25947  axlowdimlem13  26667  wlk1walk  27347  wlkdlem2  27392  clwwlkccatlem  27694  clwwlknwwlksn  27743  clwwlkinwwlk  27745  clwwlkwwlksb  27760  wwlksubclwwlk  27764  eucrct2eupth  27951  frrusgrord0  28046  pthhashvtx  32271  poimirlem1  34774  poimirlem2  34775  poimirlem6  34779  poimirlem7  34780  poimirlem8  34781  poimirlem9  34782  poimirlem10  34783  poimirlem11  34784  poimirlem12  34785  poimirlem13  34786  poimirlem14  34787  poimirlem15  34788  poimirlem16  34789  poimirlem17  34790  poimirlem18  34791  poimirlem19  34792  poimirlem20  34793  poimirlem21  34794  poimirlem22  34795  poimirlem23  34796  poimirlem24  34797  poimirlem26  34799  poimirlem27  34800  poimirlem31  34804  poimirlem32  34805  trclfvdecomr  39951  m1mod0mod1  43406  iccpartgtprec  43457  sqrtpwpw2p  43577  fmtnorec2lem  43581  fmtnodvds  43583  fmtnorec3  43587  fmtnorec4  43588  lighneallem3  43649  lighneallem4  43652  dfodd6  43679  evenm1odd  43681  m1expoddALTV  43690  zofldiv2ALTV  43704  oddflALTV  43705  nn0onn0exALTV  43741  fppr2odd  43773  bgoldbtbndlem2  43848  bcpascm1  44327  altgsumbcALT  44329  nn0onn0ex  44511  zofldiv2  44519  logbpw2m1  44555  blenpw2m1  44567  nnolog2flm1  44578  blennngt2o2  44580  blengt1fldiv2p1  44581  blennn0e2  44582
  Copyright terms: Public domain W3C validator