Theorem npcan1 11635

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11198	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11569	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   − cmin 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-ltxr 11244  df-sub 11439

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12543  fzm1  13631  fzosplitprm1  13803  modm1p1mod0  13954  facnn2  14314  cshimadifsn0  14863  pwdif  15918  mod2eq1n2dvds  16401  zob  16413  pwp1fsum  16445  prmonn2  17095  mulgfval  19131  psdpw  22298  cpmadugsumlemF  22998  addsq2nreurex  27570  axlowdimlem13  29241  wlk1walk  29925  wlkdlem2  29968  clwwlkccatlem  30277  clwwlknwwlksn  30326  clwwlkinwwlk  30328  clwwlkwwlksb  30342  wwlksubclwwlk  30346  eucrct2eupth  30533  frrusgrord0  30628  1arithidomlem2  33767  1arithidom  33768  pthhashvtx  35515  poimirlem1  38155  poimirlem2  38156  poimirlem6  38160  poimirlem7  38161  poimirlem8  38162  poimirlem9  38163  poimirlem10  38164  poimirlem11  38165  poimirlem12  38166  poimirlem13  38167  poimirlem14  38168  poimirlem15  38169  poimirlem16  38170  poimirlem17  38171  poimirlem18  38172  poimirlem19  38173  poimirlem20  38174  poimirlem21  38175  poimirlem22  38176  poimirlem23  38177  poimirlem24  38178  poimirlem26  38180  poimirlem27  38181  poimirlem31  38185  poimirlem32  38186  trclfvdecomr  44341  flmrecm1  47964  m1mod0mod1  47981  iccpartgtprec  48053  sqrtpwpw2p  48174  fmtnorec2lem  48178  fmtnodvds  48180  fmtnorec3  48184  fmtnorec4  48185  lighneallem3  48243  lighneallem4  48246  dfodd6  48286  evenm1odd  48288  m1expoddALTV  48297  zofldiv2ALTV  48311  oddflALTV  48312  nn0onn0exALTV  48348  fppr2odd  48380  bgoldbtbndlem2  48455  gpgedgvtx0  48710  gpg5nbgrvtx03starlem2  48718  bcpascm1  49011  altgsumbcALT  49013  nn0onn0ex  49183  zofldiv2  49191  logbpw2m1  49227  blenpw2m1  49239  nnolog2flm1  49250  blennngt2o2  49252  blengt1fldiv2p1  49253  blennn0e2  49254