MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcan1 11059
Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
npcan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10630 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2npcand 10995 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7150  cc 10529  1c1 10532   + caddc 10534  cmin 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866
This theorem is referenced by:  elnnnn0  11934  fzm1  12982  fzosplitprm1  13142  modm1p1mod0  13285  facnn2  13637  cshimadifsn0  14187  pwdif  15218  mod2eq1n2dvds  15691  zob  15703  pwp1fsum  15737  prmonn2  16370  mulgfval  18171  cpmadugsumlemF  21419  addsq2nreurex  25953  axlowdimlem13  26673  wlk1walk  27353  wlkdlem2  27398  clwwlkccatlem  27700  clwwlknwwlksn  27749  clwwlkinwwlk  27751  clwwlkwwlksb  27766  wwlksubclwwlk  27770  eucrct2eupth  27957  frrusgrord0  28052  pthhashvtx  32277  poimirlem1  34779  poimirlem2  34780  poimirlem6  34784  poimirlem7  34785  poimirlem8  34786  poimirlem9  34787  poimirlem10  34788  poimirlem11  34789  poimirlem12  34790  poimirlem13  34791  poimirlem14  34792  poimirlem15  34793  poimirlem16  34794  poimirlem17  34795  poimirlem18  34796  poimirlem19  34797  poimirlem20  34798  poimirlem21  34799  poimirlem22  34800  poimirlem23  34801  poimirlem24  34802  poimirlem26  34804  poimirlem27  34805  poimirlem31  34809  poimirlem32  34810  trclfvdecomr  39957  m1mod0mod1  43414  iccpartgtprec  43431  sqrtpwpw2p  43551  fmtnorec2lem  43555  fmtnodvds  43557  fmtnorec3  43561  fmtnorec4  43562  lighneallem3  43623  lighneallem4  43626  dfodd6  43653  evenm1odd  43655  m1expoddALTV  43664  zofldiv2ALTV  43678  oddflALTV  43679  nn0onn0exALTV  43715  fppr2odd  43747  bgoldbtbndlem2  43822  bcpascm1  44301  altgsumbcALT  44303  nn0onn0ex  44485  zofldiv2  44493  logbpw2m1  44529  blenpw2m1  44541  nnolog2flm1  44552  blennngt2o2  44554  blengt1fldiv2p1  44555  blennn0e2  44556
  Copyright terms: Public domain W3C validator