Theorem npcan1 11689

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11257	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11625	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  1c1 11157   + caddc 11159   − cmin 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-ltxr 11301  df-sub 11495

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12571  fzm1  13648  fzosplitprm1  13817  modm1p1mod0  13964  facnn2  14322  cshimadifsn0  14870  pwdif  15905  mod2eq1n2dvds  16385  zob  16397  pwp1fsum  16429  prmonn2  17078  mulgfval  19088  psdpw  22175  cpmadugsumlemF  22883  addsq2nreurex  27489  axlowdimlem13  28970  wlk1walk  29658  wlkdlem2  29702  clwwlkccatlem  30009  clwwlknwwlksn  30058  clwwlkinwwlk  30060  clwwlkwwlksb  30074  wwlksubclwwlk  30078  eucrct2eupth  30265  frrusgrord0  30360  1arithidomlem2  33565  1arithidom  33566  pthhashvtx  35134  poimirlem1  37629  poimirlem2  37630  poimirlem6  37634  poimirlem7  37635  poimirlem8  37636  poimirlem9  37637  poimirlem10  37638  poimirlem11  37639  poimirlem12  37640  poimirlem13  37641  poimirlem14  37642  poimirlem15  37643  poimirlem16  37644  poimirlem17  37645  poimirlem18  37646  poimirlem19  37647  poimirlem20  37648  poimirlem21  37649  poimirlem22  37650  poimirlem23  37651  poimirlem24  37652  poimirlem26  37654  poimirlem27  37655  poimirlem31  37659  poimirlem32  37660  trclfvdecomr  43746  m1mod0mod1  47361  iccpartgtprec  47412  sqrtpwpw2p  47530  fmtnorec2lem  47534  fmtnodvds  47536  fmtnorec3  47540  fmtnorec4  47541  lighneallem3  47599  lighneallem4  47602  dfodd6  47629  evenm1odd  47631  m1expoddALTV  47640  zofldiv2ALTV  47654  oddflALTV  47655  nn0onn0exALTV  47691  fppr2odd  47723  bgoldbtbndlem2  47798  gpgedgvtx0  48024  gpg5nbgrvtx03starlem2  48030  bcpascm1  48272  altgsumbcALT  48274  nn0onn0ex  48449  zofldiv2  48457  logbpw2m1  48493  blenpw2m1  48505  nnolog2flm1  48516  blennngt2o2  48518  blengt1fldiv2p1  48519  blennn0e2  48520