Theorem npcan1 11537

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11102	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11471	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  1c1 11002   + caddc 11004   − cmin 11339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-ltxr 11146  df-sub 11341

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12419  fzm1  13502  fzosplitprm1  13673  modm1p1mod0  13824  facnn2  14184  cshimadifsn0  14732  pwdif  15770  mod2eq1n2dvds  16253  zob  16265  pwp1fsum  16297  prmonn2  16946  mulgfval  18977  psdpw  22080  cpmadugsumlemF  22786  addsq2nreurex  27377  axlowdimlem13  28927  wlk1walk  29612  wlkdlem2  29655  clwwlkccatlem  29961  clwwlknwwlksn  30010  clwwlkinwwlk  30012  clwwlkwwlksb  30026  wwlksubclwwlk  30030  eucrct2eupth  30217  frrusgrord0  30312  1arithidomlem2  33493  1arithidom  33494  pthhashvtx  35164  poimirlem1  37661  poimirlem2  37662  poimirlem6  37666  poimirlem7  37667  poimirlem8  37668  poimirlem9  37669  poimirlem10  37670  poimirlem11  37671  poimirlem12  37672  poimirlem13  37673  poimirlem14  37674  poimirlem15  37675  poimirlem16  37676  poimirlem17  37677  poimirlem18  37678  poimirlem19  37679  poimirlem20  37680  poimirlem21  37681  poimirlem22  37682  poimirlem23  37683  poimirlem24  37684  poimirlem26  37686  poimirlem27  37687  poimirlem31  37691  poimirlem32  37692  trclfvdecomr  43761  m1mod0mod1  47385  iccpartgtprec  47451  sqrtpwpw2p  47569  fmtnorec2lem  47573  fmtnodvds  47575  fmtnorec3  47579  fmtnorec4  47580  lighneallem3  47638  lighneallem4  47641  dfodd6  47668  evenm1odd  47670  m1expoddALTV  47679  zofldiv2ALTV  47693  oddflALTV  47694  nn0onn0exALTV  47730  fppr2odd  47762  bgoldbtbndlem2  47837  gpgedgvtx0  48092  gpg5nbgrvtx03starlem2  48100  bcpascm1  48382  altgsumbcALT  48384  nn0onn0ex  48555  zofldiv2  48563  logbpw2m1  48599  blenpw2m1  48611  nnolog2flm1  48622  blennngt2o2  48624  blengt1fldiv2p1  48625  blennn0e2  48626