Theorem npcan1 11564

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11498	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   − cmin 11366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11368

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12446  fzm1  13529  fzosplitprm1  13699  modm1p1mod0  13848  facnn2  14208  cshimadifsn0  14756  pwdif  15794  mod2eq1n2dvds  16277  zob  16289  pwp1fsum  16321  prmonn2  16970  mulgfval  18967  psdpw  22074  cpmadugsumlemF  22780  addsq2nreurex  27372  axlowdimlem13  28918  wlk1walk  29603  wlkdlem2  29646  clwwlkccatlem  29952  clwwlknwwlksn  30001  clwwlkinwwlk  30003  clwwlkwwlksb  30017  wwlksubclwwlk  30021  eucrct2eupth  30208  frrusgrord0  30303  1arithidomlem2  33492  1arithidom  33493  pthhashvtx  35120  poimirlem1  37620  poimirlem2  37621  poimirlem6  37625  poimirlem7  37626  poimirlem8  37627  poimirlem9  37628  poimirlem10  37629  poimirlem11  37630  poimirlem12  37631  poimirlem13  37632  poimirlem14  37633  poimirlem15  37634  poimirlem16  37635  poimirlem17  37636  poimirlem18  37637  poimirlem19  37638  poimirlem20  37639  poimirlem21  37640  poimirlem22  37641  poimirlem23  37642  poimirlem24  37643  poimirlem26  37645  poimirlem27  37646  poimirlem31  37650  poimirlem32  37651  trclfvdecomr  43721  m1mod0mod1  47358  iccpartgtprec  47424  sqrtpwpw2p  47542  fmtnorec2lem  47546  fmtnodvds  47548  fmtnorec3  47552  fmtnorec4  47553  lighneallem3  47611  lighneallem4  47614  dfodd6  47641  evenm1odd  47643  m1expoddALTV  47652  zofldiv2ALTV  47666  oddflALTV  47667  nn0onn0exALTV  47703  fppr2odd  47735  bgoldbtbndlem2  47810  gpgedgvtx0  48065  gpg5nbgrvtx03starlem2  48073  bcpascm1  48355  altgsumbcALT  48357  nn0onn0ex  48528  zofldiv2  48536  logbpw2m1  48572  blenpw2m1  48584  nnolog2flm1  48595  blennngt2o2  48597  blengt1fldiv2p1  48598  blennn0e2  48599