Theorem npcan1 11610

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11176	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11544	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076   + caddc 11078   − cmin 11412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12492  fzm1  13575  fzosplitprm1  13745  modm1p1mod0  13894  facnn2  14254  cshimadifsn0  14803  pwdif  15841  mod2eq1n2dvds  16324  zob  16336  pwp1fsum  16368  prmonn2  17017  mulgfval  19008  psdpw  22064  cpmadugsumlemF  22770  addsq2nreurex  27362  axlowdimlem13  28888  wlk1walk  29574  wlkdlem2  29618  clwwlkccatlem  29925  clwwlknwwlksn  29974  clwwlkinwwlk  29976  clwwlkwwlksb  29990  wwlksubclwwlk  29994  eucrct2eupth  30181  frrusgrord0  30276  1arithidomlem2  33514  1arithidom  33515  pthhashvtx  35122  poimirlem1  37622  poimirlem2  37623  poimirlem6  37627  poimirlem7  37628  poimirlem8  37629  poimirlem9  37630  poimirlem10  37631  poimirlem11  37632  poimirlem12  37633  poimirlem13  37634  poimirlem14  37635  poimirlem15  37636  poimirlem16  37637  poimirlem17  37638  poimirlem18  37639  poimirlem19  37640  poimirlem20  37641  poimirlem21  37642  poimirlem22  37643  poimirlem23  37644  poimirlem24  37645  poimirlem26  37647  poimirlem27  37648  poimirlem31  37652  poimirlem32  37653  trclfvdecomr  43724  m1mod0mod1  47359  iccpartgtprec  47425  sqrtpwpw2p  47543  fmtnorec2lem  47547  fmtnodvds  47549  fmtnorec3  47553  fmtnorec4  47554  lighneallem3  47612  lighneallem4  47615  dfodd6  47642  evenm1odd  47644  m1expoddALTV  47653  zofldiv2ALTV  47667  oddflALTV  47668  nn0onn0exALTV  47704  fppr2odd  47736  bgoldbtbndlem2  47811  gpgedgvtx0  48056  gpg5nbgrvtx03starlem2  48064  bcpascm1  48343  altgsumbcALT  48345  nn0onn0ex  48516  zofldiv2  48524  logbpw2m1  48560  blenpw2m1  48572  nnolog2flm1  48583  blennngt2o2  48585  blengt1fldiv2p1  48586  blennn0e2  48587