Theorem npcan1 11054

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10625	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 10990	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861

This theorem is referenced by:  elnnnn0  11928  fzm1  12982  fzosplitprm1  13142  modm1p1mod0  13285  facnn2  13638  cshimadifsn0  14183  pwdif  15215  mod2eq1n2dvds  15688  zob  15700  pwp1fsum  15732  prmonn2  16365  mulgfval  18218  cpmadugsumlemF  21481  addsq2nreurex  26028  axlowdimlem13  26748  wlk1walk  27428  wlkdlem2  27473  clwwlkccatlem  27774  clwwlknwwlksn  27823  clwwlkinwwlk  27825  clwwlkwwlksb  27839  wwlksubclwwlk  27843  eucrct2eupth  28030  frrusgrord0  28125  pthhashvtx  32487  poimirlem1  35058  poimirlem2  35059  poimirlem6  35063  poimirlem7  35064  poimirlem8  35065  poimirlem9  35066  poimirlem10  35067  poimirlem11  35068  poimirlem12  35069  poimirlem13  35070  poimirlem14  35071  poimirlem15  35072  poimirlem16  35073  poimirlem17  35074  poimirlem18  35075  poimirlem19  35076  poimirlem20  35077  poimirlem21  35078  poimirlem22  35079  poimirlem23  35080  poimirlem24  35081  poimirlem26  35083  poimirlem27  35084  poimirlem31  35088  poimirlem32  35089  trclfvdecomr  40429  m1mod0mod1  43886  iccpartgtprec  43937  sqrtpwpw2p  44055  fmtnorec2lem  44059  fmtnodvds  44061  fmtnorec3  44065  fmtnorec4  44066  lighneallem3  44125  lighneallem4  44128  dfodd6  44155  evenm1odd  44157  m1expoddALTV  44166  zofldiv2ALTV  44180  oddflALTV  44181  nn0onn0exALTV  44217  fppr2odd  44249  bgoldbtbndlem2  44324  bcpascm1  44753  altgsumbcALT  44755  nn0onn0ex  44937  zofldiv2  44945  logbpw2m1  44981  blenpw2m1  44993  nnolog2flm1  45004  blennngt2o2  45006  blengt1fldiv2p1  45007  blennn0e2  45008