Theorem npcan1 11409

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10979	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11345	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  ℂcc 10878  1c1 10881   + caddc 10883   − cmin 11214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12285  fzm1  13345  fzosplitprm1  13506  modm1p1mod0  13651  facnn2  14005  cshimadifsn0  14552  pwdif  15589  mod2eq1n2dvds  16065  zob  16077  pwp1fsum  16109  prmonn2  16749  mulgfval  18711  cpmadugsumlemF  22034  addsq2nreurex  26601  axlowdimlem13  27331  wlk1walk  28015  wlkdlem2  28060  clwwlkccatlem  28362  clwwlknwwlksn  28411  clwwlkinwwlk  28413  clwwlkwwlksb  28427  wwlksubclwwlk  28431  eucrct2eupth  28618  frrusgrord0  28713  pthhashvtx  33098  poimirlem1  35787  poimirlem2  35788  poimirlem6  35792  poimirlem7  35793  poimirlem8  35794  poimirlem9  35795  poimirlem10  35796  poimirlem11  35797  poimirlem12  35798  poimirlem13  35799  poimirlem14  35800  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem18  35804  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem21  35807  poimirlem22  35808  poimirlem23  35809  poimirlem24  35810  poimirlem26  35812  poimirlem27  35813  poimirlem31  35817  poimirlem32  35818  trclfvdecomr  41343  m1mod0mod1  44832  iccpartgtprec  44883  sqrtpwpw2p  45001  fmtnorec2lem  45005  fmtnodvds  45007  fmtnorec3  45011  fmtnorec4  45012  lighneallem3  45070  lighneallem4  45073  dfodd6  45100  evenm1odd  45102  m1expoddALTV  45111  zofldiv2ALTV  45125  oddflALTV  45126  nn0onn0exALTV  45162  fppr2odd  45194  bgoldbtbndlem2  45269  bcpascm1  45698  altgsumbcALT  45700  nn0onn0ex  45880  zofldiv2  45888  logbpw2m1  45924  blenpw2m1  45936  nnolog2flm1  45947  blennngt2o2  45949  blengt1fldiv2p1  45950  blennn0e2  45951