Theorem npcan1 11575

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11509	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12480  fzm1  13561  fzosplitprm1  13733  modm1p1mod0  13884  facnn2  14244  cshimadifsn0  14792  pwdif  15833  mod2eq1n2dvds  16316  zob  16328  pwp1fsum  16360  prmonn2  17010  mulgfval  19045  psdpw  22136  cpmadugsumlemF  22841  addsq2nreurex  27407  axlowdimlem13  29023  wlk1walk  29707  wlkdlem2  29750  clwwlkccatlem  30059  clwwlknwwlksn  30108  clwwlkinwwlk  30110  clwwlkwwlksb  30124  wwlksubclwwlk  30128  eucrct2eupth  30315  frrusgrord0  30410  1arithidomlem2  33596  1arithidom  33597  pthhashvtx  35310  poimirlem1  37942  poimirlem2  37943  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem8  37949  poimirlem9  37950  poimirlem10  37951  poimirlem11  37952  poimirlem12  37953  poimirlem13  37954  poimirlem14  37955  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem18  37959  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem21  37962  poimirlem22  37963  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem26  37967  poimirlem27  37968  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  trclfvdecomr  44155  flmrecm1  47791  m1mod0mod1  47808  iccpartgtprec  47880  sqrtpwpw2p  48001  fmtnorec2lem  48005  fmtnodvds  48007  fmtnorec3  48011  fmtnorec4  48012  lighneallem3  48070  lighneallem4  48073  dfodd6  48113  evenm1odd  48115  m1expoddALTV  48124  zofldiv2ALTV  48138  oddflALTV  48139  nn0onn0exALTV  48175  fppr2odd  48207  bgoldbtbndlem2  48282  gpgedgvtx0  48537  gpg5nbgrvtx03starlem2  48545  bcpascm1  48827  altgsumbcALT  48829  nn0onn0ex  48999  zofldiv2  49007  logbpw2m1  49043  blenpw2m1  49055  nnolog2flm1  49066  blennngt2o2  49068  blengt1fldiv2p1  49069  blennn0e2  49070