Theorem npcan1 11667

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11603	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7410  ℂcc 11132  1c1 11135   + caddc 11137   − cmin 11471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-ltxr 11279  df-sub 11473

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12549  fzm1  13629  fzosplitprm1  13798  modm1p1mod0  13945  facnn2  14305  cshimadifsn0  14854  pwdif  15889  mod2eq1n2dvds  16371  zob  16383  pwp1fsum  16415  prmonn2  17064  mulgfval  19057  psdpw  22113  cpmadugsumlemF  22819  addsq2nreurex  27412  axlowdimlem13  28938  wlk1walk  29624  wlkdlem2  29668  clwwlkccatlem  29975  clwwlknwwlksn  30024  clwwlkinwwlk  30026  clwwlkwwlksb  30040  wwlksubclwwlk  30044  eucrct2eupth  30231  frrusgrord0  30326  1arithidomlem2  33556  1arithidom  33557  pthhashvtx  35155  poimirlem1  37650  poimirlem2  37651  poimirlem6  37655  poimirlem7  37656  poimirlem8  37657  poimirlem9  37658  poimirlem10  37659  poimirlem11  37660  poimirlem12  37661  poimirlem13  37662  poimirlem14  37663  poimirlem15  37664  poimirlem16  37665  poimirlem17  37666  poimirlem18  37667  poimirlem19  37668  poimirlem20  37669  poimirlem21  37670  poimirlem22  37671  poimirlem23  37672  poimirlem24  37673  poimirlem26  37675  poimirlem27  37676  poimirlem31  37680  poimirlem32  37681  trclfvdecomr  43719  m1mod0mod1  47350  iccpartgtprec  47401  sqrtpwpw2p  47519  fmtnorec2lem  47523  fmtnodvds  47525  fmtnorec3  47529  fmtnorec4  47530  lighneallem3  47588  lighneallem4  47591  dfodd6  47618  evenm1odd  47620  m1expoddALTV  47629  zofldiv2ALTV  47643  oddflALTV  47644  nn0onn0exALTV  47680  fppr2odd  47712  bgoldbtbndlem2  47787  gpgedgvtx0  48032  gpg5nbgrvtx03starlem2  48038  bcpascm1  48293  altgsumbcALT  48295  nn0onn0ex  48470  zofldiv2  48478  logbpw2m1  48514  blenpw2m1  48526  nnolog2flm1  48537  blennngt2o2  48539  blengt1fldiv2p1  48540  blennn0e2  48541