Theorem npcan1 11155

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10726	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11091	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  1c1 10628   + caddc 10630   − cmin 10960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-ltxr 10770  df-sub 10962

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12031  fzm1  13090  fzosplitprm1  13250  modm1p1mod0  13393  facnn2  13746  cshimadifsn0  14293  pwdif  15328  mod2eq1n2dvds  15804  zob  15816  pwp1fsum  15848  prmonn2  16487  mulgfval  18356  cpmadugsumlemF  21639  addsq2nreurex  26192  axlowdimlem13  26912  wlk1walk  27592  wlkdlem2  27637  clwwlkccatlem  27938  clwwlknwwlksn  27987  clwwlkinwwlk  27989  clwwlkwwlksb  28003  wwlksubclwwlk  28007  eucrct2eupth  28194  frrusgrord0  28289  pthhashvtx  32672  poimirlem1  35433  poimirlem2  35434  poimirlem6  35438  poimirlem7  35439  poimirlem8  35440  poimirlem9  35441  poimirlem10  35442  poimirlem11  35443  poimirlem12  35444  poimirlem13  35445  poimirlem14  35446  poimirlem15  35447  poimirlem16  35448  poimirlem17  35449  poimirlem18  35450  poimirlem19  35451  poimirlem20  35452  poimirlem21  35453  poimirlem22  35454  poimirlem23  35455  poimirlem24  35456  poimirlem26  35458  poimirlem27  35459  poimirlem31  35463  poimirlem32  35464  trclfvdecomr  40922  m1mod0mod1  44402  iccpartgtprec  44453  sqrtpwpw2p  44571  fmtnorec2lem  44575  fmtnodvds  44577  fmtnorec3  44581  fmtnorec4  44582  lighneallem3  44640  lighneallem4  44643  dfodd6  44670  evenm1odd  44672  m1expoddALTV  44681  zofldiv2ALTV  44695  oddflALTV  44696  nn0onn0exALTV  44732  fppr2odd  44764  bgoldbtbndlem2  44839  bcpascm1  45268  altgsumbcALT  45270  nn0onn0ex  45450  zofldiv2  45458  logbpw2m1  45494  blenpw2m1  45506  nnolog2flm1  45517  blennngt2o2  45519  blengt1fldiv2p1  45520  blennn0e2  45521