Theorem npcan1 11686

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11254	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11622	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   − cmin 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12567  fzm1  13644  fzosplitprm1  13813  modm1p1mod0  13960  facnn2  14318  cshimadifsn0  14866  pwdif  15901  mod2eq1n2dvds  16381  zob  16393  pwp1fsum  16425  prmonn2  17073  mulgfval  19100  cpmadugsumlemF  22898  addsq2nreurex  27503  axlowdimlem13  28984  wlk1walk  29672  wlkdlem2  29716  clwwlkccatlem  30018  clwwlknwwlksn  30067  clwwlkinwwlk  30069  clwwlkwwlksb  30083  wwlksubclwwlk  30087  eucrct2eupth  30274  frrusgrord0  30369  1arithidomlem2  33544  1arithidom  33545  pthhashvtx  35112  poimirlem1  37608  poimirlem2  37609  poimirlem6  37613  poimirlem7  37614  poimirlem8  37615  poimirlem9  37616  poimirlem10  37617  poimirlem11  37618  poimirlem12  37619  poimirlem13  37620  poimirlem14  37621  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem18  37625  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem21  37628  poimirlem22  37629  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem26  37633  poimirlem27  37634  poimirlem31  37638  poimirlem32  37639  trclfvdecomr  43718  m1mod0mod1  47294  iccpartgtprec  47345  sqrtpwpw2p  47463  fmtnorec2lem  47467  fmtnodvds  47469  fmtnorec3  47473  fmtnorec4  47474  lighneallem3  47532  lighneallem4  47535  dfodd6  47562  evenm1odd  47564  m1expoddALTV  47573  zofldiv2ALTV  47587  oddflALTV  47588  nn0onn0exALTV  47624  fppr2odd  47656  bgoldbtbndlem2  47731  gpgedgvtx0  47954  gpg5nbgrvtx03starlem2  47960  bcpascm1  48196  altgsumbcALT  48198  nn0onn0ex  48373  zofldiv2  48381  logbpw2m1  48417  blenpw2m1  48429  nnolog2flm1  48440  blennngt2o2  48442  blengt1fldiv2p1  48443  blennn0e2  48444