Theorem npcan1 11603

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11169	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11537	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12485  fzm1  13568  fzosplitprm1  13738  modm1p1mod0  13887  facnn2  14247  cshimadifsn0  14796  pwdif  15834  mod2eq1n2dvds  16317  zob  16329  pwp1fsum  16361  prmonn2  17010  mulgfval  19001  psdpw  22057  cpmadugsumlemF  22763  addsq2nreurex  27355  axlowdimlem13  28881  wlk1walk  29567  wlkdlem2  29611  clwwlkccatlem  29918  clwwlknwwlksn  29967  clwwlkinwwlk  29969  clwwlkwwlksb  29983  wwlksubclwwlk  29987  eucrct2eupth  30174  frrusgrord0  30269  1arithidomlem2  33507  1arithidom  33508  pthhashvtx  35115  poimirlem1  37615  poimirlem2  37616  poimirlem6  37620  poimirlem7  37621  poimirlem8  37622  poimirlem9  37623  poimirlem10  37624  poimirlem11  37625  poimirlem12  37626  poimirlem13  37627  poimirlem14  37628  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem18  37632  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem21  37635  poimirlem22  37636  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem26  37640  poimirlem27  37641  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  trclfvdecomr  43717  m1mod0mod1  47355  iccpartgtprec  47421  sqrtpwpw2p  47539  fmtnorec2lem  47543  fmtnodvds  47545  fmtnorec3  47549  fmtnorec4  47550  lighneallem3  47608  lighneallem4  47611  dfodd6  47638  evenm1odd  47640  m1expoddALTV  47649  zofldiv2ALTV  47663  oddflALTV  47664  nn0onn0exALTV  47700  fppr2odd  47732  bgoldbtbndlem2  47807  gpgedgvtx0  48052  gpg5nbgrvtx03starlem2  48060  bcpascm1  48339  altgsumbcALT  48341  nn0onn0ex  48512  zofldiv2  48520  logbpw2m1  48556  blenpw2m1  48568  nnolog2flm1  48579  blennngt2o2  48581  blengt1fldiv2p1  48582  blennn0e2  48583