Theorem npcan1 11780

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11341	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11712	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  1c1 11240   + caddc 11242   − cmin 11580

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582

This theorem is used by:  elnnnn0  12689  fzm1  13781  fzosplitprm1  13953  modm1p1mod0  14105  facnn2  14467  cshimadifsn0  15023  pwdif  16081  mod2eq1n2dvds  16561  zob  16573  pwp1fsum  16605  prmonn2  17261  mulgfval  19329  psdpw  22546  cpmadugsumlemF  23249  addsq2nreurex  27828  axlowdimlem13  29589  wlk1walk  30276  wlkdlem2  30319  pthhashvtx  30372  clwwlkccatlem  30637  clwwlknwwlksn  30686  clwwlkinwwlk  30688  clwwlkwwlksb  30702  wwlksubclwwlk  30706  eucrct2eupth  30903  frrusgrord0  30998  1arithidomlem2  34172  1arithidom  34173  poimirlem1  38807  poimirlem2  38808  poimirlem6  38812  poimirlem7  38813  poimirlem8  38814  poimirlem9  38815  poimirlem10  38816  poimirlem11  38817  poimirlem12  38818  poimirlem13  38819  poimirlem14  38820  poimirlem15  38821  poimirlem16  38822  poimirlem17  38823  poimirlem18  38824  poimirlem19  38825  poimirlem20  38826  poimirlem21  38827  poimirlem22  38828  poimirlem23  38829  poimirlem24  38830  poimirlem26  38832  poimirlem27  38833  poimirlem31  38837  poimirlem32  38838  trclfvdecomr  44989  flmrecm1  48686  m1mod0mod1  48703  iccpartgtprec  48775  sqrtpwpw2p  48896  fmtnorec2lem  48900  fmtnodvds  48902  fmtnorec3  48906  fmtnorec4  48907  lighneallem3  48965  lighneallem4  48968  dfodd6  49008  evenm1odd  49010  m1expoddALTV  49019  zofldiv2ALTV  49033  oddflALTV  49034  nn0onn0exALTV  49070  fppr2odd  49102  bgoldbtbndlem2  49177  gpgedgvtx0  49432  gpg5nbgrvtx03starlem2  49440  bcpascm1  49794  altgsumbcALT  49796  nn0onn0ex  49966  zofldiv2  49974  logbpw2m1  50010  blenpw2m1  50022  nnolog2flm1  50033  blennngt2o2  50035  blengt1fldiv2p1  50036  blennn0e2  50037