Theorem npcan1 11562

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11496	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   − cmin 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12444  fzm1  13523  fzosplitprm1  13694  modm1p1mod0  13845  facnn2  14205  cshimadifsn0  14753  pwdif  15791  mod2eq1n2dvds  16274  zob  16286  pwp1fsum  16318  prmonn2  16967  mulgfval  18999  psdpw  22113  cpmadugsumlemF  22820  addsq2nreurex  27411  axlowdimlem13  29027  wlk1walk  29712  wlkdlem2  29755  clwwlkccatlem  30064  clwwlknwwlksn  30113  clwwlkinwwlk  30115  clwwlkwwlksb  30129  wwlksubclwwlk  30133  eucrct2eupth  30320  frrusgrord0  30415  1arithidomlem2  33617  1arithidom  33618  pthhashvtx  35322  poimirlem1  37822  poimirlem2  37823  poimirlem6  37827  poimirlem7  37828  poimirlem8  37829  poimirlem9  37830  poimirlem10  37831  poimirlem11  37832  poimirlem12  37833  poimirlem13  37834  poimirlem14  37835  poimirlem15  37836  poimirlem16  37837  poimirlem17  37838  poimirlem18  37839  poimirlem19  37840  poimirlem20  37841  poimirlem21  37842  poimirlem22  37843  poimirlem23  37844  poimirlem24  37845  poimirlem26  37847  poimirlem27  37848  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  trclfvdecomr  43969  m1mod0mod1  47600  iccpartgtprec  47666  sqrtpwpw2p  47784  fmtnorec2lem  47788  fmtnodvds  47790  fmtnorec3  47794  fmtnorec4  47795  lighneallem3  47853  lighneallem4  47856  dfodd6  47883  evenm1odd  47885  m1expoddALTV  47894  zofldiv2ALTV  47908  oddflALTV  47909  nn0onn0exALTV  47945  fppr2odd  47977  bgoldbtbndlem2  48052  gpgedgvtx0  48307  gpg5nbgrvtx03starlem2  48315  bcpascm1  48597  altgsumbcALT  48599  nn0onn0ex  48769  zofldiv2  48777  logbpw2m1  48813  blenpw2m1  48825  nnolog2flm1  48836  blennngt2o2  48838  blengt1fldiv2p1  48839  blennn0e2  48840