MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  npcan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem npcan1 11581
Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
npcan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 11151 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2npcand 11517 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7358  cc 11050  1c1 11053   + caddc 11055  cmin 11386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-sub 11388
This theorem is referenced by:  elnnnn0  12457  fzm1  13522  fzosplitprm1  13683  modm1p1mod0  13828  facnn2  14183  cshimadifsn0  14720  pwdif  15754  mod2eq1n2dvds  16230  zob  16242  pwp1fsum  16274  prmonn2  16912  mulgfval  18875  cpmadugsumlemF  22228  addsq2nreurex  26795  axlowdimlem13  27906  wlk1walk  28590  wlkdlem2  28634  clwwlkccatlem  28936  clwwlknwwlksn  28985  clwwlkinwwlk  28987  clwwlkwwlksb  29001  wwlksubclwwlk  29005  eucrct2eupth  29192  frrusgrord0  29287  pthhashvtx  33724  poimirlem1  36082  poimirlem2  36083  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem8  36089  poimirlem9  36090  poimirlem10  36091  poimirlem11  36092  poimirlem12  36093  poimirlem13  36094  poimirlem14  36095  poimirlem15  36096  poimirlem16  36097  poimirlem17  36098  poimirlem18  36099  poimirlem19  36100  poimirlem20  36101  poimirlem21  36102  poimirlem22  36103  poimirlem23  36104  poimirlem24  36105  poimirlem26  36107  poimirlem27  36108  poimirlem31  36112  poimirlem32  36113  trclfvdecomr  42007  m1mod0mod1  45568  iccpartgtprec  45619  sqrtpwpw2p  45737  fmtnorec2lem  45741  fmtnodvds  45743  fmtnorec3  45747  fmtnorec4  45748  lighneallem3  45806  lighneallem4  45809  dfodd6  45836  evenm1odd  45838  m1expoddALTV  45847  zofldiv2ALTV  45861  oddflALTV  45862  nn0onn0exALTV  45898  fppr2odd  45930  bgoldbtbndlem2  46005  bcpascm1  46434  altgsumbcALT  46436  nn0onn0ex  46616  zofldiv2  46624  logbpw2m1  46660  blenpw2m1  46672  nnolog2flm1  46683  blennngt2o2  46685  blengt1fldiv2p1  46686  blennn0e2  46687
  Copyright terms: Public domain W3C validator