Theorem npcan1 11579

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11145	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11513	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  1c1 11045   + caddc 11047   − cmin 11381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12461  fzm1  13544  fzosplitprm1  13714  modm1p1mod0  13863  facnn2  14223  cshimadifsn0  14772  pwdif  15810  mod2eq1n2dvds  16293  zob  16305  pwp1fsum  16337  prmonn2  16986  mulgfval  18977  psdpw  22033  cpmadugsumlemF  22739  addsq2nreurex  27331  axlowdimlem13  28857  wlk1walk  29542  wlkdlem2  29585  clwwlkccatlem  29891  clwwlknwwlksn  29940  clwwlkinwwlk  29942  clwwlkwwlksb  29956  wwlksubclwwlk  29960  eucrct2eupth  30147  frrusgrord0  30242  1arithidomlem2  33480  1arithidom  33481  pthhashvtx  35088  poimirlem1  37588  poimirlem2  37589  poimirlem6  37593  poimirlem7  37594  poimirlem8  37595  poimirlem9  37596  poimirlem10  37597  poimirlem11  37598  poimirlem12  37599  poimirlem13  37600  poimirlem14  37601  poimirlem15  37602  poimirlem16  37603  poimirlem17  37604  poimirlem18  37605  poimirlem19  37606  poimirlem20  37607  poimirlem21  37608  poimirlem22  37609  poimirlem23  37610  poimirlem24  37611  poimirlem26  37613  poimirlem27  37614  poimirlem31  37618  poimirlem32  37619  trclfvdecomr  43690  m1mod0mod1  47328  iccpartgtprec  47394  sqrtpwpw2p  47512  fmtnorec2lem  47516  fmtnodvds  47518  fmtnorec3  47522  fmtnorec4  47523  lighneallem3  47581  lighneallem4  47584  dfodd6  47611  evenm1odd  47613  m1expoddALTV  47622  zofldiv2ALTV  47636  oddflALTV  47637  nn0onn0exALTV  47673  fppr2odd  47705  bgoldbtbndlem2  47780  gpgedgvtx0  48025  gpg5nbgrvtx03starlem2  48033  bcpascm1  48312  altgsumbcALT  48314  nn0onn0ex  48485  zofldiv2  48493  logbpw2m1  48529  blenpw2m1  48541  nnolog2flm1  48552  blennngt2o2  48554  blengt1fldiv2p1  48555  blennn0e2  48556