Theorem npcan1 11634

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11568	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12542  fzm1  13631  fzosplitprm1  13803  modm1p1mod0  13954  facnn2  14314  cshimadifsn0  14863  pwdif  15918  mod2eq1n2dvds  16400  zob  16412  pwp1fsum  16444  prmonn2  17094  mulgfval  19130  psdpw  22333  cpmadugsumlemF  23033  addsq2nreurex  27608  axlowdimlem13  29304  wlk1walk  29988  wlkdlem2  30031  clwwlkccatlem  30340  clwwlknwwlksn  30389  clwwlkinwwlk  30391  clwwlkwwlksb  30405  wwlksubclwwlk  30409  eucrct2eupth  30596  frrusgrord0  30691  1arithidomlem2  33826  1arithidom  33827  pthhashvtx  35620  poimirlem1  38272  poimirlem2  38273  poimirlem6  38277  poimirlem7  38278  poimirlem8  38279  poimirlem9  38280  poimirlem10  38281  poimirlem11  38282  poimirlem12  38283  poimirlem13  38284  poimirlem14  38285  poimirlem15  38286  poimirlem16  38287  poimirlem17  38288  poimirlem18  38289  poimirlem19  38290  poimirlem20  38291  poimirlem21  38292  poimirlem22  38293  poimirlem23  38294  poimirlem24  38295  poimirlem26  38297  poimirlem27  38298  poimirlem31  38302  poimirlem32  38303  trclfvdecomr  44454  flmrecm1  48080  m1mod0mod1  48097  iccpartgtprec  48169  sqrtpwpw2p  48290  fmtnorec2lem  48294  fmtnodvds  48296  fmtnorec3  48300  fmtnorec4  48301  lighneallem3  48359  lighneallem4  48362  dfodd6  48402  evenm1odd  48404  m1expoddALTV  48413  zofldiv2ALTV  48427  oddflALTV  48428  nn0onn0exALTV  48464  fppr2odd  48496  bgoldbtbndlem2  48571  gpgedgvtx0  48826  gpg5nbgrvtx03starlem2  48834  bcpascm1  49131  altgsumbcALT  49133  nn0onn0ex  49303  zofldiv2  49311  logbpw2m1  49347  blenpw2m1  49359  nnolog2flm1  49370  blennngt2o2  49372  blengt1fldiv2p1  49373  blennn0e2  49374