Theorem npcan1 11621

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11557	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7393  ℂcc 11090  1c1 11093   + caddc 11095   − cmin 11426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-ltxr 11235  df-sub 11428

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12497  fzm1  13563  fzosplitprm1  13724  modm1p1mod0  13869  facnn2  14224  cshimadifsn0  14763  pwdif  15796  mod2eq1n2dvds  16272  zob  16284  pwp1fsum  16316  prmonn2  16954  mulgfval  18924  cpmadugsumlemF  22307  addsq2nreurex  26874  axlowdimlem13  28077  wlk1walk  28761  wlkdlem2  28805  clwwlkccatlem  29107  clwwlknwwlksn  29156  clwwlkinwwlk  29158  clwwlkwwlksb  29172  wwlksubclwwlk  29176  eucrct2eupth  29363  frrusgrord0  29458  pthhashvtx  33947  poimirlem1  36291  poimirlem2  36292  poimirlem6  36296  poimirlem7  36297  poimirlem8  36298  poimirlem9  36299  poimirlem10  36300  poimirlem11  36301  poimirlem12  36302  poimirlem13  36303  poimirlem14  36304  poimirlem15  36305  poimirlem16  36306  poimirlem17  36307  poimirlem18  36308  poimirlem19  36309  poimirlem20  36310  poimirlem21  36311  poimirlem22  36312  poimirlem23  36313  poimirlem24  36314  poimirlem26  36316  poimirlem27  36317  poimirlem31  36321  poimirlem32  36322  trclfvdecomr  42248  m1mod0mod1  45807  iccpartgtprec  45858  sqrtpwpw2p  45976  fmtnorec2lem  45980  fmtnodvds  45982  fmtnorec3  45986  fmtnorec4  45987  lighneallem3  46045  lighneallem4  46048  dfodd6  46075  evenm1odd  46077  m1expoddALTV  46086  zofldiv2ALTV  46100  oddflALTV  46101  nn0onn0exALTV  46137  fppr2odd  46169  bgoldbtbndlem2  46244  bcpascm1  46673  altgsumbcALT  46675  nn0onn0ex  46855  zofldiv2  46863  logbpw2m1  46899  blenpw2m1  46911  nnolog2flm1  46922  blennngt2o2  46924  blengt1fldiv2p1  46925  blennn0e2  46926