Theorem npcan1 11330

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10901	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11266	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12206  fzm1  13265  fzosplitprm1  13425  modm1p1mod0  13570  facnn2  13924  cshimadifsn0  14471  pwdif  15508  mod2eq1n2dvds  15984  zob  15996  pwp1fsum  16028  prmonn2  16668  mulgfval  18617  cpmadugsumlemF  21933  addsq2nreurex  26497  axlowdimlem13  27225  wlk1walk  27908  wlkdlem2  27953  clwwlkccatlem  28254  clwwlknwwlksn  28303  clwwlkinwwlk  28305  clwwlkwwlksb  28319  wwlksubclwwlk  28323  eucrct2eupth  28510  frrusgrord0  28605  pthhashvtx  32989  poimirlem1  35705  poimirlem2  35706  poimirlem6  35710  poimirlem7  35711  poimirlem8  35712  poimirlem9  35713  poimirlem10  35714  poimirlem11  35715  poimirlem12  35716  poimirlem13  35717  poimirlem14  35718  poimirlem15  35719  poimirlem16  35720  poimirlem17  35721  poimirlem18  35722  poimirlem19  35723  poimirlem20  35724  poimirlem21  35725  poimirlem22  35726  poimirlem23  35727  poimirlem24  35728  poimirlem26  35730  poimirlem27  35731  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  trclfvdecomr  41225  m1mod0mod1  44709  iccpartgtprec  44760  sqrtpwpw2p  44878  fmtnorec2lem  44882  fmtnodvds  44884  fmtnorec3  44888  fmtnorec4  44889  lighneallem3  44947  lighneallem4  44950  dfodd6  44977  evenm1odd  44979  m1expoddALTV  44988  zofldiv2ALTV  45002  oddflALTV  45003  nn0onn0exALTV  45039  fppr2odd  45071  bgoldbtbndlem2  45146  bcpascm1  45575  altgsumbcALT  45577  nn0onn0ex  45757  zofldiv2  45765  logbpw2m1  45801  blenpw2m1  45813  nnolog2flm1  45824  blennngt2o2  45826  blengt1fldiv2p1  45827  blennn0e2  45828