Theorem npcan1 11589

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11525	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  1c1 11061   + caddc 11063   − cmin 11394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-ltxr 11203  df-sub 11396

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12465  fzm1  13531  fzosplitprm1  13692  modm1p1mod0  13837  facnn2  14192  cshimadifsn0  14731  pwdif  15764  mod2eq1n2dvds  16240  zob  16252  pwp1fsum  16284  prmonn2  16922  mulgfval  18888  cpmadugsumlemF  22262  addsq2nreurex  26829  axlowdimlem13  27966  wlk1walk  28650  wlkdlem2  28694  clwwlkccatlem  28996  clwwlknwwlksn  29045  clwwlkinwwlk  29047  clwwlkwwlksb  29061  wwlksubclwwlk  29065  eucrct2eupth  29252  frrusgrord0  29347  pthhashvtx  33808  poimirlem1  36152  poimirlem2  36153  poimirlem6  36157  poimirlem7  36158  poimirlem8  36159  poimirlem9  36160  poimirlem10  36161  poimirlem11  36162  poimirlem12  36163  poimirlem13  36164  poimirlem14  36165  poimirlem15  36166  poimirlem16  36167  poimirlem17  36168  poimirlem18  36169  poimirlem19  36170  poimirlem20  36171  poimirlem21  36172  poimirlem22  36173  poimirlem23  36174  poimirlem24  36175  poimirlem26  36177  poimirlem27  36178  poimirlem31  36182  poimirlem32  36183  trclfvdecomr  42122  m1mod0mod1  45681  iccpartgtprec  45732  sqrtpwpw2p  45850  fmtnorec2lem  45854  fmtnodvds  45856  fmtnorec3  45860  fmtnorec4  45861  lighneallem3  45919  lighneallem4  45922  dfodd6  45949  evenm1odd  45951  m1expoddALTV  45960  zofldiv2ALTV  45974  oddflALTV  45975  nn0onn0exALTV  46011  fppr2odd  46043  bgoldbtbndlem2  46118  bcpascm1  46547  altgsumbcALT  46549  nn0onn0ex  46729  zofldiv2  46737  logbpw2m1  46773  blenpw2m1  46785  nnolog2flm1  46796  blennngt2o2  46798  blengt1fldiv2p1  46799  blennn0e2  46800