Theorem npcan1 11574

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11508	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12456  fzm1  13535  fzosplitprm1  13706  modm1p1mod0  13857  facnn2  14217  cshimadifsn0  14765  pwdif  15803  mod2eq1n2dvds  16286  zob  16298  pwp1fsum  16330  prmonn2  16979  mulgfval  19011  psdpw  22125  cpmadugsumlemF  22832  addsq2nreurex  27423  axlowdimlem13  29039  wlk1walk  29724  wlkdlem2  29767  clwwlkccatlem  30076  clwwlknwwlksn  30125  clwwlkinwwlk  30127  clwwlkwwlksb  30141  wwlksubclwwlk  30145  eucrct2eupth  30332  frrusgrord0  30427  1arithidomlem2  33629  1arithidom  33630  pthhashvtx  35344  poimirlem1  37872  poimirlem2  37873  poimirlem6  37877  poimirlem7  37878  poimirlem8  37879  poimirlem9  37880  poimirlem10  37881  poimirlem11  37882  poimirlem12  37883  poimirlem13  37884  poimirlem14  37885  poimirlem15  37886  poimirlem16  37887  poimirlem17  37888  poimirlem18  37889  poimirlem19  37890  poimirlem20  37891  poimirlem21  37892  poimirlem22  37893  poimirlem23  37894  poimirlem24  37895  poimirlem26  37897  poimirlem27  37898  poimirlem31  37902  poimirlem32  37903  trclfvdecomr  44084  m1mod0mod1  47714  iccpartgtprec  47780  sqrtpwpw2p  47898  fmtnorec2lem  47902  fmtnodvds  47904  fmtnorec3  47908  fmtnorec4  47909  lighneallem3  47967  lighneallem4  47970  dfodd6  47997  evenm1odd  47999  m1expoddALTV  48008  zofldiv2ALTV  48022  oddflALTV  48023  nn0onn0exALTV  48059  fppr2odd  48091  bgoldbtbndlem2  48166  gpgedgvtx0  48421  gpg5nbgrvtx03starlem2  48429  bcpascm1  48711  altgsumbcALT  48713  nn0onn0ex  48883  zofldiv2  48891  logbpw2m1  48927  blenpw2m1  48939  nnolog2flm1  48950  blennngt2o2  48952  blengt1fldiv2p1  48953  blennn0e2  48954