Theorem npcan1 11639

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11575	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   − cmin 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12515  fzm1  13581  fzosplitprm1  13742  modm1p1mod0  13887  facnn2  14242  cshimadifsn0  14781  pwdif  15814  mod2eq1n2dvds  16290  zob  16302  pwp1fsum  16334  prmonn2  16972  mulgfval  18952  cpmadugsumlemF  22378  addsq2nreurex  26947  axlowdimlem13  28243  wlk1walk  28927  wlkdlem2  28971  clwwlkccatlem  29273  clwwlknwwlksn  29322  clwwlkinwwlk  29324  clwwlkwwlksb  29338  wwlksubclwwlk  29342  eucrct2eupth  29529  frrusgrord0  29624  pthhashvtx  34149  poimirlem1  36537  poimirlem2  36538  poimirlem6  36542  poimirlem7  36543  poimirlem8  36544  poimirlem9  36545  poimirlem10  36546  poimirlem11  36547  poimirlem12  36548  poimirlem13  36549  poimirlem14  36550  poimirlem15  36551  poimirlem16  36552  poimirlem17  36553  poimirlem18  36554  poimirlem19  36555  poimirlem20  36556  poimirlem21  36557  poimirlem22  36558  poimirlem23  36559  poimirlem24  36560  poimirlem26  36562  poimirlem27  36563  poimirlem31  36567  poimirlem32  36568  trclfvdecomr  42527  m1mod0mod1  46085  iccpartgtprec  46136  sqrtpwpw2p  46254  fmtnorec2lem  46258  fmtnodvds  46260  fmtnorec3  46264  fmtnorec4  46265  lighneallem3  46323  lighneallem4  46326  dfodd6  46353  evenm1odd  46355  m1expoddALTV  46364  zofldiv2ALTV  46378  oddflALTV  46379  nn0onn0exALTV  46415  fppr2odd  46447  bgoldbtbndlem2  46522  bcpascm1  47075  altgsumbcALT  47077  nn0onn0ex  47257  zofldiv2  47265  logbpw2m1  47301  blenpw2m1  47313  nnolog2flm1  47324  blennngt2o2  47326  blengt1fldiv2p1  47327  blennn0e2  47328