Theorem npcan1 10779

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10351	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 10717	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  1c1 10253   + caddc 10255   − cmin 10585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-sub 10587

This theorem is referenced by:  elnnnn0  11663  fzm1  12714  fzosplitprm1  12873  modm1p1mod0  13016  facnn2  13362  cshimadifsn0  13951  mod2eq1n2dvds  15445  zob  15457  pwp1fsum  15488  prmonn2  16114  cpmadugsumlemF  21051  axlowdimlem13  26253  wlk1walk  26936  wlkdlem2  26984  clwwlkccatlem  27318  clwwlknwwlksn  27381  clwwlknwwlksnOLD  27382  clwwlkinwwlk  27384  clwwlkinwwlkOLD  27385  clwwlkwwlksb  27406  wwlksubclwwlk  27410  wwlksubclwwlkOLD  27411  eucrct2eupthOLD  27623  eucrct2eupth  27624  frrusgrord0  27721  poimirlem1  33954  poimirlem2  33955  poimirlem6  33959  poimirlem7  33960  poimirlem8  33961  poimirlem9  33962  poimirlem10  33963  poimirlem11  33964  poimirlem12  33965  poimirlem13  33966  poimirlem14  33967  poimirlem15  33968  poimirlem16  33969  poimirlem17  33970  poimirlem18  33971  poimirlem19  33972  poimirlem20  33973  poimirlem21  33974  poimirlem22  33975  poimirlem23  33976  poimirlem24  33977  poimirlem26  33979  poimirlem27  33980  poimirlem31  33984  poimirlem32  33985  trclfvdecomr  38861  m1mod0mod1  42227  iccpartgtprec  42244  sqrtpwpw2p  42280  fmtnorec2lem  42284  fmtnodvds  42286  fmtnorec3  42290  fmtnorec4  42291  pwdif  42331  lighneallem3  42354  lighneallem4  42357  dfodd6  42380  evenm1odd  42382  m1expoddALTV  42391  zofldiv2ALTV  42404  oddflALTV  42405  nn0onn0exALTV  42439  bgoldbtbndlem2  42524  bcpascm1  42976  altgsumbcALT  42978  nn0onn0ex  43165  zofldiv2  43172  logbpw2m1  43208  blenpw2m1  43220  nnolog2flm1  43231  blennngt2o2  43233  blengt1fldiv2p1  43234  blennn0e2  43235