Theorem npcan1 11566

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11130	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11500	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12471  fzm1  13552  fzosplitprm1  13724  modm1p1mod0  13875  facnn2  14235  cshimadifsn0  14783  pwdif  15824  mod2eq1n2dvds  16307  zob  16319  pwp1fsum  16351  prmonn2  17001  mulgfval  19036  psdpw  22158  cpmadugsumlemF  22859  addsq2nreurex  27425  axlowdimlem13  29041  wlk1walk  29725  wlkdlem2  29768  clwwlkccatlem  30077  clwwlknwwlksn  30126  clwwlkinwwlk  30128  clwwlkwwlksb  30142  wwlksubclwwlk  30146  eucrct2eupth  30333  frrusgrord0  30428  1arithidomlem2  33619  1arithidom  33620  pthhashvtx  35356  poimirlem1  37988  poimirlem2  37989  poimirlem6  37993  poimirlem7  37994  poimirlem8  37995  poimirlem9  37996  poimirlem10  37997  poimirlem11  37998  poimirlem12  37999  poimirlem13  38000  poimirlem14  38001  poimirlem15  38002  poimirlem16  38003  poimirlem17  38004  poimirlem18  38005  poimirlem19  38006  poimirlem20  38007  poimirlem21  38008  poimirlem22  38009  poimirlem23  38010  poimirlem24  38011  poimirlem26  38013  poimirlem27  38014  poimirlem31  38018  poimirlem32  38019  trclfvdecomr  44172  flmrecm1  47806  m1mod0mod1  47823  iccpartgtprec  47895  sqrtpwpw2p  48016  fmtnorec2lem  48020  fmtnodvds  48022  fmtnorec3  48026  fmtnorec4  48027  lighneallem3  48085  lighneallem4  48088  dfodd6  48128  evenm1odd  48130  m1expoddALTV  48139  zofldiv2ALTV  48153  oddflALTV  48154  nn0onn0exALTV  48190  fppr2odd  48222  bgoldbtbndlem2  48297  gpgedgvtx0  48552  gpg5nbgrvtx03starlem2  48560  bcpascm1  48842  altgsumbcALT  48844  nn0onn0ex  49014  zofldiv2  49022  logbpw2m1  49058  blenpw2m1  49070  nnolog2flm1  49081  blennngt2o2  49083  blengt1fldiv2p1  49084  blennn0e2  49085