Theorem npcan1 11715

Description: Cancellation law for subtraction and addition with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
npcan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 11285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	npcand 11651	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   − cmin 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-sub 11522

This theorem is referenced by:  elnnnn0  12596  fzm1  13664  fzosplitprm1  13827  modm1p1mod0  13973  facnn2  14331  cshimadifsn0  14879  pwdif  15916  mod2eq1n2dvds  16395  zob  16407  pwp1fsum  16439  prmonn2  17086  mulgfval  19109  cpmadugsumlemF  22903  addsq2nreurex  27506  axlowdimlem13  28987  wlk1walk  29675  wlkdlem2  29719  clwwlkccatlem  30021  clwwlknwwlksn  30070  clwwlkinwwlk  30072  clwwlkwwlksb  30086  wwlksubclwwlk  30090  eucrct2eupth  30277  frrusgrord0  30372  1arithidomlem2  33529  1arithidom  33530  pthhashvtx  35095  poimirlem1  37581  poimirlem2  37582  poimirlem6  37586  poimirlem7  37587  poimirlem8  37588  poimirlem9  37589  poimirlem10  37590  poimirlem11  37591  poimirlem12  37592  poimirlem13  37593  poimirlem14  37594  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem18  37598  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem21  37601  poimirlem22  37602  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem26  37606  poimirlem27  37607  poimirlem31  37611  poimirlem32  37612  trclfvdecomr  43690  m1mod0mod1  47243  iccpartgtprec  47294  sqrtpwpw2p  47412  fmtnorec2lem  47416  fmtnodvds  47418  fmtnorec3  47422  fmtnorec4  47423  lighneallem3  47481  lighneallem4  47484  dfodd6  47511  evenm1odd  47513  m1expoddALTV  47522  zofldiv2ALTV  47536  oddflALTV  47537  nn0onn0exALTV  47573  fppr2odd  47605  bgoldbtbndlem2  47680  bcpascm1  48076  altgsumbcALT  48078  nn0onn0ex  48257  zofldiv2  48265  logbpw2m1  48301  blenpw2m1  48313  nnolog2flm1  48324  blennngt2o2  48326  blengt1fldiv2p1  48327  blennn0e2  48328