Theorem facnn2 14239

Description: Value of the factorial function expressed recursively. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
facnn2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))

Proof of Theorem facnn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnnn0 12512	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0))
2		facp1 14235	. . . 4 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℕ0 → (!‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)))
3	2	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)))
4		npcan1 11636	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5	4	fveq2d 6893	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (!‘((𝑁 − 1) + 1)) = (!‘𝑁))
6	5	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (!‘((𝑁 − 1) + 1)) = (!‘𝑁))
7	4	oveq2d 7422	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((!‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
8	7	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → ((!‘(𝑁 − 1)) · ((𝑁 − 1) + 1)) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
9	3, 6, 8	3eqtr3d 2781	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))
10	1, 9	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) = ((!‘(𝑁 − 1)) · 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112   − cmin 11441  ℕcn 12209  ℕ₀cn0 12469  !cfa 14230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-seq 13964  df-fac 14231

This theorem is referenced by:  faclbnd4lem1  14250  bcn1  14270  bcm1k  14272  hashf1  14415  dvdsfac  16266  chtublem  26704  bcmono  26770  dvnxpaek  44645