MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluzsubi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluzsubi 12622
Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
eluzaddi.1 𝑀 ∈ ℤ
eluzaddi.2 𝐾 ∈ ℤ
Assertion
Ref Expression
eluzsubi (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ𝑀))

Proof of Theorem eluzsubi
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12602 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 eluzaddi.2 . . 3 𝐾 ∈ ℤ
3 zsubcl 12372 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
41, 2, 3sylancl 586 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
5 eluzaddi.1 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ
6 zaddcl 12370 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ)
75, 2, 6mp2an 689 . . . 4 (𝑀 + 𝐾) ∈ ℤ
87eluz1i 12600 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁))
95zrei 12335 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
102zrei 12335 . . . . 5 𝐾 ∈ ℝ
11 zre 12333 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
12 leaddsub 11461 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
139, 10, 11, 12mp3an12i 1464 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
1413biimpa 477 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁) → 𝑀 ≤ (𝑁𝐾))
158, 14sylbi 216 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑁𝐾))
165eluz1i 12600 . 2 ((𝑁𝐾) ∈ (ℤ𝑀) ↔ ((𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁𝐾)))
174, 15, 16sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁𝐾) ∈ (ℤ𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106   class class class wbr 5073  cfv 6426  (class class class)co 7267  cr 10880   + caddc 10884  cle 11020  cmin 11215  cz 12329  cuz 12592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578  ax-cnex 10937  ax-resscn 10938  ax-1cn 10939  ax-icn 10940  ax-addcl 10941  ax-addrcl 10942  ax-mulcl 10943  ax-mulrcl 10944  ax-mulcom 10945  ax-addass 10946  ax-mulass 10947  ax-distr 10948  ax-i2m1 10949  ax-1ne0 10950  ax-1rid 10951  ax-rnegex 10952  ax-rrecex 10953  ax-cnre 10954  ax-pre-lttri 10955  ax-pre-lttrn 10956  ax-pre-ltadd 10957  ax-pre-mulgt0 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-csb 3832  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3905  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5157  df-tr 5191  df-id 5484  df-eprel 5490  df-po 5498  df-so 5499  df-fr 5539  df-we 5541  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-res 5596  df-ima 5597  df-pred 6195  df-ord 6262  df-on 6263  df-lim 6264  df-suc 6265  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-f1 6431  df-fo 6432  df-f1o 6433  df-fv 6434  df-riota 7224  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-om 7703  df-2nd 7821  df-frecs 8084  df-wrecs 8115  df-recs 8189  df-rdg 8228  df-er 8485  df-en 8721  df-dom 8722  df-sdom 8723  df-pnf 11021  df-mnf 11022  df-xr 11023  df-ltxr 11024  df-le 11025  df-sub 11217  df-neg 11218  df-nn 11984  df-n0 12244  df-z 12330  df-uz 12593
This theorem is referenced by:  eluzsub  12624
  Copyright terms: Public domain W3C validator