Theorem eluzsubOLD 12886

Description: Obsolete version of eluzsub 12880 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsubOLD	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsubOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7438	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
2	1	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
3		fveq2 6891	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
5	2, 4	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
6		oveq2 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
7	6	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
8	7	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
9		oveq2 7423	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 − 𝐾) = (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
10	9	eleq1d 2810	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↔ (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
11	8, 10	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
12		0z 12597	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	elimel 4593	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
14	12	elimel 4593	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
15	13, 14	eluzsubi 12883	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
16	5, 11, 15	dedth2h 4583	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
17	16	3impia 1114	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ifcif 4524  ‘cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136   + caddc 11139   − cmin 11472  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851

This theorem is referenced by: (None)