Theorem eluzsubOLD 12914

Description: Obsolete version of eluzsub 12908 as of 7-Feb-2025. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsubOLD	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsubOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7454	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
2	1	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
3		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
5	2, 4	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
6		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
7	6	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
8	7	eleq2d 2827	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
9		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 − 𝐾) = (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
10	9	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↔ (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
11	8, 10	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
12		0z 12624	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	elimel 4595	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
14	12	elimel 4595	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
15	13, 14	eluzsubi 12911	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
16	5, 11, 15	dedth2h 4585	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
17	16	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158   − cmin 11492  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879

This theorem is referenced by: (None)