Theorem eluzsub 12856

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by SN, 7-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12836	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12675	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
6		eluzle 12839	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)
7	6	3ad2ant3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)
8		zre 12566	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
9		zre 12566	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12837	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		leaddsub 11694	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1160	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
13	7, 12	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
14		eluz2 12832	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
15	1, 5, 13, 14	syl3anbrc 1343	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411  ℝcr 11111   + caddc 11115   ≤ cle 11253   − cmin 11448  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827

This theorem is referenced by:  eluzsubi  12859  fzoss2  13664  expmulnbnd  14202  shftuz  15020  climshftlem  15522  isumshft  15789  efgredleme  19652  uniioombllem3  25326  ulmshftlem  26125  ulmshft  26126  revpfxsfxrev  34392  caushft  36932  uzmptshftfval  43407  stoweidlem14  45029  nnsum4primeseven  46767  nnsum4primesevenALTV  46768