Theorem eluzsub 12795

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by SN, 7-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12775	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℤ)
3	2	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝐾 ∈ ℤ)
5	3, 4	zsubcld 12615	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ)
6		eluzle 12778	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)
7	6	3ad2ant3 1136	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁)
8		zre 12506	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
9		zre 12506	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12776	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11		leaddsub 11627	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
12	8, 9, 10, 11	syl3an 1161	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
13	7, 12	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾))
14		eluz2 12771	. 2 ⊢ ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 𝐾)))
15	1, 5, 13, 14	syl3anbrc 1345	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℝcr 11039   + caddc 11043   ≤ cle 11181   − cmin 11378  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766

This theorem is referenced by:  eluzsubi  12797  fzoss2  13617  expmulnbnd  14172  shftuz  15006  climshftlem  15511  isumshft  15776  efgredleme  19689  uniioombllem3  25559  ulmshftlem  26371  ulmshft  26372  revpfxsfxrev  35338  caushft  38041  uzmptshftfval  44731  stoweidlem14  46401  nnsum4primeseven  48189  nnsum4primesevenALTV  48190