Theorem eluzsub 12614

Description: Membership in an earlier upper set of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
eluzsub	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem eluzsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7298	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)))
2	1	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾))))
3		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4	3	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
5	2, 4	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
6		oveq2 7283	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾) = (if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
7	6	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) = (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))))
8	7	eleq2d 2824	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))))
9		oveq2 7283	. . . . 5 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → (𝑁 − 𝐾) = (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)))
10	9	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↔ (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
11	8, 10	imbi12d 345	. . 3 ⊢ (𝐾 = if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))))
12		0z 12330	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℤ
13	12	elimel 4528	. . . 4 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
14	12	elimel 4528	. . . 4 ⊢ if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0) ∈ ℤ
15	13, 14	eluzsubi 12612	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) + if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0))) → (𝑁 − if(𝐾 ∈ ℤ, 𝐾, 0)) ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
16	5, 11, 15	dedth2h 4518	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾)) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
17	16	3impia 1116	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 𝐾))) → (𝑁 − 𝐾) ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ifcif 4459  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   + caddc 10874   − cmin 11205  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583

This theorem is referenced by:  fzoss2  13415  expmulnbnd  13950  shftuz  14780  climshftlem  15283  isumshft  15551  efgredleme  19349  uniioombllem3  24749  ulmshftlem  25548  ulmshft  25549  revpfxsfxrev  33077  caushft  35919  uzmptshftfval  41964  stoweidlem14  43555  nnsum4primeseven  45252  nnsum4primesevenALTV  45253