MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dfn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfn2 11557
Description: The set of positive integers defined in terms of nonnegative integers. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 13-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
dfn2 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})

Proof of Theorem dfn2
StepHypRef Expression
1 df-n0 11543 . . 3 0 = (ℕ ∪ {0})
21difeq1i 3888 . 2 (ℕ0 ∖ {0}) = ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0})
3 difun2 4210 . 2 ((ℕ ∪ {0}) ∖ {0}) = (ℕ ∖ {0})
4 0nnn 11313 . . 3 ¬ 0 ∈ ℕ
5 difsn 4485 . . 3 (¬ 0 ∈ ℕ → (ℕ ∖ {0}) = ℕ)
64, 5ax-mp 5 . 2 (ℕ ∖ {0}) = ℕ
72, 3, 63eqtrri 2792 1 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3731  cun 3732  {csn 4336  0cc0 10193  cn 11278  0cn0 11542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-nn 11279  df-n0 11543
This theorem is referenced by:  elnnne0  11558  frnnn0supp  11600  frnnn0fsupp  11601  facnn  13271  fac0  13272  ruclem4  15259  fzo0dvdseq  15344  domnchr  20167  logexprlim  25255  eulerpartgbij  30902  eulerpartlemmf  30905  eulerpartlemgf  30909
  Copyright terms: Public domain W3C validator