MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psrbagfsuppOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psrbagfsuppOLD 21339
Description: Obsolete version of psrbagfsupp 21338 as of 7-Aug-2024. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.) (Revised by AV, 18-Jul-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
psrbag.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
psrbagfsuppOLD ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagfsuppOLD
StepHypRef Expression
1 psrbag.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (◑𝑓 β€œ β„•) ∈ Fin}
21psrbag 21335 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 ∈ 𝐷 ↔ (𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑋 β€œ β„•) ∈ Fin)))
32biimpac 480 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋:πΌβŸΆβ„•0 ∧ (◑𝑋 β€œ β„•) ∈ Fin))
43simprd 497 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (◑𝑋 β€œ β„•) ∈ Fin)
5 simpr 486 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
61psrbagfOLD 21337 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
76ancoms 460 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0)
8 fcdmnn0fsupp 12475 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋:πΌβŸΆβ„•0) β†’ (𝑋 finSupp 0 ↔ (◑𝑋 β€œ β„•) ∈ Fin))
95, 7, 8syl2anc 585 . 2 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 finSupp 0 ↔ (◑𝑋 β€œ β„•) ∈ Fin))
104, 9mpbird 257 1 ((𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 finSupp 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406   class class class wbr 5106  β—‘ccnv 5633   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  0cc0 11056  β„•cn 12158  β„•0cn0 12418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fsupp 9309  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-nn 12159  df-n0 12419
This theorem is referenced by:  psrbagev1OLD  21502  tdeglem1OLD  25437  tdeglem3OLD  25439  tdeglem4OLD  25441
  Copyright terms: Public domain W3C validator