Theorem frnnn0fsupp 12273

Description: A function on ℕ₀ is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
frnnn0fsupp	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem frnnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10953	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		frnfsuppbi 9118	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
3	1, 2	mpan2 687	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
4	3	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
5		dfn2 12229	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	5	imaeq2i 5964	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0}))
7	6	eleq1i 2830	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
8	4, 7	bitr4di 288	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430   ∖ cdif 3888  {csn 4566   class class class wbr 5078  ^◡ccnv 5587   “ cima 5591  ⟶wf 6426  Fincfn 8707   finSupp cfsupp 9089  0cc0 10855  ℕcn 11956  ℕ₀cn0 12216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fsupp 9090  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-nn 11957  df-n0 12217

This theorem is referenced by:  psrbagfsuppOLD  21105  snifpsrbag  21106