Theorem frnnn0fsupp 12288

Description: A function on ℕ₀ is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)

Assertion

Ref	Expression
frnnn0fsupp	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem frnnn0fsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10967	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
2		frnfsuppbi 9155	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
3	1, 2	mpan2 688	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
4	3	imp 407	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
5		dfn2 12244	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
6	5	imaeq2i 5969	. . 3 ⊢ (◡𝐹 “ ℕ) = (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0}))
7	6	eleq1i 2829	. 2 ⊢ ((◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin ↔ (◡𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)
8	4, 7	bitr4di 289	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (◡𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  Vcvv 3431   ∖ cdif 3885  {csn 4563   class class class wbr 5076  ^◡ccnv 5590   “ cima 5594  ⟶wf 6431  Fincfn 8731   finSupp cfsupp 9126  0cc0 10869  ℕcn 11971  ℕ₀cn0 12231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-2nd 7832  df-supp 7976  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fsupp 9127  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-nn 11972  df-n0 12232

This theorem is referenced by:  psrbagfsuppOLD  21122  snifpsrbag  21123