MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frnnn0fsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frnnn0fsupp 11942
Description: A function on 0 is finitely supported iff its support is finite. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
frnnn0fsupp ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))

Proof of Theorem frnnn0fsupp
StepHypRef Expression
1 c0ex 10624 . . . 4 0 ∈ V
2 frnfsuppbi 8850 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ 0 ∈ V) → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
31, 2mpan2 690 . . 3 (𝐼𝑉 → (𝐹:𝐼⟶ℕ0 → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin)))
43imp 410 . 2 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin))
5 dfn2 11898 . . . . . 6 ℕ = (ℕ0 ∖ {0})
65eqcomi 2831 . . . . 5 (ℕ0 ∖ {0}) = ℕ
76a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (ℕ0 ∖ {0}) = ℕ)
87imaeq2d 5907 . . 3 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) = (𝐹 “ ℕ))
98eleq1d 2898 . 2 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → ((𝐹 “ (ℕ0 ∖ {0})) ∈ Fin ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
104, 9bitrd 282 1 ((𝐼𝑉𝐹:𝐼⟶ℕ0) → (𝐹 finSupp 0 ↔ (𝐹 “ ℕ) ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  cdif 3905  {csn 4539   class class class wbr 5042  ccnv 5531  cima 5535  wf 6330  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  0cc0 10526  cn 11625  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fsupp 8822  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-nn 11626  df-n0 11886
This theorem is referenced by:  snifpsrbag  20602  psrbagfsupp  20746
  Copyright terms: Public domain W3C validator