Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem regsumsupp 20684
 Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg 𝐹) = Σ𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 20467 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfld0 20487 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
3 cnring 20485 . . . . 5 fld ∈ Ring
4 ringcmn 19253 . . . . 5 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → ℂfld ∈ CMnd)
6 simp3 1132 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
7 simp1 1130 . . . . 5 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
8 ax-resscn 10586 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
9 fss 6523 . . . . 5 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐹:𝐼⟶ℂ)
107, 8, 9sylancl 586 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹:𝐼⟶ℂ)
11 ssidd 3993 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 supp 0) ⊆ (𝐹 supp 0))
12 simp2 1131 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → 𝐹 finSupp 0)
131, 2, 5, 6, 10, 11, 12gsumres 18955 . . 3 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0))) = (ℂfld Σg 𝐹))
14 cnfldadd 20468 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
15 df-refld 20667 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
168a1i 11 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → ℝ ⊆ ℂ)
17 0red 10636 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ ℝ)
18 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
1918addid2d 10833 . . . . 5 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
2018addid1d 10832 . . . . 5 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
2119, 20jca 512 . . . 4 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥 + 0) = 𝑥))
221, 14, 15, 5, 6, 16, 7, 17, 21gsumress 17883 . . 3 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg 𝐹) = (ℝfld Σg 𝐹))
2313, 22eqtr2d 2861 . 2 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg 𝐹) = (ℂfld Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0))))
24 suppssdm 7837 . . . . 5 (𝐹 supp 0) ⊆ dom 𝐹
2524, 7fssdm 6526 . . . 4 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 supp 0) ⊆ 𝐼)
267, 25feqresmpt 6730 . . 3 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0)) = (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (𝐹𝑥)))
2726oveq2d 7167 . 2 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg (𝐹 ↾ (𝐹 supp 0))) = (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (𝐹𝑥))))
2812fsuppimpd 8832 . . 3 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
29 simpl1 1185 . . . . 5 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
3025sselda 3970 . . . . 5 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)) → 𝑥𝐼)
3129, 30ffvelrnd 6847 . . . 4 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
328, 31sseldi 3968 . . 3 (((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
3328, 32gsumfsum 20530 . 2 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℂfld Σg (𝑥 ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (𝐹𝑥))) = Σ𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑥))
3423, 27, 333eqtrd 2864 1 ((𝐹:𝐼⟶ℝ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg 𝐹) = Σ𝑥 ∈ (𝐹 supp 0)(𝐹𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5062   ↦ cmpt 5142   ↾ cres 5555  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  (class class class)co 7151   supp csupp 7824   finSupp cfsupp 8825  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   + caddc 10532  Σcsu 15035   Σg cgsu 16706  CMndccmn 18828  Ringcrg 19219  ℂfldccnfld 20463  ℝfldcrefld 20666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-sum 15036  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-cntz 18379  df-cmn 18830  df-abl 18831  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-cnfld 20464  df-refld 20667 This theorem is referenced by:  rrxcph  23912  rrxmval  23925  rrxtopnfi  42440
 Copyright terms: Public domain W3C validator