MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem regsumsupp 21558
Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g 𝐹) = Ξ£π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21287 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 21324 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 21322 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20222 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 simp3 1135 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
8 ax-resscn 11195 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
9 fss 6734 . . . . 5 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„‚)
107, 8, 9sylancl 584 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„‚)
11 ssidd 3996 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (𝐹 supp 0))
12 simp2 1134 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 finSupp 0)
131, 2, 5, 6, 10, 11, 12gsumres 19872 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0))) = (β„‚fld Ξ£g 𝐹))
14 cnfldadd 21289 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
15 df-refld 21541 . . . 4 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
168a1i 11 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
17 0red 11247 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ ℝ)
18 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1918addlidd 11445 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
2018addridd 11444 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
2119, 20jca 510 . . . 4 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯))
221, 14, 15, 5, 6, 16, 7, 17, 21gsumress 18641 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝐹) = (ℝfld Ξ£g 𝐹))
2313, 22eqtr2d 2766 . 2 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g 𝐹) = (β„‚fld Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0))))
24 suppssdm 8180 . . . . 5 (𝐹 supp 0) βŠ† dom 𝐹
2524, 7fssdm 6737 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
267, 25feqresmpt 6963 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0)) = (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2726oveq2d 7432 . 2 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
2812fsuppimpd 9393 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
29 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
3025sselda 3972 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
3129, 30ffvelcdmd 7090 . . . 4 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
328, 31sselid 3970 . . 3 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3328, 32gsumfsum 21371 . 2 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘₯))
3423, 27, 333eqtrd 2769 1 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g 𝐹) = Ξ£π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163   finSupp cfsupp 9385  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141  Ξ£csu 15664   Ξ£g cgsu 17421  CMndccmn 19739  Ringcrg 20177  β„‚fldccnfld 21283  β„fldcrefld 21540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-cnfld 21284  df-refld 21541
This theorem is referenced by:  rrxcph  25338  rrxmval  25351  rrxtopnfi  45738
  Copyright terms: Public domain W3C validator