MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  regsumsupp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem regsumsupp 21515
Description: The group sum over the real numbers, expressed as a finite sum. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
regsumsupp ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g 𝐹) = Ξ£π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘₯))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem regsumsupp
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21244 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
2 cnfld0 21281 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
3 cnring 21279 . . . . 5 β„‚fld ∈ Ring
4 ringcmn 20181 . . . . 5 (β„‚fld ∈ Ring β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
53, 4mp1i 13 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ β„‚fld ∈ CMnd)
6 simp3 1135 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
8 ax-resscn 11169 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
9 fss 6728 . . . . 5 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„‚)
107, 8, 9sylancl 585 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„‚)
11 ssidd 4000 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† (𝐹 supp 0))
12 simp2 1134 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐹 finSupp 0)
131, 2, 5, 6, 10, 11, 12gsumres 19833 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0))) = (β„‚fld Ξ£g 𝐹))
14 cnfldadd 21246 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
15 df-refld 21498 . . . 4 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
168a1i 11 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ℝ βŠ† β„‚)
17 0red 11221 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ ℝ)
18 simpr 484 . . . . . 6 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1918addlidd 11419 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
2018addridd 11418 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 0) = π‘₯)
2119, 20jca 511 . . . 4 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ ((0 + π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯ + 0) = π‘₯))
221, 14, 15, 5, 6, 16, 7, 17, 21gsumress 18615 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g 𝐹) = (ℝfld Ξ£g 𝐹))
2313, 22eqtr2d 2767 . 2 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g 𝐹) = (β„‚fld Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0))))
24 suppssdm 8162 . . . . 5 (𝐹 supp 0) βŠ† dom 𝐹
2524, 7fssdm 6731 . . . 4 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 supp 0) βŠ† 𝐼)
267, 25feqresmpt 6955 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0)) = (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
2726oveq2d 7421 . 2 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (𝐹 β†Ύ (𝐹 supp 0))) = (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))))
2812fsuppimpd 9371 . . 3 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐹 supp 0) ∈ Fin)
29 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
3025sselda 3977 . . . . 5 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
3129, 30ffvelcdmd 7081 . . . 4 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
328, 31sselid 3975 . . 3 (((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3328, 32gsumfsum 21328 . 2 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (β„‚fld Ξ£g (π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0) ↦ (πΉβ€˜π‘₯))) = Ξ£π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘₯))
3423, 27, 333eqtrd 2770 1 ((𝐹:πΌβŸΆβ„ ∧ 𝐹 finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g 𝐹) = Ξ£π‘₯ ∈ (𝐹 supp 0)(πΉβ€˜π‘₯))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   supp csupp 8146   finSupp cfsupp 9363  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115  Ξ£csu 15638   Ξ£g cgsu 17395  CMndccmn 19700  Ringcrg 20138  β„‚fldccnfld 21240  β„fldcrefld 21497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-cnfld 21241  df-refld 21498
This theorem is referenced by:  rrxcph  25275  rrxmval  25288  rrxtopnfi  45580
  Copyright terms: Public domain W3C validator