MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzcl 19904
Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0 0 = (0g𝐺)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (𝜑𝐴𝑉)
gsumzcl.f (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
gsumzcl.c (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzcl (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumzcl.0 . 2 0 = (0g𝐺)
3 gsumzcl.z . 2 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4 gsumzcl.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
5 gsumzcl.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
6 gsumzcl.f . 2 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
7 gsumzcl.c . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8 gsumzcl.w . . 3 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
98fsuppimpd 9405 . 2 (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9gsumzcl2 19903 1 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3948   class class class wbr 5145  ran crn 5675  wf 6541  cfv 6545  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9397  Basecbs 17207  0gc0g 17448   Σg cgsu 17449  Mndcmnd 18721  Cntzccntz 19304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-oi 9545  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-seq 14015  df-hash 14342  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-cntz 19306
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19911  dprdssv  20011  dprdfadd  20015
  Copyright terms: Public domain W3C validator