Theorem gsumzcl 19904

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzcl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzcl.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		gsumzcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gsumzcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumzcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		gsumzcl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8		gsumzcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 9405	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	gsumzcl2 19903	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5145  ran crn 5675  ⟶wf 6541  ‘cfv 6545  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9397  Basecbs 17207  0_gc0g 17448   Σ_g cgsu 17449  Mndcmnd 18721  Cntzccntz 19304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-isom 6554  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-fsupp 9398  df-oi 9545  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-n0 12518  df-z 12604  df-uz 12868  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-seq 14015  df-hash 14342  df-0g 17450  df-gsum 17451  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-cntz 19306

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19911  dprdssv  20011  dprdfadd  20015