Theorem gsumzcl 18698

Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumzcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsumzcl.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
gsumzcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
gsumzcl.c	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
gsumzcl.w	⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
gsumzcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gsumzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumzcl.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumzcl.0	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		gsumzcl.z	. 2 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
4		gsumzcl.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gsumzcl.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
6		gsumzcl.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7		gsumzcl.c	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝑍‘ran 𝐹))
8		gsumzcl.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 finSupp 0 )
9	8	fsuppimpd 8570	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9	gsumzcl2 18697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3791   class class class wbr 4886  ran crn 5356  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   finSupp cfsupp 8563  Basecbs 16255  0_gc0g 16486   Σ_g cgsu 16487  Mndcmnd 17680  Cntzccntz 18131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-cntz 18133

This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  18704  dprdssv  18802  dprdfadd  18806