MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsumzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzcl 19821
Description: Closure of a finite group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.) (Revised by AV, 1-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzcl.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
gsumzcl.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
gsumzcl.z 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
gsumzcl.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
gsumzcl.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
gsumzcl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
gsumzcl.c (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
gsumzcl.w (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
gsumzcl (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem gsumzcl
StepHypRef Expression
1 gsumzcl.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 gsumzcl.0 . 2 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 gsumzcl.z . 2 𝑍 = (Cntzβ€˜πΊ)
4 gsumzcl.g . 2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
5 gsumzcl.a . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
6 gsumzcl.f . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐡)
7 gsumzcl.c . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† (π‘β€˜ran 𝐹))
8 gsumzcl.w . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 finSupp 0 )
98fsuppimpd 9365 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp 0 ) ∈ Fin)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9gsumzcl2 19820 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g 𝐹) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5138  ran crn 5667  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17143  0gc0g 17384   Ξ£g cgsu 17385  Mndcmnd 18657  Cntzccntz 19221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-cntz 19223
This theorem is referenced by:  gsumzsubmcl  19828  dprdssv  19928  dprdfadd  19932
  Copyright terms: Public domain W3C validator